ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ А. Суханов ИКИsukhanov@iki.rssi.ru 28 декабря 2004 г. - презентация

1 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ А. Суханов 28 декабря 2004 г.

2 Движение с малой тягой Уравнения движения: Мощность тяги: Реактивное ускорение: Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ): N N max, c меняется произвольным образом,, с скорость истечения вектор реактивного ускорения

3 Оптимизация идеально регулируемой тяги Минимизируемый функционал: ( p v – базис-вектор Лоудена) Функция Гамильтона: Оптимальная тяга: = arg max H = Np v = NQ T сопряженные уравнения в вариациях A = [P Q] общее решение (матрица 6-го порядка) p v = Q T

4 Метод транспортирующей траектории (МТТ) МТТ: метод приближенного решения задачи оптимального перелета с идеально регулируемой малой тягой постоянной мощности между двумя заданными положениями, основанный на линеаризации траектории перелета около некоторой близкой кеплеровской орбиты (транспортирующей траектории, опорной орбиты) В.В. Белецкий, В.А. Егоров. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности, Космические исследования, 1964, 3 разность между положениями на траектории КА и транспортирующей траектории, G матрица 3-го порядка (t 0 ) = (t 1 ) = 0 граничные условия Задача решается в транспортирующей (орбитальной) системе координат

5 Модификация метода транспортирующей траектории (t 0 ) = 0, (t 1 ) = 1 граничные условия x = x(t), y = y(t) векторы состояния траектории КА и опорной орбиты (транспортирующей траектории) = х у вектор состояния линеаризованной задачи Задача решается методом вариации произвольной постоянной: = (t, t 0 ) матрица изохронных производных, общее решение уравнений в вариациях

6 Б.Ц. Бахшиян, А.А. Суханов. Об изохронных производных первого и второго порядка в задаче двух тел, Космич. Исслед., 1978, 4. А.И. Назаренко, Б.С. Скребышевский. Эволюция и устойчивость спутниковых систем, М.: Машиностроение, А.А. Суханов. Об изохронных производных в задаче двух тел, Космич. Исслед., 1990, 2. А, А 1 найдены аналитически в явном виде Декомпозиция матрицы изохронных производных P, Q подматрицы 6 3, A 0 = A(t 0 ) (t, t 0 ) = А 1 А 0 A = A(t) = [P Q] матрица 6-го порядка, общее решение сопряженного уравнения в вариациях

7 Модификация метода транспортирующей траектории (t, t 0 ) = А 1 А 0 g = 0,, = NQ T, = const неизвестный вектор S матрица 6-го порядка. Матричный интеграл S вычисляется: аналитически для постоянной тяги N = const с тремя скалярными квадратурами для солнечной энергетики в квадратурах для произвольной энергетики N = N(r, t)

8 Модификация метода транспортирующей траектории Матрица QQ T вырожденна, однако матрица S является невырожденной на любом интервале времени. = A к к A 0 0 вектор граничных условий = S к, оптимальная тяга вектор состояния КА минимизируемый функционал

9 Дополнительные возможности Концевые смещения транспортирующей траектории 0 0, 0, к к, к В классическом МТТ 0 = к = 0 В модифицированном МТТ в общем случае 0 0, к 0, что позволяет лучше аппроксимировать траекторию Частично заданные граничные условия 1. Пролет небесного тела с произвольной скоростью, т.е. к не задано 2. Энергия запуска h задана, а направление выбирается произвольно неопределенный множитель заданы,

10 Разбиение времени полета на подынтервалы Разбиение интервала времени перелета на подынтервалы используется: для повышения точности МТТ при облете нескольких небесных тел t 1, …, t n–1 моменты времени, разделяющие подынтервалы, t n = t к значения параметров в момент t i на i -м и (i+1) -м подынтервалах соответственно минимизируемые функционалы

11 Повышение точности МТТ u скорость на транспортирующей траектории D 1, d 1 известные матрица и вектор Порядок матрицы D 1 : = 6n 6 при заданных граничных условиях = 6n 3 или 6n при частично заданных граничных условиях ТТ транспортирующая траектория ТП траектория перелета

12 Оценка точности метода Если n велико, то i = const внутри i -го подынтервала отклонение КА от транспортирующей траектории: по положению и по скорости следует ожидать, что ошибка вычислений по положению ипо скорости

13 Облет нескольких малых небесных тел V i скорость i -го тела w i скорость пролета i -го тела, D 2, d 2 известные матрица и вектор Порядок матрицы D 2 : = 3n 3 при заданных граничных условиях = 3n или 3n + 3 при частично заданных граничных условиях

14 Облет массивных небесных тел асимптотические скорости подлета и отлета i, R i, A i гравитационный параметр i -го тела, min расстояние сближения и max угол поворота асимптотической скорости неопределенные множители i дополнительная переменная Неизвестные:

15 Перелет Земля Веста Численный пример: перелет Земля Веста в 2004 г. за 3 года. Выход КА из сферы действия Земли и сближение с астероидом с нулевой скоростью. Число подынтервалов от 1 до 100. Максимальные приведенные отклонения от транспортирующей траектории Минимизируемый функционал и отношение конечной массы к начальной

16 Перелет Земля Веста

17 Плоский спиральный перелет между близкими эллиптическими орбитами ИСЗ. Время перелета 1 сут., оптимальная угловая дальность 6 об ° 50 подынтервалов Спиральный межорбитальный перелет

18 Оптимальный перелет (по оси абсцисс истинная аномалия) /g Удельный импульс Угол между и v /r, /v

19 Спиральный межорбитальный перелет Угловая дальность меньше оптимальной на 4° /g Удельный импульс Угол между и v /r, /v

20 Спиральный межорбитальный перелет Угловая дальность больше оптимальной на 4° /g Удельный импульс Угол между и v /r, /v

21 Выводы Преимущества модифицированного МТТ перед классическим: Инерциальная система координат Полностью аналитическое решение для постоянной мощности Решение в квадратурах для произвольного закона изменения мощности Ненулевые концевые смещения, повышающие точность аппроксимации Возможность частично заданных граничных условий Возможность многовитковых траекторий перелета Возможность получения любой требуемой точности вычислений Возможность облета нескольких небесных тел