Многогранники. Тела вращения Подготовили Скоморох Алёна и Горбачёва Дарина, 11-А

Призма Призма – многогранник, две грани которого – n – угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Основные элементы призмы: основания; боковые грани; боковые рёбра. Призмы бывают: наклонные; прямые.

Прямая призма Призма называется прямой, если ее боковые рёбра перендикулярны основанию. Правильная призма Призма называется правильной, если она прямая и её основания – правильные многоугольники.

Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. (<ABC – угол наклона диагонали к плоскости основания) Диагональная плоскость - плоскость, проходящая через боковое ребро и диагональ основания выпуклой призмы, рассекающей ее на две другие призмы. Диагональное сечение призмы – сечение призмы диагональной плоскостью. A B C

Площадь боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн · Н Площадь боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн · Н Площадь боковой поверхности наклонной призмы: S бок = Р пер. сеч. · а а – боковое ребро Площадь боковой поверхности наклонной призмы: S бок = Р пер. сеч. · а а – боковое ребро Площадь полной поверхности призмы: S полн = S бок + 2S осн Площадь полной поверхности призмы: S полн = S бок + 2S осн Объём призмы: V = S осн · Н Объём призмы: V = S осн · Н

Цилиндр Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны. На рисунке изображен прямой круговой цилиндр. Основные элементы цилиндра: основания, радиус (r), боковая поверхность, образующая (l), ось, высота (h). l

Сечения цилиндра плоскостями: Осевое сечение Плоскостью, параллельной оси цилиндра, но не пересекающей её Плоскостью, перендикулярной оси цилиндра

Развёртка цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра: S бок = 2¶RН Площадь боковой поверхности цилиндра: S бок = 2¶RН Площадь полной поверхности цилиндра: Sполн = Sбок + 2Sосн = 2¶RН + 2¶HRR = 2¶R(Н+R) Площадь полной поверхности цилиндра: Sполн = Sбок + 2Sосн = 2¶RН + 2¶HRR = 2¶R(Н+R) Объём призмы: V = S осн · Н = ¶HRR Объём призмы: V = S осн · Н = ¶HRR

Цилиндр в широком понимании Цилиндр в широком понимании – тело, составленное из двух ограниченных плоских областей, которые можно совместить параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих их соответствующие точки.

Пирамида Пирамида – многогранник, одна грань которого – произвольный многоугольник, а другие грани – треугольники, имеющие общую вершину. Основные элементы пирамиды: Боковые грани; Вершина; Основание; Боковое ребро.

Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если в основании – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания является высотой.

Диагональная плоскость - плоскость, проходящая через боковое ребро по диагонали основания. Диагональное сечение – сечение пирамиды диагональной плоскостью.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S бок = 1/2Р· L Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S бок = 1/2Р· L L – апофема – высота боковой грани. Если все двухгранные углы при основании пирамиды равно, то Sбок = S осн/ cos φ

Усеченная пирамида Если произвольную n – угольную пирамиду пересечь плоскостью, параллельной оси основанию, эта плоскость отсечет от пирамиды многогранник, где 2 грани которого подобные n- угольники, а остальные n граней – трапеции. Основные элементы усеченной пирамиды: Боковые грани; Основания; Боковые ребра.

Усеченная пирамида не является пирамидой, поскольку не соответствует определению пирамиды. Поэтому нельзя утверждать, что « усеченная пирамида – это такая пирамида, у которой…» или что « пирамиды бывают полные и усеченные». Sбок = (Р1 + Р2)/2*m m - апофема

Конус Конус– тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг его оси. Основные элементы конуса: основание, радиус (r), вершина, образующая (l), ось, высота (h).

Все основные сечения конуса – равные равнобедренные треугольники. Сечение конуса плоскостью, перендикулярно к оси его сечения является окружностью. Осевое сечение, проходящие через ось конуса Сечение плоскостью, параллельной основанию конуса Сечение плоскостью, проходящей через его вершину

Развёртка конуса

S бок = 2¶rL S пов= ¶r( r + l) r - радиус l - образующая Sполн = S бок + Sосн

Усеченный конус Усеченный конус- тело, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшей ее боковой стороны. Основные элементы усеченного конуса: 2 основания, боковая поверхность, высота, образующая.

S = ¶r( r1 + r2) r1 r2 - радиус l - образующая

Коническое сечение Поверхность, образованная вращением одной из двух пересекающихся прямых вокруг второй.

Конус в широком понимании Конус в широком понимании – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – вершину конуса – с точками некоторой ограниченной плоской фигуры – основания конуса.