1 XXXIV Академические Чтения по Космонавтике Москва, 26 – 29 января 2010 г. ПРОБЛЕМА КОРРЕКЦИИ ОРБИТЫ АСТЕРОИДА APOPHIS В.В. Ивашкин*, К.А. Стихно** *Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН **НПО им. С.А. Лавочкина ФКА Секция 5. Прикладная небесная механика и управление движением Среда, 27 января 2010 г.

2 1. ВВЕДЕНИЕ - a В работе выполнен анализ задачи коррекции орбиты астероида Апофис c акцентом на применение КА малой массы, чтобы можно было использовать существующие ракетно-космические системы. Целью этой коррекция является предотвращение столкновения астероида с Землей в 2036 году. В докладе исследуется проблема астероида Апофис. В настоящее время существует некоторая положительная вероятность столкновения астероида с Землей. Поэтому важен анализ возможности предотвращения этого столкновения.

3 r – гелиоцентрический радиус-вектор астероида; S – гравитационный параметр Солнца; r i, i – радиус-векторы (из DE-405) и гравитационные параметры небесных тел (большие планеты и Луна); 1 – возмущение из-за сжатия Земли; 2 – возмущение из-за давления Солнечного света. Модель и уравнения движения астероида (1) 1. ВВЕДЕНИЕ - b

Физические параметры астероида: Диаметр D A = м Плотность d A =2.5-3 г/см 3 Масса (при D A =320 м, d A =2.5 г/см 3 ) m A кг Энергия столкновения c Землей 800 MT Рис. 1. Орбиты Астероида Apophis и Земли I – Орбита астероида до сближения в 2029г. II – Номинальная орбита астероида после сближения с Землей в 2029 г. III – Орбита Земли Параметры орбиты I астероида Apophis: Период обращения T=0.89 г. (T c 8 лет) Афелий r a =1.10 a.e Перигелий r p =0.75 a.e Большая п/ось a=0.92; наклон I=3°.3 Параметры орбиты I I астероида Apophis: Период обращения T=1.17 г. (T c 7 лет) Афелий r a =1.33 a.e Перигелий r p =0.90 a.e Большая п/ось a=1.11; наклон I=2°.12 Скорость приближения к Земле V 5.5 км/c Скорость соударения с поверхностью Vc 12.6 км/c Y (а.е.) X (а.е.) 2.Номинальная траектория астероида Aпофис - а

Рис. 2. Расстояние от астероида до центра Земли. Момент времени t 0 =0 соответствует дате 2005 JAN Рис. 3. Расстояние от Апофиса до центра Земли в окрестности точки сближения в 2029 г. 2.Номинальная траектория астероида Aпофис - b t (годы) r (10 6 км) r (10 3 км) t (годы)

С помощью метода градиентного спуска минимизируется функция перигейного расстояния в окрестности данного сближения в зависимости от начальных координат Z D f(Z)=r (Z, t i (Z)) – > min, (3) определяющая минимальное расстояние до Земли в момент некоторого сближения с Землей t i для траектории с вектором начальных параметров Z. Минимизация проводится методом градиентного спуска. Заранее проводится интегрирование 10 4 случайно выбранных начальных данных из D. Для первой итерации выбираются те начальные данные, для которых траектории имеют наименьшее расстояние до Земли в 2036 году. Поиск траекторий, приводящих к столкновению с Землей 3. Семейство траекторий столкновения астероида с Землей в 2036 г - а

7 Множество орбит Апофиса со столкновениями с Землей в 2036 г. Рис. 4. Картинная плоскость у Земли в 2029г. Изолинии постоянного перигейного расстояния (2070 км; 4000 км; 6370 км) орбиты Апофиса в 2036 г. Ширина опасной области ~600 м. (10 3 км) 2070 км 6370 км 4000 км 3. Семейство траекторий столкновения астероида с Землей в 2036 г - b Картинная плоскость перпендикулярна геоцентрической скорости номинальной траектории астероида в момент его наибольшего сближения с Землей в апреле 2029 года.

