Доклад на районном МО математиков (март,2010г.). /Слепокурова Л.Г. МОУСОШ74/. Числовые неравенства и их свойства

При сравнении двух действительных чисел X и Y возможны три случая: X = Y (x равно y); x>y (x больше y); x y (x больше y); x < y ( x меньше y). Выражение, в котором два числа или две функции соединены знаком > или, y, u > v называются неравенствами одного знака или неравенствами одинакового смысла; неравенства x>y, u или, y, u > v называются неравенствами одного знака или неравенствами одинакового смысла; неравенства x>y, u

СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ: если a > b, то b b, то b < a; если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности); если a > b, то a + c > b + c; если a > b и c > 0, то ac > bc или a/c > b/c; если a > b и c b и c < 0, то ac< bc или a/c < b/c; если a > b > 0, то 1/a b > 0, то 1/a < 1/b; если a> b и c > d, то a + c > b + d; если a > b > 0 и c >d >0, то ac > bd; если a > b и c b ­– d; если a > b >0 и nєN, то an > bn. если a > b >0 и nєN, то an > bn. Пример: ( ГИА,2009). О числах a и b известно, что a < b. Какое из следующих неравенств верно при всех значениях переменных a и b? Пример: ( ГИА,2009). О числах a и b известно, что a < b. Какое из следующих неравенств верно при всех значениях переменных a и b? 5 – a < 5 – b; 5 – a < 5 – b; a + 3 > b + 3; a + 3 > b + 3; 5a > 5b; 5a > 5b; (-1/3)a > (-1/3)b. * (-1/3)a > (-1/3)b. * Верным является неравенство 4), которое приводится к неравенству, заданному в условии. Все остальные неравенства приводятся к виду a > b, что противоречит условию. Верным является неравенство 4), которое приводится к неравенству, заданному в условии. Все остальные неравенства приводятся к виду a > b, что противоречит условию.

Пример: (ГИА,2009). Какие из неравенств: 1) х + у < 25, 2) х + у < 30, 3) х + у < 40 верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих условию х < 10, у < 20? 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3, * 1, 2, 3. Пример: (ГИА,2009). О числах известно, что х < у < z. Какое из чисел положительно? у – z, x – z, x – y, z – x. *

Пример: (ГИА,2009). Какое из следующих неравенств не следует из неравенства а – в > с? а > в + с, в < а – с, а – в – с > 0. * Пример: (ГИА,2009). Сравнить а2 и а3, если известно, что 0 < а < 1. Пример: (ГИА,2009). Сравнить а2 и а3, если известно, что 0 < а < 1. 1) а2 < а3, 1) а2 < а3, 2) а2 > а3, * 2) а2 > а3, * 3) а2 = а3, 3) а2 = а3, 4) для сравнения не хватает данных. 4) для сравнения не хватает данных. Пример: (ГИА,2009). На координатной прямой отмечены числа x и y. Сравните числа -x и -y. 1) -х < -у, 2) -х > -у, * 3) -х = -у, 4) сравнить невозможно. Пример: (ГИА,2009). Какое из неравкнств: 1) ху > 200, 2) ху > 100, 3) ху > 400 верно при любых значениях х и у, удовлетворяющих условию х > 10, у > 20? 1 и 2, * 1 и 3, 2 и 3, 1, 2, 3.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Используя свойства неравенств, можно преобразовать данное неравенство в равносильное, более простое. Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида ax + b > 0 или ax + b < 0, где a и b – действительные числа и a 0.

Линейные неравенства с одной переменной. Если неравенство содержит буквенные выражения, то оно является верным лишь при определённых значениях входящих в него переменных. Например, неравенство x > 0 верно только при положительных значениях x, а неравенство x2 -1 не будет верным ни при одном значении x. Решить неравенство – значит указать все значения неизвестных величин, при которых неравенство становится верным, или показать, что таких значений не существует.

Пример 1. Решить неравенство: 16 – 3x > 0. Ответ: ( - ; 5]. Неравенство, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно x, путём равносильных преобразований можно привести к линейному неравенству. Пример 2. Решить неравенство: 2(x – 3) + 5(1 – x) 3(2x – 5). Выполнив равносильные преобразования, получаем 9х 14. Ответ: x є (- ; 14/9]. Пример 3. Решить неравенство: 9x – 5 > 9x – 6. Выполнив равносильные преобразования, получим 0x > -1. Это неравенство справедливо при всех значениях x. Ответ: ( - : + ). Пример 4. Решить неравенство: x – ( x + 1) /2 > (x – 3) /4 – ( x – 2) /3. Умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное всех знаменателей, т.е. на 12, будет 12х – 6х – 6 > 3х – 9 – 4х + 8 и после приведения подобных членов, получим 7x > 5. Ответ: x є ( 5/7; + ).

Если требуется найти все значения переменной x, каждое из которых есть решение одновременно нескольких линейных неравенств, то говорят, что надо решить систему линейных неравенств с одним неизвестным x. Для того, чтобы решить систему линейных неравенств, надо решить каждое неравенство этой системы, а затем найти общую часть ( пересечение) полученных множеств решений – она и будет множеством всех решений данной системы. Обычно неравенства, входящие в систему, объединяют фигурной скобкой, хотя допустима запись и в виде двойного неравенства. Решение системы линейных неравенств сводится к осуществлению последовательности равносильных преобразований с последующей геометрической иллюстрацией на числовой оси. Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решение системы двух линейных неравенств с одной переменной может привести к одному из четырёх возможных случаев: 1)x > a, x > b._________(b; +) 2)x > a, x < b;_________( a; b) 3)x < a, x < b;_________( -; a). 4)x < a, x > b;____решений нет. Аналогично можно решать системы, содержащие и большее число неравенств.

