Квантовые траектории в диссипативной динамике одиночного кубита Гельман Александр Иосифович, нс 170 отд, ИПФ РАН, г. Н. Новгород

Предмет исследования и актуальность темы Квантовая оптикаКвантовая информация Нанотехнологии Квантовые эффекты становятся определяющими в работе современных высокотехнологичных устройств: Полупроводниковая техника Компьютеры (процессоры) Сверхпроводящие объекты Вся наноэлектроника Закон Мура Сверхсовременное направление – квантовая информация ROADMAP 1, Europe, апрель 2010 ROADMAP 2, USA, , Квантовая криптография Принципиально не дешифруемая передача данных, доведено до уровня готовых приборов; Квантовый компьютер Квантовые сверхскоростные вычисления, взлом существующих систем кодирования Основной рабочий элемент – квантовый бит, кубит

Квантовая информация

Среднесрочные планы

Постановка задачи Кубит является основным рабочим элементом квантового компьютера, физически реализуется в виде двухуровневой квантовой системы, например фотона, атома, донора в полупроводнике, ядерного спина, серхпроводящего контура Важнейшей характеристикой кубита является время декогерентности Наиболее перспективные устройства для реализации квантового компьютера - кубиты на основе джозефсоновских переходов M. Nakahara and T. Ohmi Quantum computing: from linear algebra to physical realizations. – London, 2008 Проблемы: - измерение скоростей релаксации кубита - управление динамикой кубитов в сильном переменном поле - измерения состояния кубита в условиях шума

J.E. Mooij, et.al,Science 285,1036 (1999) Yu. Makhlin, et.al., Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001) 3JJ qubit: гамильтониан Искусственный атом W.D.Oliver,et.al.,Quant inf Process 8,261(2009) Данные состояния могут быть измерены, соответствуют току в кубите по- и против часовой стрелки

Шум в системе M.Sillanpaa, et al.,PRL 96,187002(2006),W.D.Oliver,et.al., Science 310,1653(2005), D. M. Berns, et al., Nature 455,51(2008) Механизмы релаксации в кубите: Флуктуация заряда на джозефсоновских контактах Квазичастицы на островках сверхпроводимости (конечное сопротивление) Ядерные спины в подложке (флуктуация магнитного поля) Радиационное затухание, связь с управляющим полем Флуктуация потока Метод Монте-Карло (квантовых траекторий) 1.C. W. Gardiner, P. Zoller. Quantum noise. – Berlin: Springer, M. B. Plenio, P. L. Knight. Rev. Mod. Phys V. 70, 1. P. 101– H.-P. Breuer, F. Petruccione. The theory of open quantum systems. – Cambridge: Oxford University Press, А.И. Гельман, В.А. Миронов. Численное моделирование квантовой релаксации в многоуровневых атомных системах методом Монте-Карло: препринт 773; ИПФ РАН. – Н. Новгород, – 42 с

Квантовая теория релаксации: метод Монте-Карло Общий вид уравнения для оператора плотности в марковском приближении - форма Линдблада неэрмитов эффективный Гамильтониан оператор квантового скачка число скоростей релакс. оператор системы, взаимодействующий с резервуаром Возможна следующая интерпретация M. B. Plenio, P.L. Knight, Rev. Mod. Phys., 70(1), (1998). система детектор динамика под действиемквантовый скачок Динамика системы – в условиях эксперимента (мысленного) по регистрации спонтанно испущенных системой фотонов отсутствие фотоотсчета зарегистрирован фотоотсчет Mollow, B.R., 1975,PRA 12,1919

Имеется волновая функция системы в момент времени 1. Вероятность излучения фотона нет излученияизлучился фотон 3. повтор шагов 1,2 для расчета эволюции за требуемое время – квантовая траектория 4. повтор шагов 1-3 n раз для получения статистического ансамбля квантовых траекторий – усредненная динамика системы, соответствует уравнению для оператора плотности Метод МК: алгоритм численного моделирования Расчет ведется для волновой функции системы Имеется волновая функция системы в момент времени Доказательство эквивалентности Усредняем по n реализациям 2. генерация случайного числа r, равномерно распределенного на отрезке [0,1]

Метод МК: преимущества Квантовая теорема регрессии K. Molmer,Y. Castin, J. Dalibard, J. Opt. Soc. Am. B, 10, 524 (1993) Расчет среднего - операторы системы Расчет двухвременных корреляционных функций Расчет единичных реализаций процессов в квантовых системах Расчет диссипативной динамики одиночных квантовых систем Размерность системы ДУ для волновой функции N вместо N 2 для матрицы плотности Простота и эффективность распараллеливания алгоритма Расчет систем в немарковском приближении W. T. Strunz et.al, Phys. Rev. Lett, 82, 1999 Точность Статистически независимые реализации

