Основные понятия, связанные с системами уравнений и неравенств с двумя переменными. Метод решения систем уравнений. Кудиновой Яны 9˝б˝класс 2008г. Начнем!!!

Определение 1. уравнения вида p(x,y)=0 и q(x,y)=0 образуют систему уравнений, если поставлена задача найти все пары чисел (x,y), удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям. Определение 1. уравнения вида p(x,y)=0 и q(x,y)=0 образуют систему уравнений, если поставлена задача найти все пары чисел (x,y), удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям. Это пишется так, p(x,y)=0, p(x,y)=0, q(x,y)=0. q(x,y)=0. Пару чисел (x,y), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений. Решить систему уравнений – это значит найти все решения или установить, что решений нет. Пару чисел (x,y), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений. Решить систему уравнений – это значит найти все решения или установить, что решений нет. Например, пара чисел (3;7)-решение системы уравнений x²+y²=58, x²+y²=58, y-x=4. y-x=4. В самом деле эта пара чисел удовлетворяет как первому, так и второму уравнению системы, значит, является её решением. Обычно пишут так: решение системы (3;7) или x=3, y=7. y=7. А пара чисел (5;9) не являются решением системы(1): она не удовлетворяет первому уравнению (хотя и удовлетворяет второму уравнению системы). Разумеется, переменные могут быть выражены и другими буквами, например: a и b, s и t, u и v, и т.д. но в любом случае при записи ответа в виде пары чисел используют лексикографический способ, т.е. на первое место ставят ту из букв, которая в латинском алфавите встречается раньше, при решении задания. Разумеется, переменные могут быть выражены и другими буквами, например: a и b, s и t, u и v, и т.д. но в любом случае при записи ответа в виде пары чисел используют лексикографический способ, т.е. на первое место ставят ту из букв, которая в латинском алфавите встречается раньше, при решении задания.

Он заключается в том, что из одного уравнения системы одну из переменных выражают через другую, затем полученное выражение подставляют во второе и решают его относительно оставшейся переменной. Найдя корни последнего уравнения, ищут соответствующие значения выраженной переменной. Он заключается в том, что из одного уравнения системы одну из переменных выражают через другую, затем полученное выражение подставляют во второе и решают его относительно оставшейся переменной. Найдя корни последнего уравнения, ищут соответствующие значения выраженной переменной. Пример 1. Пример 1. x+3y=5, x+3y=5, xy=2; xy=2; x=5-3y, x=5-3y, xy=2; xy=2; (5-3y)y=2, (5-3y)y=2, 5y-3y²=2; 5y-3y²=2; 3y²-5y+2=0; 3y²-5y+2=0; y=1 y=1 y=2/3 y=2/3 Подставим поочередно каждое из найденных x=5-3y. значений y в уравнение x=5-3y. Если y=1, то x=5-3·1=2; Если y=2/3, то x=5-3·2/3=3. Ответ: (2;1),(3,2/3).

Решить систему уравнений: Решить систему уравнений: 4x-3y-z=0 4x-3y-z=0 2x+y+5z=2 2x+y+5z=2 3x-2y+4z=-4. 3x-2y+4z=-4. z=4x-3y z=4x-3y 2x+y+5(4x-3y)=2, 2x+y+5(4x-3y)=2, 3x-2y+4(4x-3y)=-4; 3x-2y+4(4x-3y)=-4; z=4x-3y z=4x-3y 22x-14y=2 22x-14y=2 19x-14y=-4; 19x-14y=-4; z=4x-3y z=4x-3y 14y=22x-2, 14y=22x-2, 19x-(22x-2)=-4; 19x-(22x-2)=-4; z=4·2-3·3, z=4·2-3·3, 14y=22·2-2, 14y=22·2-2, x=2; x=2; z=-1, z=-1, y=3, y=3, x=2. x=2.Ответ:(2;3;-1)

2x+xy+2=0 2x+xy+2=0 4y+3xy+30=0; 4y+3xy+30=0; 6x+3xy+6 6x+3xy+6 4y+3xy+30=0; 4y+3xy+30=0; (6x+3xy+6)-(4y+3xy+30)=0-0, (6x+3xy+6)-(4y+3xy+30)=0-0, 6x-4y-24=0, 6x-4y-24=0, 3x-2y-12=0; 3x-2y-12=0; 2x+xy+2=0 2x+xy+2=0 3x-2y-12=0; 3x-2y-12=0; 2x+xy+2=0 2x+xy+2=0 y=3x-12/2; y=3x-12/2; 2x+x·3x-12/2+2=0 2x+x·3x-12/2+2=0 3x²-8x+4=0; 3x²-8x+4=0; x=2 x=2 x=2/3. x=2/3. y=3·2-12/2, y=3·2-12/2, y=-3; y=-3; y=3·2/3-12/2, y=3·2/3-12/2, y=-5. y=-5. Ответ:(2;-3),(2/3;-5).

x/y+y/x=25 x/y+y/x=25 x²-y²=3, x²-y²=3, Решим эту систему методом введения переменной t=x/y,тогда первое уравнение можно будет написать в более упрощенном виде t+1/t=2,5.решим это уравнение, относительно переменной t. t+1/t=5/2; t+1/t=5/2; 2t²-5t+2=0; 2t²-5t+2=0; t=2 t=2 t=½; t=½; Но t=x/y, значит, x/y=½,т.е. у=2х, либо x/y=2, т.е. х=2у. Решим 2 системы: х=2у, у=2х, х=2у, у=2х, x²-y²=3; x²-y²=3; x²-y²=3; x²-y²=3; y=1 y=-1, y=1 y=-1, х=2; х=-2; х=2; х=-2; Вместо у, подставим выражение 2х, получим x²-(2x)²=3, x²-(2x)²=3, x²=-1. x²=-1. Это уравнение не имеет корней, а значит и система уравнений не имеет решений. Значит в ответ вносим решение первой системы. Ответ:(2;1),(-2;-1).

a+b+c=2, a+b+c=2, b+c+d=0, b+c+d=0, a+b+d=1, a+b+d=1, a+c+d=3; a+c+d=3; Метод Гауса: A=2, B=-1, C=1, D=0. Ответ:(2;-1;1;0).

Прекрасных вам успехов, дорогие друзья!!!!!!