© Бычков А.В., 2005 Системы счисления Определение. Непозиционные и позиционные системы счисления. Развернутая форма записи числа в позиционной системе счисления. Правило счета. Таблица эквивалентов чисел. Двоичная система счисления. Перевод чисел между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами счисления. Максимальное значение числа при известной длине разрядной сетки. Двоичная арифметика. Упражнения.

Система счисления Система счисления это способ представления чисел цифровыми знаками и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления это способ представления чисел цифровыми знаками и соответствующие ему правила действий над числами. Системы счисления можно разделить: Системы счисления можно разделить: –непозиционные системы счисления; непозиционные –позиционные системы счисления. позиционные

Непозиционные системы счисления В непозиционной системе счисления значение (величина) символа (цифры) не зависит от положения в числе. В непозиционной системе счисления значение (величина) символа (цифры) не зависит от положения в числе. –Пример 1. У многих народов использовалась система, алфавит которой состоял из одного символа палочки. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу: ||||| число пять. –Пример 2. Самой распространенной непозиционной системой счисления является римская. Алфавит римской системы записи чисел состоит из символов: I один, V пять, X десять, L пятьдесят, C сто, D пятьсот, M тысяча. Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе (например, II два, III три, XXX тридцать, CC двести). Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе (например, II два, III три, XXX тридцать, CC двести). Если же большая цифра стоит перед меньшей цифрой, то они складываются (например, VII семь), Если же большая цифра стоит перед меньшей цифрой, то они складываются (например, VII семь), если наоборот вычитаются (например, IX девять). если наоборот вычитаются (например, IX девять).

Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления значение (величина) цифры определяется ее положением в числе. В позиционных системах счисления значение (величина) цифры определяется ее положением в числе. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание позиционной системы счисления количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание 10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Основание 10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Основание 60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, угла на 360 градусов. Основание 60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, угла на 360 градусов. Основание 12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов. Основание 12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов. Основание 5 широко использовалось в Китае. Основание 5 широко использовалось в Китае. За основание можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и т.д. За основание можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и т.д.

Развернутая форма записи числа Позиция цифры в числе называется разрядом. Позиция цифры в числе называется разрядом. A q = a n-1 q n-1 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q -m, где A q = a n-1 q n-1 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q -m, где q основание системы счисления (количество используемых цифр) A q число в системе счисления с основанием q a цифры многоразрядного числа A q n (m) количество целых (дробных) разрядов числа A q Пример: Пример: ,45 10 = a 2 a 1 a 0, a -1 a -2

Правило счета Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. Правило счёта: для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Правило счёта: для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Таблица эквивалентов чисел A 10 A2A2A2A2 A8A8A8A8 A 16 A 10 A2A2A2A2 A8A8A8A8 A A B 22212C 33313D 44414E 55515F

Двоичная система счисления Официальное «рождение» двоичной системы счисления (в её алфавите два символа: 0 и 1) связывают с именем Готфрида Вильгельма Лейбница. В 1703 г. он опубликовал статью, в которой были рассмотрены все правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Преимущества: Преимущества: –для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями: сеть ток нет тока; сеть ток нет тока; намагничен не намагничен; намагничен не намагничен; –представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; –возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; –двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток: Недостаток: –быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Перевод чисел (8) (2), (16) (2) Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). Примеры: Примеры: = ; A3F 16 = A 3 F 1 A 3 F Переведите: Переведите: = = 2 2ED 16 = 2 2ED 16 = 2

Перевод чисел (2) (8), (2) (16) Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Примеры: Примеры: = ; = 6 E 0 D Переведите: Переведите: = = = = 16

Перевод чисел (q) (10) Запись числа в развернутой форме и вычисление полученного выражения в десятичной системе. Запись числа в развернутой форме и вычисление полученного выражения в десятичной системе. Примеры: Примеры: = = ; = = = ; 3FA 16 = = = Переведите: Переведите: = = = = 10 E23 16 = 10 E23 16 = 10

Перевод чисел (10) (q) Последовательное целочисленное деление десятичного числа на основание системы q, пока последнее частное не станет равным нулю. Последовательное целочисленное деление десятичного числа на основание системы q, пока последнее частное не станет равным нулю. Число в системе счисления с основанием q последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Число в системе счисления с основанием q последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Примеры: Примеры: Переведите: Переведите: = = = = = = 16

Максимальное значение числа Для записи одного и того же значения в различных системах счисления требуется разное число позиций или разрядов: Для записи одного и того же значения в различных системах счисления требуется разное число позиций или разрядов: (2 разряда) = (2 разряда) = (3 разряда) = (7 разрядов) Чем меньше основание системы, тем больше длина числа (длина разрядной сетки). Чем меньше основание системы, тем больше длина числа (длина разрядной сетки). Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное по абсолютному значению число, которое можно записать. Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное по абсолютному значению число, которое можно записать. A q(max) = q N – 1, где N длина разрядной сетки (любое положительное число). A q(max) = q N – 1, где N длина разрядной сетки (любое положительное число). Пример. Если в двоичной системе счисления длина разрядной сетки N=8, то A 2(max) = 2 8 – 1 = 255 максимальное число, которое можно записать в этих восьми разрядах ( ). Пример. Если в двоичной системе счисления длина разрядной сетки N=8, то A 2(max) = 2 8 – 1 = 255 максимальное число, которое можно записать в этих восьми разрядах ( ).

Двоичная арифметика Таблицасложения = = = = 10 Таблицавычитания 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1 Таблицаумножения 0 0 = = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ – – – –

Упражнения Во сколько раз увеличится число 10,1 2 при переносе запятой на один знак вправо? Во сколько раз увеличится число 10,1 2 при переносе запятой на один знак вправо? При переносе запятой на два знака вправо число 11,11 x увеличилось в 4 раза. Чему равен x? При переносе запятой на два знака вправо число 11,11 x увеличилось в 4 раза. Чему равен x? Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записано число 23? Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записано число 23?

Упражнения 7B B Двоичное число записано в виде многочлена: Двоичное число записано в виде многочлена: Какой вид имеет число в двоичной, десятичной записи? 2 10 Сравните числа: D 16. Сравните числа: D F3D F3D Составьте таблицу эквивалентов чисел от 0 до 22 для q=10 и q=6. Составьте таблицу эквивалентов чисел от 0 до 22 для q=10 и q=6.

Литература Семакин И.Г., Вараксин Г.С. Информатика. Структурированный конспект базового курса. Семакин И.Г., Вараксин Г.С. Информатика. Структурированный конспект базового курса. Под ред. Семакина И.Г. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. Том 1. Под ред. Семакина И.Г. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. Том 1. Шауцукова Л.З. Информатика: Учебное пособие для классов общеобразовательных учреждений. Шауцукова Л.З. Информатика: Учебное пособие для классов общеобразовательных учреждений. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для классов. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для классов. Соловьёва Л.Ф. Информатика в видеосюжетах. Соловьёва Л.Ф. Информатика в видеосюжетах.