Результаты тестирования 1. Двухуровневый атом под действием резонансного поля, в вакууме ГtГt ГtГt реализаций Динамика одного атома (одна из реализаций метода) Усредненная динамика системы (ансамбля атомов) 1000 реализаций 03

3JJ qubit: квантовые траектории Эффективный гамильтониан в резонансном приближении С увеличением Г динамика существенно меняется. Кубит может возбуждаться на верхний уровень. Нет пленения на ~Т/2 (между пересечениями уровней). Даже при сильном поле влияние шума существенно КПТ Rabi+LZ КПТ Rabi+LZ

3JJ qubit: усредненная динамика После усреднения по 3000 реализация метода МК (соответствует условиям эксперимента) наблюдается классическая Раби - динамика Видно отличие релаксационной динамики в одной реализации от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение и выход населенности на стационарное значение A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, (2010) Совпадение с моделью и экспериментом: D. M. Berns atal. PRL 97,150502(2006) КПТ

3JJ qubit: усредненная динамика При большом шуме эффекты когерентности (КПТ) исчезают Перекрытие резонансов 1.Kayanuma, Y. Phys. Rev B., 47, 9940 (1992) Затухание поляризации на временах независимо от параметров поля

Приложение к амплитудной спектроскопии Населенность верхнего уровня кубита после воздействия импульса длительностью постоянной амплитуды А при различных значениях шума (D.Berns et.al.,PRL 97, (2006)) N=3000 realizations Подгонка параметров шума при прямом численном моделировании под результаты эксперимента позволит восстановить параметры образца с хорошей точностью

В хорошем соответствии с N=3000 в предыдущем рассмотрении и эксперименте, где обычно N= A. I. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, (2010). Приложение к амплитудной спектроскопии: измерение состояния кубита Зависимость интерференционной картины от числа реализаций метода (числа измерений в эксперименте).

Зависимость интерференционной картины от флуктуации начальной фазы импульса P(t) Равномерное распределение, в каждой реализации - случайное В условиях шума при усреднении по 2000 реализаций населенность по окончании импульса не зависит от начальной фазы импульса. Усреднение по мелкомасштабным осцилляциям Ландау-Зинера. Глобальная динамика (насыщение и выход населенности на стационарное значение) сохраняется D. M. Berns, et.al. Phys. Rev. Lett. 97, (2006).

1.Дана интерпретация переходам ЛЗ в условиях шума и методу АС на примере сверхпроводящих кубитов с точки зрения единичных реализаций, а также установлена связь с усредненной динамикой системы, наблюдающейся в экспериментах. 2. Рассмотрено влияние различного уровня шума на населенности кубитов и зависимость резкости интерференционной картины метода АС от числа измерений состояния кубитов. Показана возможность контрастного формирования интерференционной картины уже при 100 реализациях, что может быть существенным при проведении эксперимента. 3. Промоделирован процесс измерения кубита, включая в рассмотрение классический шум, вызванный флуктуациями начальной фазы возбуждающего импульса в методе АС. Показано что такой шум не влияет на усредненную по реализациям интерференционную картину. 4.Программный комплекс протестирован на известных задачах квантовой оптики, использовались вычислительные кластерные системы ИПФ РАН и ННГУ 5.Проект получил финансовую поддержку на конкурсе «У.М.Н.И.К.», 2010 г. 6.Элементы методики расчета использованы при чтении спецкурса «Квантовая оптика» автором на физическом факультете ННГУ, для студентов 4-5 курса в весеннем семестре 2010 г. 7.Диплом 15-ой Нижегородской сессии молодых ученых (естественные науки), 2010 Основные результаты

