Методы разложения многочленов на множители. «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять». Р.Декарт.

Методы разложения многочленов на множители. Вынесение множителя за скобку Использование формул сокращённого умножения Способ группировки Метод выделения полного квадрата Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки. Пример: Разложить многочлен на множители 12y 3 – 20y 2. Решение Имеем: 12y 3 – 20y 2 = 4y 2 · 3y – 4y 2 · 5 = 4y 2 (3y – 5). Ответ. 4y2(3y – 5).

Использование формул сокращённого умножения. a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2. (а - b) 3 = а 3 - За 2 b+ Заb 2 - b 3 (а + b) 3 = а 3 + За 2 b+ Заb 2 +b 3 Пример: Разложить на множители многочлен x 4 – 1. Решение Имеем: x 4 – 1 = (x 2 ) 2 – 1 2 = (x 2 – 1)(x 2 + 1) = (x 2 – 12)(x 2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1). Ответ. (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1). Вспомните эти формулы:

Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Пример: Разложить на множители многочлен x 3 – 3x 2 y – 4xy + 12y 2. Решение x 3 – 3x 2 y – 4xy + 12y 2 = = (x 3 – 3x 2 y) – (4xy – 12y 2 ) = = x 2 (x – 3y) – 4y(x – 3y) = = (x – 3y)(x 2 – 4y). Ответ. (x – 3y)(x 2 – 4y).

Метод разложения квадратного трехчлена на множители Пример: Разложить на множители квадратный трехчлен х 2 - 6x+5 Решение х 2 - 6x+5= (решим уравнение: х 2 - 6x+5=0, по т. Виета х=5, х=1) =(х-5)(х-1) Ответ. (x-5)(x-1).

16x 7 – 72x x 5 – 54x 4 = = 2x 4 (8x 3 – 36x 2 – 27) = = 2x 4 ((2x) (2x) (2x) З 2 - З 3 ) =2x 4 (2x- З) 3

D=1-4*5*1=-19-нет корней

=

1) () Аналогично 2 и 3 система

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения. Пример. Разложить на множители многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1. Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + cтакие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b – ap) x 2 + (c – bp) x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов: a=3 bap=1 cbp=3 pc=1. Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x x – 1). Ответ. ( x – 1)(3 x x – 1).

Схема Горнера. Если f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n, g(x) = x – c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид: g(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-2 x + b n-1, где b 0 = a 0, b k = cb k-1 + a k, k = 1,2, …, n-1 Остаток r находится по формуле r = cb n-1 + a n

Пример 1 x 4 – 3 x 3 – 3x x – 6 Решение. По схеме Горнера корнями данного многочлена могут быть числа ±1, ±2, ±3, x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = -2x 4 = 3 x = 1 – корень кратности 2 Таким образом, разложение данного многочлена на множители имеет вид x 4 – 3x 3 – 3x x – 6 = (x – 1) 2 (x + 2) (x – 3 ) Ответ. (x – 1) 2 (x + 2) (x – 3 )

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим. Пример: 8x 4 + x x +8 Решение. Применим методы группировки, вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения: 8x 4 + x x +8 = x 3 (8x+1) + 8 (8x + 1) = (8x + 1) (x 3 + 8) = (8x + 1) ( x + 2) ( x 2 – 2x +4) Ответ. (8x + 1) ( x + 2) ( x 2 – 2x + 4)