В.Г. Петухов E-mail: petukhov@mtu-net.ru Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева. - презентация

1 В.Г. Петухов Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ 2. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ 4. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ КА С ДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 2

3 ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Представлен единый методический подход к решению различных задач численной оптимизации траекторий КА с малой тягой. Основой этого подхода является формальная редукция краевой задачи принципа максимума к задаче Коши. Такая редукция достигается применением метода продолжения по параметру. 3

4 ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Оптимизация перелетов КА с малой тягой: Т.М. Энеев, В.А. Егоров, В.В. Белецкий, Г.Б. Ефимов, М.С. Константинов, Г.Г. Федотов, Ю.А. Захаров, Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, В.Н. Лебедев, В.В. Салмин, С.А. Ишков, В.В. Васильев, T.N. Edelbaum, F.W. Gobetz, J.P. Marec, N.X. Vinh, K.D. Mease, C.G. Sauer, C. Kluever, V. Coverstone-Carroll, S.N. Williams, M. Hechler и др. Метод продолжения: M. Kubicek, T.Y. Na и др. 4

5 ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Недостатки традиционных численных методов оптимизации малая область сходимости; вычислительная неустойчивость; необходимость подбора начального приближения в условиях отсутствия априорной информации о решении задачи. Часть этих явлений связана с физической сущностью задачи оптимизации (вопросы устойчивости, существования и ветвления решений). Однако, большинство численных методов вносят свои - методические - ограничения, не имеющие непосредственного отношения к свойствам математической задачи. Так, область сходимости практически всех численных методов существенно меньше области притяжения конкретной экстремальной точки в пространстве неизвестных параметров краевой задачи. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения, а в некоторых случаях - например при использовании ряда прямых методов оптимизации - с большой размерностью задачи. 5

6 ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Цель разработки метода продолжения Регуляризация численной оптимизации траекторий, то есть устранение, по возможности, методических недостатков численной оптимизации. В частности, была поставлена и решена задача определения оптимальной траектории при использовании тривиального начального приближения (например, пассивного движения КА по начальной орбите). Рассматриваемые прикладные задач оптимизации траекторий 1. Оптимизация межпланетных траекторий КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги; 2. Оптимизация траекторий перелета к Луне КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги в рамках ограниченной задачи трех тел; 3. Оптимизация перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами КА с двигательной установкой с постоянной скоростью истечения. 6

7 Задача: решить систему нелинейных уравнений (1) относительно вектора z Пусть z 0 - начальное приближение решения. Тогда, (2) где b - вектор невязок при z = z 0. Введем в рассмотрение однопараметрическое семейство z( ), где - скалярный параметр и рассмотрим уравнение (3) относительно z( ). Очевидно, что z(1) - решение уравнения (1). Продифференцируем уравнение (2) по и разрешим его относительно dz/d : (4) Интегрируя уравнения (4) от 0 до 1 получаем решение системы (1). Уравнение (4) - дифференциальное уравнение метода продолжения (формальная редукция решения системы нелинейных уравнений (1) к задаче Коши). 1. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 7

8 МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Применение метода продолжения к краевой задаче оптимального управления Уравнения оптимального движения (после применения принципа максимума): Краевые условия (пример): Вектор параметров краевой задачи и вектор невязок: Матрица чувствительности: Совместная система о.д.у. оптимального движения и уравнений в вариациях для вычисления вектора невязок и матрицы чувствительности: Расширенные начальные условия: 8

9 МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Схема решения задачи оптимизации траектории КА с малой тягой методом продолжения по параметру Редукция задачи оптимального управления к краевой задаче применением принципа максимума Л.С. Понтрягина Начальное приближение z 0 Вычисление вектора начальных невязок b с помощью интегрирования системы о.д.у. оптимального движения при заданном начальном приближении вектора параметров краевой задачи z 0 Совместное интегрирование систем о.д.у. оптимального движения и уравнений в вариациях при текущем значении z( ) для определения текущих значений вектора невязок f(z, ) и матрицы чувствительности f z (z, ) Интегрирование системы о.д.у. метода продолжения по от 0 до 1 Интегрирование систем о.д.у. оптимального движения при текущем значении z( ) для определения текущих значений вектора невязок f(z, ) и при варьированных значениях z( ) для конечно-разностного вычисления f z (z, ) Решение z(1) МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ 1-й вариант вычисления правых частей о.д.у. метода продолжения 2-й вариант вычисления правых частей о.д.у. метода продолжения 9