Список публикаций 1.А. И. Гельман, А. М. Сатанин. Релаксационная динамика сверхпроводящих джозефсоновских кубитов в сильном переменном поле // ФТТ Т.52.С А. И. Гельман, А. М. Сатанин. Квантовые скачки при переходах Ландау-Зинера в диссипативной динамике сверхпроводящего кубита // Письма в ЖЭТФ Т. 91. С А. И. Гельман, А. М. Сатанин. Квантовые скачки при спонтанной релаксации сверхпроводящего кубита под действием сильного ВЧ поля // Вестник ННГУ А. И. Гельман, М.В. Денисенко, А. М. Сатанин. Динамический контроль квантовых состояний джозефсоновских кубитов // Вестник ННГУ А. И. Гельман, В. А. Миронов. Подавление шума в атомной системе под действием поля в сжатом когерентном состоянии // ЖЭТФ Т С A. Gelman, V. Mironov. Noise suppression in three-level atomic system driven by quantized field // Proc. SPIE V P F. 7.A. I. Gelman, M. V. Denisenko, A. M. Satanin, and F. Nori Amplitude and phase effects in Josephson qubits driven by a biharmonic electromagnetic field (in preparation) 8.A. Shvetsov, A. M. Satanin, A Gelman, A. Zagoskin, S. Savel'ev, and F. Nori. Quantum photonic crystals with tuneable electromagnetic properties (in preparation) 9.A. Shvetsov,A. M. Satanin, A. Gelman, A. Zagoskin, S. Savel'ev, and F. Nori. Control of superconducting metamaterials (in preparation) 10.А. И. Гельман, Диссертация «Диссипативная динамика и контролируемая релаксация в одиночных квантовых системах», ИПФ РАН, 2010

Квантовая теория релаксации: методы исследования Природа диссипации - взаимодействие системы с резервуаром с большим числом степеней свободы система резервуар взаимодействие система-резервуар Оператор плотности «система+резервуар» Оператор плотности системы Метод оператора плотностиМетод Гейзенберга-Ланжевена -полный набор операторов системы -полный набор операторов резервуара C.W.Gardiner, P.Zoller, Quantum noise, Springer, 2000 Скалли М. О., Зубайри М. С., Квантовая оптика, М., Физматлит, 2003

Решение уравнений для элементов оператора плотности, n 2 штук

Резонансная флуоресценция одиночного иона 138Ba+ на переходе |0>-|1>. Оптические поля действуют на оба перехода. Если ион переходит в состояние |2> (метастабильное), флуоресценция исчезает. Через промежуток времени, обычно равный времени жизни уровня 2 (32 сек. в данном эксперименте) атом возвращается в состояние 0, и флуоресценция на переходе |0>-|1> восстанавливается. Одиночный V-атом: флуоресценция t, с Для описания такого поведения потребовалась новая теория (у ансамбля атомов скачков не будет) Bergquist, J. C. et. al. Observation of quantum jumps in a single atom // PRL V. 57. P Nagourney, W. et.al Shelved optical electron amplifier: Observation of quantum jumps //PRL.1986,56,P.2797 Sauter, T. et. al. Observation of quantum jumps Phys. Rev. Lett V. 57. P Отсчет, 1/с

оператор системы, взаимодействующий с резервуаром Метод МК: интерпретация Общий вид уравнения для оператора плотности системы с учетом релаксации в марковском приближении - форма Линдблада эффективный Гамильтониан оператор квантового скачка число скоростей релакс. Возможна следующая интерпретация M. B. Plenio, P.L. Knight, Rev. Mod. Phys., 70(1), (1998). система детектор динамика под действиемквантовый скачок Динамика системы – в условиях эксперимента (мысленного) по регистрации спонтанно испущенных системой фотонов отсутствие фотоотсчета зарегистрирован фотоотсчет

Метод МК: преимущества Квантовая теорема регрессии K. Molmer,Y. Castin, J. Dalibard, J. Opt. Soc. Am. B, 10, 524 (1993) Расчет среднего - операторы системы Расчет двухвременных корреляционных функций Расчет единичных реализаций процессов в квантовых системах Расчет диссипативной динамики одиночных квантовых систем Размерность системы ДУ для волновой функции N вместо N 2 для матрицы плотности Простота и эффективность распараллеливания алгоритма Расчет систем в немарковском приближении W. T. Strunz et.al, Phys. Rev. Lett, 82, 1999 Точность Статистически независимые реализации

Результаты тестирования 1. Двухуровневый атом под действием резонансного поля, в вакууме ГtГt ГtГt реализаций Динамика одного атома (одна из реализаций метода) Динамика ансамбля атомов (усредненная динамика) 1000 реализаций 3

Имеется волновая функция системы в момент времени 1. Вероятность излучения фотона нет излученияизлучился фотон 3. повтор шагов 1,2 для расчета эволюции за требуемое время – квантовая траектория 4. повтор шагов 1-3 n раз для получения статистического ансамбля квантовых траекторий – усредненная динамика системы, соответствует уравнению для оператора плотности Метод МК: алгоритм численного моделирования Расчет ведется для волновой функции системы Имеется волновая функция системы в момент времени Доказательство эквивалентности Усредняем по n реализациям 2. генерация случайного числа r, равномерно распределенного на отрезке [0,1]

