Уравнение вида называется ДУ первого порядка. Где х – независимая переменная; у– неизвестная функция; у – ее производная.

Если из уравнения можно выразить производную неизвестной функции, то оно примет вид: 2 Это уравнение называется ДУ первого порядка, Например:

Решением ДУ первого порядка называется функция у=φ(х), определенная на некотором интервале (a,b), которая при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

Пусть дано ДУ (2). Если функция f(x,y) и ее частная производная f y (x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости ХОУ, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (х 0,у 0 ) этой области существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющего условию х=х 0, у=у 0.

заключается в том, что график решения ДУ есть интегральная кривая. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая. Условия, задающие значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши): 3

Задача решения уравнения (2), удовлетворяющего условию (3) называется задачей Коши. (из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку). В некоторых случаях, если условия теоремы Коши не выполнены, через точку вообще не проходит интегральная кривая, или их проходит несколько. Такие точки называются

уравнения (2) называется функция удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении С. уравнения (2) называется функция полученная при определенном значении С=С 0.

Рассмотрим уравнение Правая часть уравнения удовлетворяет всем условиям теоремы Коши во всех точках плоскости ХОУ: Функции f(x,y)=2x и f y =0 определены и непрерывны на всей плоскости. Общее решение уравнения:

Это решение описывает семейство парабол:

Для нахождения частного решения зададим начальные условия (3) и подставим их в общее решение: Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х 0,у 0 ).