Пример 5. Решить систему неравенств: {2x + 3 > 0, Пример 5. Решить систему неравенств: {2x + 3 > 0, {-4x + 5 < 0; {-4x + 5 < 0; Выполнив равносильные преобразования, получаем систему: {x > - 3/2; Выполнив равносильные преобразования, получаем систему: {x > - 3/2; x > 5/4; x > 5/4; Отметим на координатных осях интервалы, полученные для каждого неравенства отдельно: Отметим на координатных осях интервалы, полученные для каждого неравенства отдельно: В качестве решения возьмём общую часть этих интервалов: ( 5/4; + ). В качестве решения возьмём общую часть этих интервалов: ( 5/4; + ). Геометрическую интерпретацию решения системы неравенств можно осуществлять и на одной числовой оси. Геометрическую интерпретацию решения системы неравенств можно осуществлять и на одной числовой оси.

Пример 6. Решить систему неравенств: 3x – 6 > 0, 15 – 5x 0, 1,7x – 5,8 < 1. Используя числовую ось, получаем решение системы: [3;4). Систему неравенств иногда можно записать в виде двойного неравенства и в этом случае удаётся применить другой способ решения.

Пример 7. Решить систему неравенств: 2x – 5 > 0, 2x – 5 < 7. Запишем систему неравенств в виде двойного неравенства: 0 < 2x - 5 < 7, 5 < 2x < 12, 5/2 < x < 6. Следовательно, решением системы является интервал: (5/2; 6). Пример (ГИА,2009).Решить систему неравенств x + 5 3x + 7 (2x – 1)/3 (x + 1)/2. Ответ: [ -1; 5].

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Неравенство вида ax 2 + bx + c > 0 (или ax 2 + bx + c < 0), где a,b,c – действительные числа, причём a 0, называют неравенством второй степени с одним неизвестным x. Решением квадратного неравенства называют такое число x0, при подстановке которого вместо x получается верное числовое неравенство. Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет. Решение неравенства ax 2 + bx + c > 0 или ax 2 + bx + c < 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция y = ax 2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y = ax 2 + bx +c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось X и если пересекает, то в каких точках

Итак, для решения неравенств вида ax 2 + bx + c > 0 и ax 2 + bx + c < 0 поступают следующим образом: находят дискриминант квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c и выясняют имеет ли трёхчлен корни; если трёхчлен имеет корни, то отмечают их на оси X и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0; если трёхчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a < 0; находят на оси X промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси X ( если решают неравенство ax 2 + bx + c > 0) или ниже осиX ( если решают неравенство ax 2 + bx + c < 0).

Пример: (ГИА,2009). Для каждого неравенстваукажите множество его решений: а) х 2 – 4 < 0, 1) ( -; - 2) U (2; + ) б) х < 0,2) ( -2; 2) в) х 2 – 4 > 0. 3) нет решений.

Пример: (ГИА,2009).Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство x 2 – 2ax + 5a не имеет решения. Решение. Квадратичная функция y = x 2 – 2ax + 5a + 6 определена при всех значениях переменной. Поэтому если неравенство x 2 - 2ax + 5a не имеет решения, то это означает, что функция принимает положительные значения при всех значениях переменной. А это возможно, только если дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства, будет отрицательным. Вычислим дискриминант, используя чётность второго коэффициента, получим: D1 = a 2 – 5a – 6. Для нахождения искомых значений параметра осталось решить неравенство D1 < 0. Имеем: a 2 – 5a – 6 < 0; (a + 1) (a – 6) < 0; -1 < a < 6. Ответ: ( -1; 6).

Р Е Ш Е Н И Е Н Е Р А В Е Н С Т В МЕТОДОМ И Н Т Е Р В А Л О В. При решении неравенств методом интервалов рассуждают следующим образом: если многочлен, стоящий в левой части неравенства P(x) < 0, разложен на линейные множители, т.е. представлен в виде то следует на оси ОX отметить все его корни xn ( n = 1,2,…). Над промежутком, расположенном правее наибольшего корня, поставить знак «+». Затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень менять знак, если соответствующий этому корню линейный множитель возводится в нечётную степень, и сохранять знак, если он возводится в чётную степень. Наконец, выбрать промежутки, над которыми стоят требуемые знаки. Граничные точки включать в ответ, если знак неравенства нестрогий и не включать в противном случае.

Задачи раздела НЕРАВЕНСТВА направлены на проверку умений: а) решать линейные неравенства с одной переменной, требующие для приведения их к простейшему виду алгебраических преобразований; системы неравенств; выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям; б) решать квадратные неравенства и системы, включающие квадратные неравенства; в) применять аппарат неравенств для решения других задач.

Пример 8. Решить неравенство: 3x 2 – 2x – 5 0. Х = Многочлен P(x) = ( x+ 1)( x – 5/3) содержит все скобки в первой ( нечётной) степени, значит при переходе через каждый корень знак будет меняться. Нас интересуют промежутки с отрицательными знаками, следовательно, x є [-1;5/3]. Пример 9. Решить неравенство: -4x 2 + 4x – 1 < 0. Так как дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то корень один x = ½, следовательно, имеем (x -½)2 > 0. Линейный множитель возводится в чётную степень, значит, знак менять не будем. Получаем: xє (-;½) U (½;+). Пример 10. Решить неравенство: 3x 2 – 2x + 1 >0. Дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен, значит корней нет, и квадратный трёхчлен положителен всюду. Получаем x є R.

Презентация подготовлена: учителем МОУСОШ 74 Слепокуровой Лилией Григорьевной