Рівняння. Виведення формул квадратного рівняння різними методами Приорільська ЗОШ Учитель математики Сіняєва О. В.

Квадратні рівняння вміли розв язувати : близько 2 тис. років до н. е. у Вавилоні ; давній Індії ; з XVIII столітті – в Середній Азії ; Є задачі, що призводять до квадратних рівнянь і у відомій « Арифметиці » грецького математика Діофанта. у Європі - у 1202 році в книзі італійського математика Л. Фібоначчі Книга абака. Проте загальне правило розв язання квадратних рівнянь, зведеного до вигляду ах 2 + вх + с =0 при всіх можливих комбінаціях знаків, було сформульовано в Європі М. Штіфелем у 1544 році.

Ніколо Тарталья Перше значне математичне досягнення епохи Відродження пов язують з іменем Нікколо Тартальї. Саме його вважають одним з авторів формули для коренів кубічного рівняння. Це відкриття його сучасники вважали таким прекрасним і дивним, що перевершує всі таланти людського духу. Я навчався сам, і в мене не було іншого наставника, крім супутника бідності – заповзятливості

Джордано Кардано видав трактат Велике мистецтво, або про правила алгебри (1545 р.), де виклав алгоритми розв язування рівнянь третього і четвертого степеня. У мене віроломно викрали найкращу прикрасу мого алгебраїчного твору – писав Тарталья.

Двобій відбувся 10 серпня 1548 р. у Мілані формулу для коренів кубічного рівняння x 3 + рх =q стали називати формулою Кардано. Сучасні історики науки вважають, що більш справедливо її називати формулою Ферро - Тартальї - Кардано.

Метод Н. Тарталья. Виведення формул коренів квадратного рівняння Цей метод винайшов Н. Тарталья, коли готувався до диспуту з Фіоре. Основна ідея методу у виборі підстановки

Мухаммед ібн Муса – провідний учений Арабського халіфату Мухаммед ібн Муса – провідний учений Арабського халіфату праця ал - Хорезмі, повна назва якої : « Ал - китаб ал - мухтасар фі хісаб ал - джбар в - ал - мукабала », що означає « Коротка книга про числення алгебри і мукабали ». Тут уперше з явилося слово « алгебра ». Ал – це арабською мовою артикль. « Ал - джабр » означає відновлення, « в » – і, « ал - мукабала » – порівняння, протиставлення.

« Ал - джабр » полягала в тому, що від ємні члени рівняння можна було переносити в другу частину зі зміненим знаком ; для цього додавали ці члени до обох частин рівняння. Таким чином, у рівнянні залишались тільки додатні члени ( математики того часу не знали від ємних чисел ). За допомогою « ал - мукабала » подібні члени зводили в один вираз. Ці дві дії – перенесення членів рівняння в другу частину і зведення подібних членів – і є основа розв язування рівнянь. Від назви книги ал - Хорезмі науку про розв язування рівнянь стали називати алгеброю. Книга була присвячена розв язуванню рівнянь першого й другого степенів.

Геометричне розв язування квадратних рівнянь Ал - Хорезмі геометрично вирішував квадратні рівняння. Для рішення цього видатного квадратного рівняння ал - Хорезмі запропонував два геометричні способи. До кожної сторони квадрата з стороною х прикладаємо до прямокутника з другою стороною, що дорівнює 5/2. Тоді площина чотирьох прямокутників вигляду S 1 дорівнює 4*5/2* х =10 х А площа чотирьох квадратів виду S 2 дорівнює 4.(5/2) 2 =25 Залишається записати, чому дорівнює площа більшого квадрата KLMN : S = x 2 +10x+25 Оскільки за умовою x 2 +10x=39, то S KLMN =39+25=64 Звідси, KL= 8, отже, x=3 Так, як рівняння має і від ємний корінь, що дорівнює -13, але, як ми вже говорили, в часи аль - Хорезмі такий корінь не розглядався.

До даного квадрату зі стороною, рівною x, будуємо два прямокутника, друга сторона якого дорівнює 5. Таку фігуру, зроблену із квадрата S і двох прямокутників виду S 3, давньогрецькі математики називали гномоном. Так як 2S 3 =2*5*x=10x Фігура, що залишилася – квадрат зі стороною 5, звідси S 4 =25. Тоді площа більшого квадрата BQNT дорівнює x 2 +10x+25 Враховуючи те, що x 2 +10x=39, одержуємо площу BQNT, яка дорівнює 8, х =3

Розв ' язання квадратних рівнянь за допомогою циркуля Пропоную удосконалений грецький метод з використанням системи координат, винайденої Декартом. У системі координат позначаємо точки А (0;1) і B (-b/a, c/a) де a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння x1x1 x2x2 A B

Остроградський Михайло Васильович ( )

Франсуа Вієт (1540 – 1603)

Український педагог і математик М. А. Чайковський і його метод розв язування квадратних рівнянь Український педагог і математик М. А. Чайковський і його метод розв язування квадратних рівнянь

Застосування математики, зокрема розділу « Рівняння », в практичній діяльності людини Рівняння є надзвичайно результативними моделями багатьох природних, економічних, технічних процесів. Досліджуючи рівняння, можна всебічно вивчити реальний процес, який воно описує, і на підставі здобутих результатів прогнозувати нові характеристики того чи іншого явища. За допомогою рівнянь можна зі значною вірогідністю пояснити атмосферний феномен – природу кульової блискавки. Цим питанням зараз займаються кандидати фізико - математичних наук Б. Кернер та В. Осипов.

« Бермудський трикутник »… Це не фігура з певними геометричними властивостями. Це район акваторії океану поблизу Бермуд, де відбувається багато загадкових катастроф з човнами, кораблями, літаками. Кандидат технічних наук Г. В. Талаєвський розробив теорію та експериментально підтвердив, що вона може пояснити багато загадкових явищ у районі Бермудського трикутника. Вчений склав систему рівнянь, які назвав гравітаційними. Дослідження цих рівнянь доводить, що тіло, яке обертається, в цілому втрачає вагу, але в центрі обертання вона збільшується і стає тим більшою, чим більшою є початкова вага. Саме таке підсилення гравітації відбувається в центрі навіть дуже повільного обертання чаю в склянці, воно сприяє тому, що під час розмішування цукру ложкою чаїнки збираються на дні склянки. Такі ж явища відбуваються і в районі Бермуд : там у центрі великих океанських завихрень виникають гравітаційні аномалії, які спричиняють катастрофи.

« Рівняння вина …» Виявляється існує і таке. Його вивів математик - економіст з Прінстона Орла Ешенфельтер і назвав « Бордо ». За допомогою цього рівняння з великою точністю можна передбачити якість вина певного урожаю. У рівняння входять величини, які відповідають кількості опадів, сонячних та хмарних днів, середньомісячній температурі під час дозрівання винограду тощо. За цими даними залежно від сорту ягід рівняння характеризує якість вина, даючи йому оцінку від 3 до 100 балів, яка співпадає з оцінкою дегустаторів.

Висновки Бджола летить, кров у судинах тече, нервовими волокнами передають імпульси, мчать своєю орбітою астероїди, туди - сюди рухається ткацький човник, з каструлі вибігає молоко - все це математика може описати рівнянням. Все. Навіть проаналізувати складний біологічний процес – процес відтворення. Без рівнянь немає математики як засобу пізнання природи.