Метод МК – простейший вывод Расcмотрим В первом порядке по Аналогично Стохастическая эволюция. -дискретное время В среднем динамика унитарна, существует строгая теория КСДУ, теория измерения

Известные приложения метода Прочитан спецкурс на Физическом факультете ННГУ, весенний семестр 2010 г. (4-5 курсы) Победа в конкурсе УМНИК: численное моделирование динамики квантовых систем с использованием суперкомпьютерных технологий 1.Лазерное охлаждение (учет импульса) Dalibard, J. Wave-function approach to dissipative processes in quantum optics // Phys. Rev. Lett V. 68. P Взаимодействие квантованного света с атомными системами Nakano, M. // Phys. Rev. A V. 70. P Гельман, А. И. // ЖЭТФ Т С Устойчивость квантовых протоколов в зашумленной среде (одиночные системы) Jun J. // Phys. Rev. A V. 73. P Goto, H. et.al.// Phys. Rev. A V. 72. P Carlo, G. et.al. // Phys. Rev. Lett V. 91. P Witthout, D. et.al.// Phys. Rev. A V. 79. P Динамика Бозе-конденсата в зашумленной среде А.И. Гельман, В.А. Миронов. Численное моделирование квантовой релаксации в многоуровневых атомных системах методом Монте-Карло:препринт 773 ИПФ РАН.2008.(42 с) 5. Динамика сверхпроводящих кубитов в условиях шума A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, (2010)

Результаты тестирования 2. Трехуровневый атом с Λ-конфигурацией электронных уровней под действием резонансных полей, в вакууме Эффект когерентного пленения населенностей N=5000, N=10000, результат неотличим от точного решения Агапьев Б.Д и др., УФН 163, 9 (1993)

Джозефсоновский переход В зависимости от того, какая энергия больше, выделяют зарядовый и фазовый (потоковый) кубиты (определяется геометрией) Кулоновская энергияДжозефсоновская энергияЧисло куперовских пар Переход к квантовому описанию, соотношение неопределенностей Сверхпроводящий электрод 1 Сверхпроводящий электрод 2 Изолятор

Сверхпроводящий потоковый кубит (3JJ qubit) 2πf-φ 1 -φ 2 (б)(б) J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999). Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman, Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001)

Частица с анизотропной массой в 2d джозефсоновском потенциале самоиндукция 3JJ qubit: гамильтониан

Движение возможно только в одном направлении – эффективный двухъямный потенциал J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999). Сверхпроводящий ток в противоположных направлениях, одинаков через каждый переход 3JJ qubit: гамильтониан

Данные состояния могут быть измерены, соответствуют току в кубите по- и против часовой стрелки Искусственный атом W.D. Oliver, et.al., Quant inf Process 8, 261 (2009) Учет нижнего уровня в каждой яме 3JJ qubit: гамильтониан

Гамильтониан справедлив для описания динамики всех типов сверхпроводящих кубитов (не только потокового) Различие заключается в способе управления внешними параметрами В случае 3JJ кубита – путем изменения амплитуды внешних полей f dc и f ac SQUID Схема измерения состояния кубита W.D. Oliver, S.O. Valenzuela Quant Inf Process 8, 261 (2009) 3JJ qubit: управление динамикой Воздействие на кубит внешними полями: 1.постоянным магнитным полем f dc 2.переменным ВЧ электромагнитным полем f ac

3JJ qubit: резонансное приближение Аналогичный гамильтониан широко известен в оптике: резонансное взаимодействие 2-хуровневого атома с частотно-модулированным лазерным полем - Эффект когерентного подавления туннелирования (КПТ), даже в присутствии сильного поля накачки частота Раби равна нулю, кубит не возбуждается. Средняя по времени населенность верхнего уровня кубит. Ф. Бесселя приводит к интерференционной картине в зависимости населенности от амплитуды постоянного и переменного полей (для определения параметров кубита) G. S. Agarwal et.al., Phys. Rev. A 50, R4465 (1994) S. Ashhab, et.al., Phys. Rev. A 75, (2007) отличие от оптики