8 Рассматриваются два вида воздействий: – довольно простые и быстрые в реализации – зачастую эффективны с энергетической точки зрения – довольно малы импульс скорости и масса КА для ударно-кинетического воздействия до 2028 года, энергия термоядерного воздействия до 2035 года – возможность уменьшения ошибок засчет двухимпульсной коррекции Импульсные воздействия (ударно-кинетические, ядерные и др.) Слабые воздействия (малая тяга, гравитационный «трактор») – недостаточен уровень знания характеристик вещества и структуры астероида и модели воздействия – мала продолжительность воздействия, это ведет к трудностям управления – все это приводит к недостаточной точности осуществления коррекции – часто сложны в техническом исполнении – имеют большую длительность воздействия – зачастую имеют достаточно простую модель воздействия – из-за большой продолжительности работы могут быть организованы измерения и коррекция программы воздействия – все это приводит потенциально к лучшей точности коррекции Коррекция орбиты астероида

9 Рис. 5. Схема одноимпульсной коррекции столкновительной орбиты астероида 4. Импульсная коррекция орбиты астероида - a ΔV C Луна Орбита Луны Орбита астероида после коррекции Орбита астероида без коррекции Земля Рис. 6. Схема одноимпульсной Лунной коррекции для отклонения Апофиса от Земли и направления астероида на Луну. T1T1 V С (t C ) T2T2 С E r 1 r 2 = r 1 + r f T1T1 V C2 E-2036 E-2029 E-2005 V C1 t0t0 T2T2 TfTf Рис. 7. Схема двухимпульсной коррекции столкновительной траектории астероида

10 При коррекции до сближения с Землей в 2029 г. величина импульса скорости коррекции значительно меньше, чем при коррекции после этого сближения. Рис. 8. Величина импульса скорости коррекции для отклонения Апофиса от Земли при изменении перигейного расстояния в апреле 2036 г. r f =10 6 км 4. Импульсная коррекция орбиты астероида - b t c -2000,годы lg V c, км/с

11 Рис. 9. Схема расположения аппарата около астероида S (Солнце) С (КА) P rArA A (Астероид) VAVA Орбита астероида r 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием

12 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – a t c0 t t c0 + t c ; (4) Модель гравитационного воздействия Уравнения Гелиоцентрического движения Астероида с гравитационным воздействием на «активной» дуге траектории: Здесь: a S -μ S r A /r A 3 – ускорение из-за Солнечной гравитации; a SC (ρ/ρ 3 -r/r 3 ) – ускорение из-за гравитации КА; = Gm; m = /G - масса КА; она уменьшается при воздействии (6); P k – тяга двигателей КА, c e – скорость истечения для двигателей КА; m = m(t c0 ) = m 0 при c e = ; (7) a PL – ускорение из-за гравитации Луны и планет, а также сжатия Земли; a SP – ускорение от давления солнечного света.

13 Рис. 10. Продолжительность гравитационного воздейст- вия в зависимости от вре- мени начала коррекции, ско- рости истечения и измене- ния перигейного расстояния в 2036 году (начальная мас- са КА m 0 =5000 кг, расстоя- ние от КА до астероида =320 м). t c, сут r f = км r f = км r f =0, км t c0 2000, годы c e =3000 м/с c e =15000 м/с c e = Продолжительность гравитационного воз- действия примерно про- порциональна измене- нию перигейного расстояния r f. 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – b

14 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – с Рис. 11. Продолжительность гравитационного воздействия в зависи- мости от времени начала коррекции, скорости истечения (начальная масса КА m 0 =2т, изменение перигейного расстояния в 2036 году 1, 0.5 и 0.1 млн. км; расстояние от КА до астероида =320 м). c e =3 км/с c e =15 км/с c e = r π =10 6 км r π =0.5· 10 6 км c e =15 км/с c e =3 км/с c e = t c, мес t c0 2000, годы r π =0.1· 10 6 км c e =3 км/с c e =15 км/с c e =

