МОУ лицей 1 Авторы: ученицы 9 «А» класса Яковлева Анна и Федюнина Виктория Руководитель: А.С. Ваганова г. Тутаев г.

Цель Изучить правильные многоугольники и многогранники. Познакомиться с формулами и научиться решать задачи с их применением. Узнать где данные фигуры встречаются в жизни и в природе.

План работы 1. Правильные многоугольники Историческая справка Формулы для нахождения правильных многоугольников Построение правильных многоугольников 2. Правильные многогранники Историческая справка и интересные факты Какие они бывают 3. Правильные многоугольники и многогранники в жизни и в природе 4. Приложение Паркеты Задачи Модели многогранников

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. S α n =180°(n-2) α n =180°(n-2) n

Примеры Равносторонний треугольник Квадрат Пр. пятиугольник Пр. шестиугольник

История

Числа Ферма Числа вида, где n=0 или, называются числами Ферма. При n=0, получаем. Далее,,,,

Правильный многоугольник построить циркулем и линейкой можно при n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, …; нельзя при n=7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, …

Теорема Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. O А1А1 А3А3 АnАn А2А2 А4А4

Теорема В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. А1А1 А2А2 А3А3 АnАn О Н1Н1 Н2Н2 Н3Н3 НnНn

Следствия Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в его серединах. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Формулы для вычисления площади, стороны и радиуса вписанной окружности О С В Н аnаn r R α n 2 S=½Pr

Основные правильные многоугольники Треугольник Квадрат Пятиугольник Шестиугольник Семиугольник Восьмиугольник Девятиугольник Семнадцатиугольник 257-угольник угольник

Правильный треугольник или равносторонний треугольник Угол данного треугольника равен 60° (или π/3) R=2r

Квадрат или правильный четырёхугольник От англ. quad – четыре. S = t ² = 2R ² = 4r ²

Правильный пятиугольник или пентагон

Правильный шестиугольник или гексагон Сторона = радиусу описанной окружности. Все углы по 120°.

Правильный семиугольник

Правильный восьмиугольник или октагон Углы по 135°.

Правильный девятиугольник Углы по 140°.

Правильный семнадцатиугольник Центральный угол равен

Правильный 257-угольник В графическом изображении он почти не отличается от круга. Число 257 – одно из пяти известных простых чисел Ферма. Внутренний угол равен: Центральный угол составляет:

Правильный угольник Практически не отличается от окружности. Если нарисовать угольник с длиной одной стороны 1 см, то его диаметр будет больше 200 м. Если нарисовать угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Построение правильных многоугольников Построение сводится к делению окружности на равные части только при помощи циркуля и линейки.

Построение правильных: треугольника, шестиугольника и двенадцатиугольника треугольника, шестиугольника и двенадцатиугольника четырехугольника и восьмиугольника пятиугольника и десятиугольника семиугольника девятиугольника семнадцатиугольника

Построение правильных треугольника, шестиугольника и двенадцатиугольника

Построение правильного четырехугольника и восьмиугольника

Построение правильных пятиугольника и десятиугольника

Построение правильного семиугольника Приближенное

Построение правильного девятиугольника

Построение правильного семнадцатиугольника

Построение правильного семнадцатиугольника, предложенное Йоханнес Эрхингером в 64 шагах.

Правильные многогранники тетраэдркуб или гексаэдр октаэдр додекаэдр икосаэдр

Закон взаимности

Тела Пуансо

Формула для нахождения количества граней, рёбер и вершин правильного многогранника В+Г-Р=2 Название:Число ребер при вершине Число сторон грани Число граней Число ребер Число вершин Тетраэдр33464 Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Правильные многоугольники и многогранники в жизни и природе

Паркет – бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Паркеты из одинаковых правильных многоугольников:

Задачи 1 2 3

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей? Решение

Рассмотрим правильный 12 угольник A1A2…A12, вписанный в окружность радиуса R. Ясно, что A1A7=2R, A1A3=A1A11=R. Поэтому A1A7=A1A3+A1A11.

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским. Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника. Решение

Рассматривая треугольники EAB, ABC, BCD, получаем EA=AB, AB=BC, BC=CD. Поэтому трапеции EABC и ABCD равнобедренные, т.е. A=B=BCD. Рассматривая треугольники ABD и BCE, получаем AD=BD и BE=CE. Поскольку треугольники EAB, BCE, BCD равны, BE=AC=BD. Поэтому AD=BE и BD=CE, т.е. трапеции DEAB и BCDE равнобедренные. Следовательно, ED=AB=BC=CD=AE и A=B=C=D=E, т.е. ABCDE – правильный пятиугольник.

Докажите, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1,…, xn, все отличные от нуля, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась нулю. Решение

Проведём через центр правильного многоугольника A1 … An прямую L, не проходящую через его вершины. Пусть Xi равно проекции вектора OAi на прямую, перпендикулярную прямой L. Тогда все Xi отличны от нуля и сумма чисел Xi, стоящих в вершинах правильного k-угольника, равна нулю, поскольку равна нулю соответствующая сумма векторов OAi.

Вывод Мы познакомились с правильными многоугольниками. Научились решать задачи. Узнали историю правильных многоугольников и многогранников, их применение в жизни.

Источники Атанасян, Л.С. Геометрия 7 – 9: учеб. для общеобразоват. Учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 17-е изд. – М.: Просвещение, – 384с.: ил. – ISBN Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова: Под общ. Ред. О.Г.Хинн; Худож. А.В.Кардашук, А.Е.Шабельник, А.О.Хоменко.-М.: ООО «Издательство АСТ-ТД»,1998. – 480 с. ISBN Парахневич, В.А. Сборник задач по геометрии. VIII – X классы. В.А. Парахневич, Е.В. Парахневич. Мн: «Нар. Асвета», с. с илл экз. 32 к.

Источники ( ) w&id=16&Itemid=6 ( ) mnogougolniki-ochen-interesnye-figury.html ( ) ( ) ( ) ( ) В.В.Просолов, Задачи по планиметрии, ч.1.- М.: Наука. Гл. ред. Физ. – мат. Лит., – (Б-ка мат. Кружка). – 272с. А.В. Волошинов, Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, – 224 с.: ил. – ISBN %D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0 %BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3 %D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA ( )