10 2. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 10

11 2.1. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ Функционал: (постоянная мощность, ЯЭРДУ) (переменная мощность, СЭРДУ) Уравнения движения:d 2 x/dt 2 = x +a Начальные условия:x(0)=x 0 (t 0 ), v(0)=v 0 (t 0 )+V e Конечные условия 1) сопровождение:x(T)=x k (t 0 +T), v(T)=v k (t 0 +T) 2) пролет:x(T)=x k (t 0 +T) где x, v - векторы положения и скорости КА, - силовая функция гравитационного поля, a - вектор реактивного ускорения, x 0, v 0 - векторы положения и скорости планеты отправления, x k, v k - векторы положения и скорости планеты прибытия, V - гиперболический избыток скорости КА у планеты отправления, e -единичный вектор ориенации гиперболического избытка V, N(x,t) - отношение текущей реактивной мощности к начальной. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 11

12 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 2.2. УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ) Гамильтониан: Оптимальное управление: Оптимальный гамильтониан: Уравнения оптимального движения: Вектор невязок: Вектор параметров краевой задачи и вектор начальных невязок: (сопровождение) (пролет) 12

13 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Погружение краевой задачи в однопараметрическое семейство: Начальное значение вектора параметров краевой задачи и ее решение: Дифференциальное уравнение метода продолжения: Система дифференциальных уравнений для определения правой части уравнения метода продолжения и расширенные начальные условия: 2.3. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ 13

14 Земля-Марс, сопровождение, дата старта 1 июня 2000, V = 0 м/с, T=300 сут 1 - траектория пассивного движения ( 1 = 0) промежуточные траектории (0 < 2 < 3 < 4 < 1) 5 - конечная (оптимальная) траектория ( 5 = 1) 2.4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ, ВЫЧИСЛЯЕМАЯ АЛГОРИТМОМ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПАССИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 14

15 2.5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ К МЕРКУРИЮ И АСТЕРОИДАМ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 15

16 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ПРИМЕРЫ ПОВОРОТА ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ Поворот плоскости круговой орбиты на 90° Поворот плоскости круговой орбиты на 120° 16

17 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ПРИМЕР: ВЛИЯНИЕ ОТЛЕТНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ИЗБЫТКА СКОРОСТИ 17

18 ПРИМЕР: ТРАЕКТОРИЯ КА С ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТЬЮ И С СОЛНЕЧНОЙ ЭРДУ ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 18

19 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 2.7. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ГРАВИТАЦИОННОМУ ПАРАМЕТРУ Причины отказов метода продолжения: вырожденность матрицы чувствительности (ветвление решений) Для межпланетных перелетов бифуркации оптимальных решений чаще всего связаны с изменением числа целых витков вокруг Солнца Если угловая дальность перелета в процессе продолжения будет оставаться постоянной, то путь продолжения в параметрическом пространстве не будет пересекать границ областей оптимальных решений различного типа, следовательно не будет вырождаться матрица чувтсвительности Цель модификации метода - зафиксировать угловую дальность перелета в процессе продолжения Последовательность вычисления траекторий при использовании базового метода продолжения Последовательность вычисления траекторий при использовании метода продолжения по гравитационному параметру 19

20 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Пусть x 0 (0), x 0 (T) - положение планеты старта при t=0 и t=T; x k - положение планеты-цели при t=T. Будем считать гравитационный параметр Солнца линейной функцией параметра продолжения, и начальное значение этого гравитационного параметра 0 выберем из следующих условий: 1) угловые дальности перелета при =0 и =1 равны; 2) при =1 гравитационный параметр Солнца равен действительному физическому значению (1 для уравнений в безразмерных координатах) В качестве начального приближения рассматривается пассивное движение КА по орбите планеты старта. Пусть начальная истинная аномалия КА в точке старта S равна 0, а конечная в точке К k = 0 + ( - угол между x 0 и проекцией x k на плоскость начальной орбиты). Решение уравнения Кеплера дает соответствующие значения средних аномалий M 0 и M k (M=E-e sinE, где E=2 arctg{[(1-e)/(1+e)] 0.5 tg( /2)} - эксцентрическая аномалия). Средняя аномалия - линейная функция времени на кеплеровской орбите: M=M 0 +n (t-t 0 ), где n=( 0 /a 3 ) среднее движение. Следовательно, должно выполняться: M k +2 N rev =nT+M 0. Отсюда начальное значение гравитационного параметра Солнца 0 =[( M k +2 N rev - M 0 )/T] 2 a 3, а текущее ( )= 0 +(1- 0 ). Форма и размеры граничных орбит должны быть инвариантны относительно, отсюда v(t, )= ( ) 0.5 v(t, 1). 20

