Www.themegallery.com Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от 17.06.10 1 Степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида. - презентация

1 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида (3) где x 0, a 0, a 1, a 2, …, a n, … – действительные числа, называется степенным рядом по степеням (x - x 0 ), а числа a i, i = 1, 2,… – коэффициентами степенного ряда. При x 0 = 0 получаем степенной ряд по степеням x (4) Теорема. (Абеля) Если степенной ряд (4) сходится в точке x 1 0, то он сходится абсолютно в интервале - |x 1 | |x 2 |.

2 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Свойства степенные рядов 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [a, b], лежащем внутри его интервала сходимости. 2. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости. 3. Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости. 4. Степенной ряд можно почленноее дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для его суммы S(x) справедливо равенство. 5. Степенной ряд можно почленноее интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости ряда.

3 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Ряд Тейлора Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x = a. Определение. Степенной ряд вида (7) называется рядом Тейлора функции f (x) по степеням (x - a). В частности, при a = 0 ряд принимает вид и называется рядом Маклорена функции f (x). Теорема 1. Ряд Тейлора (7) сходиться к функции f(x) в некоторой окрестности точки a тогда и только тогда, когда его остаточный член стремиться к нулю при n.

4 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Ряд Тейлора Теорема 2. Если функция f(x) в некоторой окрестности точки a бесконечно дифференцируема, причем все ее производные ограничены в совокупности (т.е. существует такое число M > 0, что для любого n и любого x из рассматриваемой окрестности точки a), то функция f(x) разлагается в этой окрестности в ряд Тейлора по степеням (x – a).

5 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Разложение в ряд Маклорена

6 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Разложение в ряд Маклорена

7 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Ряд Тейлора Методы разложения функций в ряд Тейлора 1.Метод, использующий формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 2. Метод подстановки. 3. Метод интегрирования. 4. Метод дифференцирования и др. Применения степенных рядов 1. Приближенное вычисление значений функций. 2. Приближенное вычисление определенных интегралов. 3. Интегрирование дифференциальных уравнений. 4. Вычисление пределов. 5. Вычисление сумм числовых рядов и др.

8 Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Спасибо за внимание