Задания типа B11

Целью данной работы является подготовка к решению заданий единого государственного экзамена по математике типа В11. В презентации содержится подробный разбор заданий всех представленных на данный момент в открытом доступе прототипов этого задания и теоретический материал, необходимый для решения.

Теоретический материал: Определение понятия «производная» Основные правила дифференцирования Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма) Признак максимума/минимума функции Практический материал: Прототипы заданий В11 с решением Задачи для самостоятельного решения (с возможностью проверки ответа)

Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Если функции f(x) и g(x) имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причём производная суммы равна сумме производных:

Если функция f(x) имеет производную в точке x, то и функция kf(x) имеет производную в точке x, причём:

Если функции f(x) и g(x) имеют производную в точке x, то производная произведения этих функций:

Если функции f(x) и g(x) имеют производную в точке x, и g(x)0, то производная разности этих функций:

Производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f(g(x)) на производную внутренней функции g(x):

ФункцииПроизводные

ФункцииПроизводные

Если точка x 0 является точкой экстремума функции f(x), и в этой точке существует f(x), то f(x)=0.

Если f(x) непрерывна в точке x 0, а производная в этой точке меняет знак с «+» на «-», то такая точка является точкой максимума. Если f(x) непрерывна в точке x 0, а производная в этой точке меняет знак с «-» на «+», то такая точка является точкой минимума.

Введение: Все прототипы заданий типа В11 можно подразделить на три типа: задания на поиск точек экстремума задания на поиск максимума/минимума функции задания на поиск максимума/минимума функции на указанном отрезке

1. Находим область определения функции D(f). 2. Дифференцируем функцию, соблюдая правила дифференцирования. 3. Приравниваем производную f(x) к нулю. 4. Решаем полученное уравнение относительно х. 5. Проверяем, какие из полученных корней уравнения принадлежат D(f). 6. Применяя метод интервалов, определяем знак производной на промежутках, на которые разбили полученные нами точки область определения. 7. Руководствуясь теоремой Ферма выбираем точки, в которых знак производной меняется (с «-» на «+» - точка минимума, с «+» на «-» – точка максимума). 8. Записываем ответ в виде целого числа или десятичной дроби.

Прототип 15 (26710) Найдите точку минимума функции Ответ: f(x)

Прототип 21 (26711) Найдите точку максимума функции Ответ: f(x)

Прототип 22 (26712) Найдите точку минимума функции Ответ: 4. 4 f(x) - +

Прототип 23 (26713) Найдите точку максимума функции Ответ: f(x)

Прототип 32 (26722) Найдите точку максимума функции Ответ: -4, ,5 + -f(x)

Прототип 33 (26723) Найдите точку минимума функции Ответ: f(x) + - +

Прототип 34 (26724) Найдите точку максимума функции Ответ: f(x) + - +

Прототип 35 (26725) Найдите точку максимума функции Ответ: f(x)

Прототип 36 (26726) Найдите точку максимума функции Ответ: f(x)

Прототип 37 (26727) Найдите точку минимума функции Ответ: f(x)

Прототип 38 (26728) Найдите точку максимума функции Ответ: f(x)

Прототип 39 (26729) Найдите точку минимума функции Ответ: f(x)

Прототип 42 (26732) Найдите точку минимума функции Ответ: f(x)

Прототип 44 (26734) Найдите точку минимума функции Ответ: 2, ,5 - + f(x)

1. Находим область определения функции D(f). 2. Дифференцируем функцию, соблюдая правила дифференцирования. 3. Приравниваем производную f(x) к нулю. 4. Решаем полученное уравнение относительно х. 5. Проверяем, какие из полученных корней уравнения принадлежат D(f). 6. Применяя метод интервалов, определяем знак производной на промежутках, на которые разбили полученные нами точки область определения. 7. Руководствуясь теоремой Ферма выбираем точки, в которых знак производной меняется (с «-» на «+» - точка минимума, с «+» на «-» – точка максимума), и подсчитываем значение функции в данных точках. 8. Если требуется найти максимальное/минимальное значение функции на заданном отрезке, то для крайних точек этого отрезка так же следует подсчитать значение функции. И не забудьте проверить принадлежность найденных точек экстремума отрезку! 9. Из полученных значений выбираем наибольшее/наименьшее и записываем ответ в виде целого числа или десятичной дроби.

Прототип 1 (26691) Найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8] Ответ: -1.

Прототип 2 (26692) Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: 12.

Прототип 3 (26693) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: -2.

Прототип 4 (26694) Найдите наименьшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: 9.

Прототип 5 (26695) Найдите наибольшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: 5.

Прототип 6 (26696) Найдите наименьшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: 16.

Прототип 7 (26697) Найдите наименьшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: 9.

Прототип 8 (26698) Найдите наименьшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: -8.

Прототип 9 Найдите наибольшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: 32.

Прототип 10 (26700) Найдите наибольшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: 17.

Прототип 11 (26701) Найдите наименьшее значение функции на отрезке - не имеет решений, т.к. Ответ: -18,5.

Прототип 12 (26702) Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: 5.

Прототип 13 (26703) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: 6.

Прототип 14 (26704) Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: 11.

Прототип 15 (26705) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: 1.

Прототип 16 (26706) Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: -5.

Прототип 17 (26707) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: 12.

Прототип 18 (26708) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: -1.

Прототип 19 (26709) Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: 4.

Прототип 24 (26714) Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-2,5;0] Ответ:-6.

Прототип 25 (26715) Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-4,5;0] Ответ: -5.

Прототип 26 (26716) Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-6,5;0] Ответ: -18.

Прототип 27 (26717) Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-6,5;0] Ответ: 51.

Прототип 28 (26718) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: 4.

Прототип 29 (26719) Найдите наибольшее значение функции на отрезке Ответ: 8.

Прототип 30 (26720) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: -3.

Прототип 40 (26730) Найдите наибольшее значение функции на отрезке - не имеет решения, т.к. Ответ: 14.

Прототип 41 (26731) Найдите наибольшее значение функции на отрезке - не имеет решения, т.к. Ответ: 9.

Прототип 43 (26733) Найдите наименьшее значение функции на отрезке Ответ: -8.

Хороший способ самопроверки: ответ должен быть только в виде целого числа или десятичной дроби! Все материалы взяты с открытого банка заданий по математике:

Кирилюк Елена и Мазурова Дарья, 11 «А»