Шипунова Л. Г. ГБОУ ШКОЛА 763 г. Москвы Векторы в пространстве

§ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

C F G D A N M K L Вектор – отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Нулевой вектор – любая точка пространства. NA, LF, a, CC = 0 a

Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рис. изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда. Е

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рис. изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током.

Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ Обозначение : | a | или | АВ | B А Длина нулевого вектора равна 0 | 0 | =0, СС=0 С a

320 В тетраэдре DABC точки M, N, K – середины ребер AC, BC, CD. AB= 3 см, BC=4 см, BD=5 см. Найти длины векторов: a) АВ, BC, BD, NM, BN, NK б) CB, BA, DB, NC, KN

Коллинеарные векторы ( от лат. com совместно и linea линия ) Лежат на параллельных прямых Лежат на одной прямой. a b a b с р

a b c d a b Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они коллинеарныее и лучи АВ и CD сонаправлены A B C D Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарныее и лучи АВ и CD противоположно направлены c d AB CD

A D C B A1 B1 C1 D1 Укажите векторы, сонаправленные с АК, СВ Противоположно направленные DD 1 К N

1. сонаправлены 2. их длины равны. a b | a | = | b | a b аb = Векторы называются РАВНЫМИ, если они:

M c От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному и притом только один N

Постройте 1) вектор с началом в точке D 1, равный вектору А 1 В ; 2) два вектора с началом и концом в вершинах куба, коллинеарныеее с вектором AD, но не равные ему. B C A1 B1 D1 C1 D A

322 A D C B A1 B1 C1 D1 К М Указать все пары: 1. сонаправленных векторов; 2. Противоположно направленных векторов; 3. Равных векторов

§ 2 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Правило треугольника a b a + b А M x y x+y В С АВ + ВС = АС

Правило параллелограмма a b a + b M

Правило многоугольника О С В А a b c a + b + c

Противоположные векторы a b a - b - b a a - b с к Векторы с и к противоположны, если с к и с = к a – b = a + (-b) b a – b = c b + c = a -b c Вычитание векторов

A D C B A1 B1 C1 D1 332 К Представьте векторы АВ 1 и DK в виде разности двух векторов с началом и концом в указанных на рисунке точках DK=DD 1 -KD 1 AC-B 1 C=AB 1

Найдите сумму векторов АВ + В D + DC.

Умножение вектора на число a 3a = b M b N -1b Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равнаka, причем При k>0 векторы a и b сонаправлены При k<0 векторы a и b противоположно направлены

Законы сложения и умножения вектора на число 1. а + b = b + а (переместительный) 2. (а + b) + с = а + (b + с) (сочетательный) 3. (k n) a = k (n a) (сочетательный) 4. k (a + b) = ka + kb (распределительный) 5. (k + n) a = ka + na (распределительный )

Диагонали куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, чтобы равенства были верны. 1) AB=k CD 2) AC1=k AO 3) OB1=k B1D K= -1 K= 2 K= -0,5

§ 3 КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Компланарные векторы ( от лат. com совместно и planum плоскость ) а b c

Любые два вектора компланарныййййй Любые три вектора, два из которых коллинеарныеее, компланарныййййй A a b c d k

Признак компланарности векторов Если c = xa + yb, где x и y – некоторые числа, то a, b и с компланарныййййй а в xa yb c = xa + yb

Признак компланарности векторов Если c = xa + yb, где x и y – некоторые числа, то a, b и с компланарныййййй а в xa yb c = xa + yb

Верно и обратное утверждение Если векторы a, b и с компланарныййййй, то вектор с можно разложить по векторам а и в, т.е. c = xa + yb, где x и y – числа

A D C B A1 B1 C1 D1 355 Дан параллелепипед. Какие из следующих трех векторов компланарныййййй? А) AA 1,CC 1,DD 1 Б) AB,AD,AA 1 B) B 1 B,AC,DD 1 Г) AD,CC 1,A 1 B 1

Правило параллелепипеда A D C B A1 B1 C1 D1 AB+AD+AA1 a b c

356 Точки E и F- середины ребер АС и BD тетраэдра ABCD. Доказать, что 2FE=BA+DC с D A B F E Компланарны ли векторы FE, BA и DC

385 Доказать, ОМ= ¼ (OA + OB + OC + OD ) A B C D M O K N P R Определите вид многоугольника KRPN M- середина KP ОМ=1/2 (OK+OP) ОK=1/2 (OA+OD) ОP=1/2 (OB+OC) ОМ= ¼ (OA + OB + OC + OD )

Разложение вектора по трем некомпланарнымйййййм векторам Если вектор р представлен в виде p = xa + yb + zc, где x, y и z– некоторые числа, то говорят, что р разложен по векторам а, b, c. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарнымйййййм векторам. Причем коэффициенты разложения определяются единственным образом

Разложение вектора по трем некомпланарнымйййййм векторам а в с р Докажем, что p = xa + yb + zc, где x, y и z– некоторые числа, a a, b и с некомпланарнымййййй p = xa + yb + zc,

A D C B A1 B1 C1 D Дан параллелепипед. А) Разложите вектор BD 1 по векторам BA, BC, BB 1 Б) Разложите вектор B 1 D 1 по векторам A 1 A, A 1 B, A 1 D 1

Источники 1. Геометрия учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы : Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. 2. Microsoft Office Power Point 2007