21 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой z = (p v (0), dp v (0)/dt) T = b = f(z 0 ) Уравнения движения: Краевые условия: Функция невязок: Параметры краевой задачи: Уравнение метода продолжения: где 21

22 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Численный пример: сопровождение Меркурия Постоянная мощность, дата старта 1 января 2001 г., время перелета 1200 суток Все решения получены с использованием нулевого начального приближения Базовый вариант метода продолжения по параметру Метод продолжения по гравитационному параметру 5 целых витков7 целых витков 22

23 ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ПРИМЕРЫ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ К ПЛАНЕТАМ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ 23

24 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Рассматривается задача перелета КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги с геоцентрической орбиты на орбиту спутника Луны. Траектория перелета разбивается на 4 участка: 1) Траектория геоцентрической спиральной раскрутки с начальной орбиты до некоторой промежуточной геоцентрической орбиты; 2) Траектория сопровождения точки либрации L 2 системы Земля-Луна; 3) Траектория перелета из точки L 2 на некоторую промежуточную селеноцентрическую орбиту; 4) Траектория селеноцентрической скрутки до целевой орбиты. 1-й и 4-й участок могут отсутствовать в случае достаточно высоких начальной геоцентрической и конечной селеноцентрической орбит. Траектории 2-го и 3-го участков определяются с помощью метода продолжения по параметру. 24

25 ОБОСНОВАНИЕ РАЗБИЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ НА УЧАСТКИ Область возможного движения КА при критическом значении постоянной Якоби Область возможного движения КА при относительной скорости 10 м/с на сфере Хилла Ширина горловины ~60000 км Сфера Хилла Область спутникового движения Луна к Земле Кривые нулевой скорости (изолинии интеграла Якоби) 1. Характерная длительность пребывания КА, движущегося по гиперболической траектории, в сфере действия Луны: ~1 сутки. 2. Характерное изменение скорости КА за счет работы двигателей малой тяги при реактивном ускорении ~0.1 мм/с 2 : ~10 м/с. 3. Ширина горловины в окрестности точки либрации, соответствующей избытку относительной скорости КА на сфере Хилла в 10 м/с: ~60000 км. Для реализации захвата КА в область спутниковых движений с использованием двигателей малой тяги его скорость относительно точки либрации при пересечении сферы Хилла не должна превышать ~10 м/с, а удаление от точки либрации не должно превышать ~30000 км. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 25

26 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИИ СОПРОВОЖДЕНИЯ L 2 Модельная задача перелета с круговой околоземной орбиты (высота км, наклонение 63°, долгота восходящего узла 12°, аргумент широты 0°; дата старта 5 января 2001 г.) a, мм/с t, сут t, сут t, сут t, сут 4 полных витка5 полных витков 6 полных витков7 полных витков 26

27 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИИ СОПРОВОЖДЕНИЯ L 2 С ГРАВИТАЦИОННЫМ МАНЕВРОМ У ЛУНЫ Реактивное ускорение, мм/с Т, сут 95 Орбита Луны Конечное положение Луны Начальное положение Луны Начальное положение L 2 Конечное положение L 2 Начальная орбита Гравитационный маневр Реактивное ускорение, мм/с Т, сут витка7.5 витков 27

28 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА ИЗ L 2 НА КРУГОВУЮ ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ Final orbit: r = km, i = 0. Transfer: 1.5 orbits, T = 10 days Final orbit: r = km, i = 0. Transfer: 2.5 orbits, T = 15 days Final orbit: r = km, i = 90. Transfer: 2.5 orbits, T = 20 days Thrust acceleration 0.5 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 10 0 Time, d 150 Time, d 20 Moon Final (intermediate) orbit Initial L 2 position Final L 2 position 28

