Несобственный интеграл: понятие, виды, признаки сходимости/расходимости Преподаватель кафедры математического моделирования в экономике Сошникова Е. М.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком. Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования. Если интервал конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла. Интеграл называется несобственным, если один или оба его пределы бесконечны или подынтегральная функция имеет точки разрыва второго рода или имеет место и то, и другое

Пусть функция f(x) определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке Несобственным интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку - несобственным интегралом 1-го рода, называют предел Если предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Если f(x) > 0, то несобственный интеграл представляет площадь неограниченной криволинейной трапеции. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница:

@ Вычислить несобственный интеграл y x e -x A

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке и при этом 0 <= f(x) <= g(x), то тогда 1. если сходится интеграл, то сходится и интеграл 2. если расходится интеграл, то расходится и интеграл y x g(x) f(x) a

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке и не отрицательны и существует конечный отличный от нуля предел их отношения f(x)/g(x), то несобственные интегралы в смысле сходимости ведут себя одинаково, то есть оба сходятся или оба расходятся. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл. Если последний интеграл расходится, а исходный интеграл сходится, то его называют условно сходящимся.

@ Исследовать сходимость несобственного интеграла Ответ: интеграл сходится абсолютно (по первому признаку сходимости)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке, а в точке b является неограниченной, т.е. имеет в этой точке бесконечный разрыв Несобственным интегралом второго рода от функции f(x) называют предел Если предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Если f(x) > 0, то несобственный интеграл представляет площадь неограниченной криволинейной трапеции. Если у f(x) бесконечный разрыв в точке c отрезка [a,b], то

@ Исследовать сходимость y x 01 Ответ : интеграл сходится (по второму признаку сходимости)

Спасибо за внимание!!!