15 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – d Рис. 12. Продолжительность гравитационного воздействия в зависи- мости от времени начала коррекции, скорости истечения (начальная масса КА m 0 =1т, изменение перигейного расстояния в 2036 году 1, 0.5 и 0.1 млн. км; расстояние от КА до астероида =320 м). c e =15 км/с c e = r π =10 6 км r π = км c e =15 км/с c e =3 км/с c e = c e =3 км/c c e = c e =15 км/с c e =3 км/с r π =0.1· 10 6 км t c, мес t c0 2000, годы

16 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – e Рис. 13. Продолжительность гравитационного воздействия в зависи- мости от времени начала коррекции, скорости истечения (начальная масса КА m 0 =1т и 2т, изменение перигейного расстояния в 2036 году 1 и 0.5 млн. км; расстояние от КА до астероида =320 м). c e =3 км/с c e =15 км/с c e = r π =10 6 км r π =0.5 ·10 6 км c e =15 км/с c e =3 км/с c e = t c, мес t c0 2000, годы m 0 =1 т m0=2 тm0=2 т r π =0.5 ·10 6 км r π =10 6 км m 0 =1 т m0=2 тm0=2 т c e =15 км/с c e =

17 Рис. 14. Продолжительность гравитационного воздействия в зависимости от времени начала коррекции и массы КА: c e = ; = 320 м; r f = км. Продолжительность гравитационного воздействия примерно обратно пропорциональна массе КА 5. Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – f t c, сут t c , годы m=5 т m=10 т m=7,5 т m=1 тm=1 т m=2 тm=2 т

t c, сут t c , годы 240 м 320 м 400 м 360 Рис. 15. Продолжительность гравитаци- онного воздействия в зависимости от времени начала коррекции и расстояния от КА до астероида (c e = ; m=5 т; r f = км). Продолжительность гравитаци- онного воздействия примерно пропорциональна квадрату расстояния, Коррекция орбиты астероида гравитационным воздействием – g

19 6. Управление движением КА - a Рис. 16. Схема удержания КА вблизи астероида в «орбитальной» системе координат S (Солнце) C (КА) i rArA A (Астероид ) VAVA Орбита Астероида j P Тяга двигателей КА При управлении КА с помощью его ракетных двигателей выполняется условие = V A /V A =const - (8) В орбитальной системе координат СК, связанной с орбитой астероида. Суммарная тяга двигателей КА определяется из уравнения движения КА относительно астероида : d 2 /dt 2 = P k /m-( A + ) / 3 +a S + a PL +a SP a C a e. (9) Здесь: a C и a e – Кориолисово и переносное ускорения из-за вращения орбитальной СК. Вследствие (7) и оценок: d /dt=0; d 2 /dt 2 =0; a C =0; (|a S |+|a PL |+|a SP |+|a e |) m/s 2 ускорение от астероида (с относительной погрешностью ): a A = -( A + ) / 3 - A / 3 ( 2.9·10 -5 m/s 2 ), (10) а тяга двигателей КА: P = P k = -m a A = m A / 3 ; P=|P|=Gm m A / 2. (11) Т.о., суммарная тяга P направлена практически вдоль вектора. Пример: m=5т, m А =4.3·10 7 т, R A =160 м, =320 м, тогда P=0.14 N.

20 6. Управление движением КА - b P1P1 P2P2 RARA Астероид КА A C Масса КА Рис. 17. Схема удержания КА вблизи астероида [10 E. Lu and S.Love,2005] На рис. 17 приведена принятая схема действия двигателей КА с отклонением их осей над горизонтом астероида на угол (=20 ). Угол отклонения от продольной оси КА = arcsin(R A / )+. Сумма величин тяг и общий секундный расход массы: P k = P/ cos = Gm m A / 2 cos ; dm/dt= – Gm m A /c e 2 cos ; t c0 t t c0 + t c. (12) Текущая масса КА: m(t)=m 0 exp { –Gm A (t-t c0 )/c e 2 cos }; t c0 t t c0 + t c. (13) Конечная масса КА и расход массы: m f =m(t c0 + t c )= m 0 exp { –Gm A t c /c e 2 cos }; (14) m c = m 0 -m f.