29 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИЯ ПЕРЕЛЕТА ИЗ L 2 НА ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ (i=90°, h p =300 км, h a =10000 км, 10.5 витков) Thrust acceleration 1 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 30 Moon Final orbit Initial L 2 position Final L 2 position 29

30 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой УЧАСТКИ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ НА КРУГОВУЮ ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ Геоцентрическая спиральная раскрутка Траектория сопровождения L 2 Перелет из L 2 на круговую экваториальную км орбиту вокруг Луны Moon Earth Thrust acceleration 0.5 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 95 Thrust acceleration 0.5 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 95 30

31 4. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 31

32 Уравнения орбитального движения КА записываются в равноденственных элементах, не имеющих особенностей при нулевом наклонении и эксцентриситете. Задача оптимального управления редуцируется к двухточечной краевой задаче применением принципа максимума Л.С. Понтрягина. Эта краевая задача, в свою очередь, формально редуцируется к задаче Коши с помощью метода продолжения по параметру. Для вычисления правых частей дифференциальных уравнений метода продолжения необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений оптимального движения (П-систему) и вычислить частные производные от конечного фазового вектора П-системы по начальным значениям сопряженных переменных. При численном интегрировании П-системы ее правые части численно осредняются по истинной долготе КА. Частные производные от конечного фазового вектора П-системы по начальным значениям сопряженных переменных определяются по конечно-разностным соотношениям. В результате первого интегрирования П-системы формируется вектор невязок решения краевой задачи. Для определения матрицы чувствительности с помощью конечных разностей требуется 6 дополнительных интегрирований П-системы. В результате, после решения системы линейных алгебраических уравнений формируется вектор правых частей системы дифференциальных уравнений метода продолжения. Система дифференциальных уравнений метода продолжения численно интегрируется по параметру продолжения от 0 до 1, в результате чего определяется оптимальное решения. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 32

33 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой - функция выключения двигателя, P - реактивная тяга, m - масса КА, - тангаж, - рысканье Система равноденственных орбитальных элементов: - гравитационный параметр центрального тела; p, e,,, i, - классические кеплеровские элементы. Компоненты реактивного ускорения в орбитальной системе координат: Уравнения движения в равноденственных элементах: w - скорость истечения 4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Краевые условия: t = 0: t = T: 33

34 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Осредненный функционал не зависит от F, поэтому после осреднения. Так как рассматриваются межорбитальные перелеты, конечное значение F=F(T) не фиксировано p F (T)=0 (условие трансверсальности) в гамильтониане можно опустить члены с p F, где Функционал: Гамильтониан: Оптимальное управление: Оптимальный гамильтониан: или ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 34

35 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.3. УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (П-СИСТЕМА) где - фазовый и сопряженный векторы, 35

36 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 36

37 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Уравнение метода продолжения:, где (быстродействие) или z=p (фиксированное время); b=f(z 0 ) - вектор невязок при начальном значении z (при =0). Краевая задача решается интегрированием дифференциальных уравнений метода продолжения по от 0 до 1. Частные производные от вектора невязок f по параметрам краевой задачи z и решение системы линейных уравнений для определения правых частей этих дифференциальных уравнений определяются численно КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В задаче оптимального быстродействия 1, а уравнения для m и p m можно не рассматривать, заменив массу на выражение m = m 0 - (P/w) t. Уравнение невязок для задачи оптимального быстродействия имеет вид: Это уравнение должно быть решено относительно неизвестных начальных значений сопряженных переменных p(0) и времени перелета T. В задаче с фиксированным временем T уравнение невязок краевой задачи имеет вид: Это уравнение должно быть решено относительно неизвестных начальных значений сопряженных переменных p(0), p m (0). 37

