Стереометрия Введение (шесть уроков) по учебнику для классов средней школы Авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.

Поурочное планирование 1.Предмет и аксиомы стереометрии. 2.Следствия из аксиом. 3.Решение задач на построение. 4.Решение задач на построение 5.Решение задач на построение. 6.Практическая работа.

Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрео» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

Неопределяемые понятия и отношения Точка есть то, что не имеет частей. Прямая есть длина без ширины. Плоскость есть то, что имеет только длину и ширину. Точка Прямая Поверхность Принадлежность Между Конгруэнтность Формулировки Евклида: Современная концепция :

Простейшие геометрические тела. Геометрическое тело – это предмет, от которого отняты все его свойства, кроме пространственных.

Геометрические фигуры Геометрические тела, как и другие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических пространственных фигур мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов.

Условные изображения пространственных фигур. Условное изображение пространственной фигуры – это её проекция на плоскость. Обычно выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры.

Условные обозначения Точки - прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H,...) Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h,...) Плоскости – строчными греческими буквами (

Греческий алфавит альфа бета гамма дельта эпсилон дзета каппа тэта ню кси омикрон пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега – йота – каппа – мю - лямбда

Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а

Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом ( III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ:

Проверим выполнение задания. а) R DCC 1, P DCC 1, S DCC 1, К ABC, K 1 ABC, P ABC, P 1 ABC, M ADD 1, R ADD 1, K ADD1, P1 ADD1; б) M ABB 1, M ADD 1, K 1 ABC, K ABB 1, P 1 ABC, P 1 DCC1, R ADD 1, R DCC 1, S DCC 1, N A 1 B 1 C 1, N BCC 1 ; в) KP ABC, C 1 D 1 CDD 1, C 1 D 1 A 1 B 1 C 1, RP CDD 1, MK AA 1 B 1 ; г) ABC DD 1 C 1 =DC, BB 1 C 1 AA 1 B 1 =BB 1, AA 1 D 1 A 1 B 1 C 1 =A 1 D 1 ; д) ABC KPN = KP, RPK DCC 1 = RP, BDC 1 RSP = DC 1 ; е) DS CC 1 =C 1, AD PC=D, MR AD=P 1, KP AD=K 1, DC 1 RP 1 = ; ж) C,C 1 (CDD 1 BCC 1 ), A 1,D 1,K 1, P 1 (ABC AA 1 D 1 ), A,K,B (BDC ABB 1 ). ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2, письменно 1 (перечертить чертеж и ответ записать с помощью символики), 11.