- уровни пересекаются в неадиабатическом базисе (без учета туннелирования) Вероятность перехода в пределе бесконечно большого времени Скачки населенности происходят при каждом пересечении уровней. Периодическое пересечение приводит к интерференционной картине Основная цель работы – изучение влияния шума на динамику кубита и переходы ЛЗ L. D. Landau, Phys. Z. Sowjetunion 2, 46 (1932) C. Zener. Proc. R. Soc. A137, 696 (1932) W. D. Oliver, Y. Yu, J. C. Lee, et.al., Science 310, 1653 (2005) 3JJ qubit: переходы Ландау-Зинера Впервые исследованы при рассмотрении пересечения уровней при столкновении атомов

3JJ qubit: квантовый шум в системе Кинетическое уравнения в марковском приближении M. Sillanpaa, et al., Phys. Rev.Lett. 96, (2006). W. D. Oliver, et al., Science 310, 1653 (2005). D. M. Berns, et al., Phys. Rev. Lett. 97, (2006). D. M. Berns, et al., Nature 455, 51 (2008).

3JJ qubit: шум в системе Leggett, A., et.al. (1987) Dynamics of the dissipative two-state system, Rev. Mod. Phys. 59, 1. Schon, G., and A. D. Zaikin, 1990, Phys. Rep. 198, 237; Weiss, U. (1999) Quantum Dissipative Systems

3JJ qubit: квантовые траектории Эффективный гамильтониан в резонансном приближении С увеличением Г динамика существенно меняется. Кубит может возбуждаться на верхний уровень. Нет пленения населенностей на временах ~Т/2 (между пересечениями уровней) КПТ Rabi+LZ Кубит приготовлен в состоянии |0> J. You, et.al, Phys. Rev. Lett. 100, (2008)

3JJ qubit: квантовые траектории КПТ Rabi+LZ Кубит приготовлен в состоянии |0> J. You, et.al, Phys. Rev. Lett. 100, (2008) Даже при сильном управляющем поле влияние шума существенно С увеличением Г динамика существенно меняется. Кубит может возбуждаться на верхний уровень. Нет пленения населенностей на временах ~Т/2 (между пересечениями уровней)

3JJ qubit: усредненная динамика Согласно подходу скоростных уравнений В случае сильного внешнего воздействия: Влияние резервуара - классические флуктуации магнитного потока (белый шум) Средняя скорость переходов ЛЗ в рамках теории возмущений, когда W

3JJ qubit: усредненная динамика После усреднения по 3000 реализация метода МК (что соответствует условиям эксперимента) наблюдается классическая Раби - динамика Видно отличие релаксационной динамики в одной реализации – стохастическое случайное движение от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение и выход населенности на стационарное значение A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, (2010) Совпадение с моделью и экспериментом: D. M. Berns at.al. PRL 97, (2006) КПТ (динамическая локализация)

PRL 97, (2006) D. M. Berns at.al. Параметры кубита могут быть получены из анализа результатов эксперимента (частота Раби, ширина резонанса, населенности уровней) Even for CDT regime После усреднения по 3000 реализация метода МК (что соответствует условиям эксперимента) наблюдается классическая Раби - динамика Видно отличие релаксационной динамики в одной реализации – стохастическое случайное движение от усредненной динамики, когда наблюдается насыщение и выход населенности на стационарное значение A. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, (2010) 3JJ qubit: усредненная динамика

При большом шуме эффекты когерентности (КПТ) исчезают Перекрытие резонансов 1.Kayanuma, Y. Phys. Rev B., 47, 9940 (1992) Затухание поляризации на временах независимо от параметров поля

Приложение к амплитудной спектроскопии Населенность верхнего уровня кубита после воздействия импульса длительностью постоянной амплитуды А при различных значениях шума (D.Berns et.al.,PRL 97, (2006)) N=3000 realizations

Более контрастная картина наблюдается для резонансов высокого порядка. Хорошее совпадение с экспериментом (D.Berns et.al.,PRL 97, (2006)) Приложение к амплитудной спектроскопии Подгонка параметров шума при прямом численном моделировании под результаты эксперимента позволит восстановить параметры образца с хорошей точностью

In good correspondence with N=3000 in previous consideration and experiments. In experiments usually N= A. I. Gelman, A.M. Satanin, JETP lett. 91, (2010). Приложение к амплитудной спектроскопии: измерение состояния кубита Зависимость интерференционной картины от числа реализаций метода (числа измерений в эксперименте). Расчет без усреднения по времени.

Приложение к амплитудной спектроскопии: фазовый контроль населенности M. V. Denisenko, A. I. Gelman, A. M. Satanin (in preparation).