38 4.5. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Краевая задача решается методом продолжения по параметру. Для вычисления невязок f интегрируются осредненные по истинной долготе F уравнения оптимального движения. Эти уравнения имеют особенность при p=0, поэтому использовать нулевое начальное приближение для вектора сопряженных переменных нельзя. В задаче оптимального быстродействия при использовании метода продолжения по параметру в качестве начального приближения для p(0) выбиралось p h =1, если большая полуось конечной орбиты превышает большую полуось начальной орбиты и p h =-1 в противном случае. Остальные компоненты вектора p выбирались равными 0, а начальное приближение для безразмерного времени перелета T| =0 =1 (в единицах начальной орбиты). С таким начальным приближением удалось решить задачи об оптимальном по быстродействию перелете с высокоэллиптической промежуточной орбиты (ПО) на ГСО при наклонении ПО 0°-75° и высоте апогея ПО км. Если высота апогея ПО находилась вне этого диапазона, для решения задачи в качестве начального приближения приходилось использовать предварительно полученное решение задачи перелета с ПО с достаточно близкой высотой апогея. Осреднение уравнений оптимального движения по истинной долготе F осуществляется численно в процессе интегрирования этих уравнений. Вычисление частных производных от функции невязок f по параметрам краевой задачи p(0), T, необходимых для применения метода продолжения, производится также численно по конечно-разностным формулам первого порядка. Таким образом, для вычисления правых частей дифференциальных уравнений метода продолжение используется численное интегрирование численно осредненных уравнений оптимального движения и полученные численным дифференцированием частные производные от функции невязок краевой задачи по ее параметрам. 38

39 4.6. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В НЕОСРЕДНЕННОМ ДВИЖЕНИИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Малый уровень реактивного ускорения (по сравнению с гравитационным) обуславливает близость эволюции орбитальных элементов в осредненном и неосредненном движении в эллиптическом случае. Для проверки применимости найденного для осредненных уравнений движения оптимального управления, найденные оптимальные начальные значения параметров краевой задачи подставлялись в неосредненные уравнения оптимального движения, и эти уравнения численно интегрировались. Начальное значение истинной долготы F выбиралось достаточно произвольно (обычно соответствующее перигею или апогею начальной орбиты), а начальное значение сопряженной к ней переменной p F принималось равной 0 (см. замечание выше). В результате этого численного интегрирования определялись фактические невязки на правым конце траектории и программа оптимального управления. Для перелетов на ГСО с высокоэллиптических промежуточных орбит при уровне реактивного ускорения мм/с 2 разница в невязках при решении осредненной и неосредненной задач имела величину порядка 0.1%. Примеры использования оптимального управления, полученного для осредненной задачи к неосредненным уравнениям движения приводятся в следующем разделе. 39

40 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.7. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ В ОПТИМАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ И ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА УПРАВЛЕНИЯ (ОПТИМАЛЬНОЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЕ) 1. Средние за виток значения радиуса апогея, большой полуоси и эксцентриситета имеют максимум. 2. Радиус перигея монотонно возрастает. Эволюция орбитальных элементов при высоте апогея промежуточной орбиты ниже оптимальной (h a = км, i = 75°) 40

41 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Траектория перелета имеет 3 фазы. На 1-й фазе осуществляется разгон всюду кроме небольшой дуги орбиты в окрестности апогея (этим частично компенсируется увеличение высоты перигея), а максимальное значение угла рысканья в апогее на витке возрастает с ~70° в начале перелета до 90° при достижении максимального эксцентриситета. Максимальный угол рысканья в перигее примерно постояннен и составляет менее 10°. На 2-й фазе происходит разгон на всем витке до достижения максимального значения высоты апогея. Максимальное значение угла рысканья в апогее уменьшается почти линейно по времени от 90° до ~60°, а в перигее - увеличивается, достигая 90° при достижении максимальной высоты апогея. Угол рысканья в перигее достигает больших значений, чем угол рысканья в апогее, что можно объяснить большей эффективностью подъема высоты перигея на этом участке. На 3-й фазе происходит разгон в апогее и торможение в перигее, а максимальный угол рысканья на витке снижается до ~40° в апогее и до ~25° в перигее. Оптимальное управление вектором тяги при высоте апогея промежуточной орбиты ниже оптимальной (h a = км, i = 75°) разгон- торможение торможение- разгон разгон 41

42 ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА УПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОМ ТЯГИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 42

43 ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА УПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОМ ТЯГИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 43