21 6. Управление движением КА - c Расход массы – а c e =15000 м/с t c , годы c e =3000 м/с m c, кг m 0 =10 т m 0 =7,5 т m 0 =5 т Рис. 18. Расход массы КА в зависимости от времени начала коррекции, скорости истечения и начальной массы КА (расстояние до астероида =320 м; изменение перигея в 2036 г. r f = км).

22 6. Управление движением КА - d Расход массы – b Рис. 19. Расход массы КА в зависимости от времени начала коррекции, скорости истечения и начальной массы КА: расстояние до астероида =320 м; изменение перигея в 2036 г. r f = км. c e =15000 м/с t c , годы c e =3000 м/с m c, кг m 0 =2 т m0=2 тm0=2 т m 0 =1 т

23 6. Управление движением КА - e Расход массы – с Рис. 20. Расход массы КА в зависимости от времени начала коррекции, скорости истечения и начальной массы КА: расстояние до астероида =320 м; изменение перигея в 2036 г. r f = км. c e =15000 м/с t c , годы c e =3000 м/с m c, кг m 0 =2 т m0=2 тm0=2 т m 0 =1 т

24 6. Управление движением КА - f Расход массы – d Рис. 21. Расход массы КА в зависимости от времени начала коррекции, скорости истечения и начальной массы КА: расстояние до астероида =320 м; изменение перигея в 2036 г. r f = км. c e =15000 м/с t c , годы c e =3000 м/с m c, кг m 0 =2 т m0=2 тm0=2 т m 0 =1 т

25 6. Управление движением КА - g Расход массы – e Рис. 22. Расход массы КА в зависимости от времени начала коррекции, скорости истечения и изменения перигейного расстояния КА: расстояние до астероида =320 м; начальная масса КА m 0 =(1;2;5;7.5;10) тонн. c e =15 км/с t c , годы c e =3 км/с m c, кг r π =10 6 км r π =0.5·10 6 км c e =3 км/с c e =15 км/с r π =10 6 км r π =0.5·10 6 км Расход массы приближенно определяется соотношением m c m A r f / c e cos (ρ)d rV

26 6. Управление движением КА - h Расход массы - f Рис. 23. Расход массы КА в зависимости от времени начала коррекции, скорости истечения и расстояния до астероида (начальная масса КА m=5 т; изменение перигея в 2036 г. r f = км). m c (кг) cos( ) t , годы c e =3000 м/с =400 м =320 м =240 м =320 м =400 м c e =15000м/с

27 7. Выводы Анализ показал, что для отклонения Апофиса от Земли в 2036 г. может быть использовано гравитационное воздействие с помощью сравнительно небольшого КА массой около одной тонны. При воздействии в г. продолжительность воздействия для отклонения на 1 млн. км. составит около 1-2 лет. Для управления и удержания КА в специальном положении относительно астероида могут быть использованы как электро-реактивные, так и химические ДУ. Расход массы для этого управления составляет кг. При меньшем отклонении время воздействия и расход массы соответственно уменьшаются. Работа выполнена при поддержке РФФИ(Гранты и ) и программы поддержки научных школ (Грант NSh ). Сейчас очень важно уточнить орбиту астероида, а также его физические характеристики как с помощью наземных, так и, что очень эффективно, с помощью космических наблюдений на базе специальных КА, - особенно при близких сближениях в 2013 и 2021 годах.

