Алгебра и начала анализа 11 класс Автор презентации: учитель математики школы 284 Сергелийского района г. Ташкента Тастанова Индира Абдрахимовна

Применение производной к исследованию функции Возрастание и убывание функции

Рассмотрим график функции y=f(x). Выберем два числа x1 и x2 из области определения функции, причём x1 < x2. На рисунке видно, что y1 = f(x1), y2 = f(x2). Число y1 меньше числа y2. Следовательно, f(x1) < f(x2). Возрастание функции

Определение 1 Функция называется монотонно возрастающей (или просто возрастающей) в интервале a x b, если из условия x1 < x2 следует, что f ( x1)< f ( x2 ). При этом a x1 b, a x2 b. Другими словами, функция называется монотонно возрастающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Примечание: представьте, что двигаясь по оси OX слева направо, по графику функции движемся вверх.

Убывание функции Рассмотрим график функции y=g(x). Для двух чисел x1 и x2 из области определения функции ( x1 < x2 ) y1 = g(x1), y2 = g(x2). Число y1 больше числа y2. Следовательно, g(x1) > g(x2).

Определение 2 Функция y = g ( x ) называется монотонно убывающей (или просто убывающей) в интервале a = < x < = b, если из условия x2 > x1 следует, что g( x2 ) < g( x1 ). При этом а = < x1 < = b, a = < x2 Другими словами, функция называется монотонно убывающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует меньшее значение функции. Примечание: представьте, что двигаясь по оси OX слева направо, по графику функции движемся вниз.

Промежутки монотонности Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности функции.

Определение постоянной функции Рассмотрим график функции y=k. График функции - это прямая, параллельная оси OX. Очевидно, что эта функция не возрастающая и не убывающая на всём множестве действительных чисел. Определение 3. Функция, не возрастающая и не убывающая на всей области определения Называется постоянной.

Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически

Решение 1) Выберем два произвольных значения x1 < x2 на интервале (- ; -1)(на рис. 1 x1 = -3, x2 = -2). Для заданной функции: f(x1)=-1.5; f(x2)=1. Так как x1 < x2 и f(x1) < f(x2), то на интервале (- ; -1) функция возрастает. 2) Выберем два произвольных значения x1 f(x1), то на интервале (-1; 2) функция убывает. 3) На интервале (2; +) функция возрастает (обратите внимание на характер кривой, он такой же, как и в случае 1 ). Ответ: Промежутки возрастания (- ; -1) и (2; +), промежуток убывания: (-1; 2).