44 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Эволюция орбитальных элементов и управление вектором тяги при оптимальной высоте апогея промежуточной орбиты (h a = км, i = 65°) Радиусы перигея, апогея и большая полуось Эксцентриситет Углы тангажа и рысканья 1. Средние за виток значения радиуса апогея, большой полуоси и эксцентриситета монотонно уменьшаются. 2. Средний за виток радиус перигея монотонно растет. 3. Траектория перелета имеет 1 фазу. В апогее происходит разгон, а в перигее - торможение. Максимальный угол рысканья на витке монотонно снижается с 90° до ~30°. 44

45 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 1. Средние за виток значения радиуса апогея и большой полуоси монотонно уменьшаются. 2. В начале перелета радиус перигея уменьшается, а эксцентриситет - растет. 3. Траектория перелета имеет 2 фазы. На 1-й фазе осуществляется торможение на всем витке, а максимальный угол рысканья на витке увеличивается до ~90° при достижении максимального эксцентриситета. На 2-й фазе происходит разгон в апогее и торможение в перигее, а максимальный угол рысканья на витке снижается почти до 0. Радиусы перигея, апогея и большая полуось Эксцентриситет Углы тангажа и рысканья Эволюция орбитальных элементов и управление вектором тяги при высоте апогея промежуточной орбиты выше оптимальной (h a = км, i = 65°) торможение - разгон торможение 45

46

47 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.8. РЕЗУЛЬТАТЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ НА ГСО С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОРБИТЫ Высота перигея промежуточной орбиты 250 км, масса КА на ГСО 450 кг, тяга ЭРДУ Н, удельный импульс ЭРДУ 1500 с Высота апогея промежуточной орбиты, тыс. км Наклонение промежуточной орбиты ° Высота апогея промежуточной орбиты, тыс. км Время перелета, сут i 0 =75° i 0 =65° i 0 =51.3° i 0 =0° 47

48 ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.9. ВЫВОДЫ 1. Метод продолжения по параметру можно эффективно использовать для оптимизации многовитковых перелетов с малой тягой, что продемонстрировано на примере оптимизации по быстродействию перелетов с эллиптической промежуточной орбиты на ГСО. 2. В настоящее время не обнаружено каких-либо существенных ограничений на возможность использования разработанного метода в задачах с фиксированным временем и с различными краевыми условиями (межорбитальный перелет, набор заданной орбитальной энергии, разворот плоскости орбиты и т.д.). 3. Не обнаружено каких-либо ограничений на возможность учета внешних возмущающих сил при оптимизации траектории КА разработанным методом. Возмущающие силы, выраженные как через орбитальные элементы, так и через фазовый вектор КА, относительно легко могут быть введены в уравнения разработанного метода так как операции осреднения уравнений движения и вычисления производных от невязок краевой задачи по ее параметрам реализованы в рамках этого метода численно. Для учета возмущающих ускорений в уравнениях движения необходимы выражения для частных производных первого порядка от компонент этих ускорений по орбитальным элементам. 4. Разработанный метод позволил провести исчерпывающий анализ оптимальных по быстродействию перелетов с эллиптической промежуточной орбиты на ГСО, включая анализ влияния параметров промежуточной орбиты и основных проектных параметров КА на характеристики перелета и определение номинальных программ управления вектором тяги электроракетной двигательной установки КА. 48

49 V.G. Petukhov. Low Thrust Trajectory Optimization 49 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Разработанный метод продолжения показал высокую эффективность для задачи оптимизации траекторий КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги. Комбинация двух вариантов метода продолжения - базового метода и метода продолжения по гравитационноиу параметру - позволяет быстро и исчерпывающе проводить анализ межпланетных траекторий. С использованием метода продолжения были оптимизированы траектории КА с малой тягой, оканчивающиеся или начинающиеся в точке либрации L 2 системы Земля-Луна. Эти траектории использовались для построения квазиоптимальных траекторий перелета между орбитами искусственных спутников Земли и Луны. Специально разработанная версия метода продолжения позволила провести полномасштабный анализ оптимальных по быстродействию пространственных траекторий перелета КА с малой тягой с эллиптической промежуточной орбиты на ГСО. Таким образом, характеристики метода продолжения делают его полезным и эффективным инструментом анализа траекторий КА с ЭРДУ.