28 8. ЛИТЕРАТУРА - a 1. Ahrens T.J., Harris A.W. Deflection and fragmentation of near-Earth asteroids, Nature, 1992, Vol. 360, pp Ailor W. Earth Threatening Asteroids: Issues and Future Actions, 58th International Astronautical Congress, Hyderabad, India, September 24-28, Proceedings, Presentation: IAC-07-H.L.01.pdf. 3. Ивашкин В.В. Качественный сравнительный анализ некоторых методов изменения орбиты сближающегося с Землей малого небесного тела. Сборник трудов конференции Околоземная астрономия XXI века, г. Звенигород, мая 2001 г. ИНАСАН. М.: ГЕОС, С Ivashkin V.V. 4. Ивашкин В.В., Смирнов В.В. Качественный анализ некоторых методов уменьшения астероидной опасности для Земли. // Астрономический вестник Т.27, N 6. С Ivashkin V.V., Stikhno C.A. An Analysis of the Correction Problem for the Near-Earth Asteroid (99942) Apophis=2004 MN4. // The 2007 Planetary Defense Conference, March 5-8, 2007a, the G. Washington Univ., Washington, D.C., USA Ivashkin V.V., Stikhno C.A. A Problem of the Orbit Correction for the Near-Earth Asteroid Apophis. 58th International Astronautical Congress, Hyderabad, India, September 24-28, 2007b. Proceedings, Paper IAC- 07-C pdf. 7. В.В. Ивашкин, К.А. Стихно. О проблеме коррекции орбиты сближающегося с Землей астероида (99942) Apophis. // Доклады Академии Наук, 2008, т. 419, N 5. C В.В. Ивашкин, К.А. Стихно. Анализ проблемы коррекции орбиты астероида Апофис. В кн. «Околоземная астрономия 2007». Труды Международной конференции, 3-7 сент. 2007, Терскол. Изд. КБНЦ РАН, Нальчик С Ivashkin V.V., Stikhno C.A. On prevention of possible collision of asteroid Apophis with Earth, International Conference "100 years since Tunguska phenomenon: Past, present and future", June 26-28, 2008b; Moscow:

Lu E.T., Love S.G. Gravitational tractor for towing asteroids, Nature, 2005, Vol. 438, pp Медведев Ю.Д., Свешников M.Л. и др. Acтероидно-кометная опасность. // Ред. А.Г. Сокольский. С.-Петербург, изд. ИТА РАН, с. 12. Phipps Cl. Laser Deflection of NEOs, NASA Near Earth Object Interception Workshop. Proceedings. LA-UR , pp V.V. Ivashkin, C.A. Stikhno. USING A WEAK GRAVITY EFFECT FOR CORRECTION OF THE ASTEROID APOPHIS ORBIT. // 59 th International Astronautical Congress, Glasgow, Scotland, 29 September – 3 October, Proceedings, DVD: Paper, IAC-08.C1.6.7.pdf, 10 p. 14. Степаньянц В.А., Львов Д.В. Эффективный алгоритм решения системы дифференциальных уравнений движения. // Математическое моделирование. 2000, т.12, вып. 6. С Угроза с неба: рок или случайность? Опасность столкновения Земли с астероидами, кометами и метеороидами. // Науч. ред. А.М. Микиша, М.А. Смирнов. Космосинформ, Москва с. 15. Э.И. Ягудина, В.А. Шор. Орбита АСЗ (99942) Apophis = 2004 MN4 из анализа оптических и радарных наблюдений. // Всероссийская конференция «Астероидно-кометная опасность-2005 (АКО-2005)», Санкт-Петербург, 3-7 октября 2005 г. Материалы конференции. СПб: ИПА РАН, С В.В. Ивашкин, К.А. Стихно. О применении гравитационного воздействия на астероид Apophis для коррекции его орбиты. // Доклады Академии Наук, 2009, т. 424, N 5. С В.В. Ивашкин, К.А. Стихно. О предотвращении возможного столкновения астероида Apophis с Землей. // Астрономический вестник, 2009, т. 43, N 6. С ЛИТЕРАТУРА - b

30