Составители : Колосова Елена Александровна, учитель математики I категории МОУ СОШ 1; Колосова Елена Александровна, учитель математики I категории МОУ СОШ 1; Карпова Ольга Вячеславовна, учитель математики и информатики I категории МОУ СОШ 1. Карпова Ольга Вячеславовна, учитель математики и информатики I категории МОУ СОШ 1.

7 класс 7 класс 8 класс 8 класс 9 класс 9 класс 10 класс 10 класс 11 класс 11 класс

Первый признак равенства треугольников. Первый признак равенства треугольников. Теорема о свойстве углов при основании равнобедрен - ного треугольника Теорема о свойстве углов при основании равнобедрен - ного треугольника Теорема о свойстве медианы, проведённой из вершины равнобедренного треугольника к основанию Теорема о свойстве медианы, проведённой из вершины равнобедренного треугольника к основанию

Теорема о площади параллелограмма Теорема о площади параллелограмма Теорема о площади треугольника ( вывод формулы S = ½ ah) Теорема о площади треугольника ( вывод формулы S = ½ ah) Теорема о площади трапеции Теорема о площади трапеции Теорема Пифагора Теорема Пифагора Признаки подобия треугольников Признаки подобия треугольников Теорема о средней линии треугольника Теорема о средней линии треугольника

Теорема о площади параллелограмма Теорема о площади параллелограмма

Теорема о площади параллелограмма Теорема о площади параллелограмма

Понятие цилиндра. Площадь поверхнос - ти цилиндра Понятие цилиндра. Площадь поверхнос - ти цилиндра

Теорема : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано : ABC и A 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, A = A 1. Доказать, что : ABC = A 1 B 1 C 1. Доказательство : Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1. По условию A = A 1, значит, при наложении ABC на A 1 B 1 C 1 вершина A совместиться с вершиной A 1, стороны AB и AC соответственно наложаться

на лучи A 1 B 1 и A 1 C 1. По условию AB = A 1 B 1 и AC = A 1 C 1, значит, сторона AB совместиться со стороной A 1 B 1 и сторона AC совместиться со стороной A 1 C 1, т. е. совместятся точки B и B 1, C и C 1. Следовательно, совместятся стороны BC и B 1 C 1. Итак, треугольники полностью совместятся, значит, ABC = A 1 B 1 C 1. ЧТД

Определение : Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Эти равные стороны называются боковыми. ABC - равнобедренный AB = BC – боковые стороны AC - основание Теорема : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано : ABC – равнобедренный, AC – основание. Доказать, что : A =C. Доказательство : Проведём биссектрису BD. Рассмотрим ABD и CBD. 1) AB = BC, т. к. ABC – равнобедренный. 2) 1 = 2, т. к. BD - биссектриса. 3) BD – общая сторона ( по построению ). Значит, ABD = CBD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда A =C. ЧТД

Определение : Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Определение : Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Теорема : В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к его основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано : ABC – равнобедренный, AC – основание, BD – медиана. Доказать, что : BD – биссектриса и высота. Доказательство : Рассмотрим ABD и CBD. 1) AB = BC, т. к. ABC – равнобедренный. 2) A = C по свойству углов при основании равнобедрен - ного треугольника. 3) AD = DC, т. к. BD – медиана. Значит, ABD = CBD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что : 1) 1 = 2; 2) 3 = 4. Рассмотрим 1 = 2 BD – биссектриса. Рассмотрим 3 = = 180 0, как смежные. Тогда 3 = 4 = 90 BD – высота. ЧТД

Определение : Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Теорема : Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано : ABCD – параллелограмм, AD = a – основание, BH = h – высота. Доказать, что : S = a h. Доказательство : Проведём CK AD. Рассмотрим трапецию ABCK ( трапецией называется четы - рёхугольник, у которого две противоположные стороны па - раллельны, а две не параллельны ). S ABCK = S ABCD + S DKC (1) S ABCK = S BCKH + S ABH (2) Рассмотрим ABH и DCK – прямоугольные, т. к. BH AD и CK AD. 1) AB = CD, как противоположные стороны параллелог - рамма. 2) 1 = 2, как соответственные при пересечении AB||CD секущей AD.

Значит, ABH = DCK по гипотенузе и острому углу. Но у равных фигур будут равны и площади, т. е. S ABH = S DKC. Сравним (1) и (2). Левые части равны, значит, будут равны и правые части. S ABCD + S DKC = S ABH + S BCKH. Получили, что S ABH = S DKC. Значит, S ABCD = S BCKH. S BCKH = BC BH. Тогда S ABCD = BC BH. BC = AD, как противоположные стороны параллелограмма. Отсюда S ABCD = AD BH. Заменим S ABCD = S, AD = a, BH = h. Получили S = a h. ЧТД

Теорема : Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Дано : ABC, AC = a – основание, BK = h – высота. Доказать, что : S = ½ah. Доказательство : Достроим ABC до параллелограмма ABDC. S ABDC = SABC + SBDC. Рассмотрим ABC и BDC. 1) BC – общая. 2) AC = BD, как противоположные стороны параллелограм - ма.

3) AB= DC, как противоположные стороны параллелограм - ма. Значит, ABC = BDC по трём сторонам. Отсюда SABC = SBDC. Тогда S ABDC = 2SABC. Отсюда SABC = ½S ABDC. S ABDC = AC BK. Значит, SABC = ½AC BK = ½ah. ЧТД Следствие : Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов : SABC = ½ab.

Определение : Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельные. Теорема : Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на высоту. Дано : ABCD - трапеция, AD = a, BC = b – основания, BH = h – высота. Доказать, что : S = ½(a + b)h. Доказательство : Проведём диагональ BD и DM BC. S ABCD = S ABD + S BCD = ½AD BH + ½BC DM. DM = BH = h, как противоположные стороны прямоуголь - ника HBMD.

Тогда S ABCD = ½AD BH + ½BC BH = ½(AD + BC) BH = = ½(a + b)h. ЧТД Следствие : Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. S ABCD = MN BH, где MN = ½(AD + BC).

Теорема : В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано : ABC - прямоугольный, AC = b, BC = a – катеты, AB = c – гипотенуза. Доказать, что : c 2 = a 2 + b 2. Доказательство : Достроим ABC до квадрата CKDF со стороной a + b. S CKDF = (a + b) 2. (1) S CKDF = SABC + S AKV + S DMV + S BFM + S AVMB. ABC = AKV = DMV = BFM по двум катетам (BC = AK = DV = MF = a, AC = KV = DM = BF = b). Значит, SABC = S AKV = S DMV = S BFM = ½ ab. S AVMB = c 2, т. к. AVMB – квадрат.

S CKDF = 4 ½ ab + c 2. (2) Сравним (1) и (2), получим : (a + b) 2 = 2ab + c 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 a 2 + 2ab + b 2 - 2ab = c 2 a 2 + b 2 = c 2 c 2 = a 2 + b 2. ЧТД

Теорема, обратная теореме Пифагора : Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Если c 2 = a 2 + b 2, то ABC – прямоугольный.

Определение : Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны. 1) A = A 1, B = B 1, C = C 1. 2) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = = BC/B 1 C 1 = k, где k – коэффициент пропорциональности.

1 признак : Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Дано : ABC и A 1 B 1 C 1, A = A 1, B = B 1. Доказать, что : ABC ~ A 1 B 1 C 1. Доказательство : С = – ( A + B) С 1 = – ( A 1 + B 1 ) По условию A = A 1, B = B 1, значит, С = С 1. Докажем, что AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = = BC/B 1 C 1. Рассмотрим A = A 1, B = B 1. По теореме : Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти равные углы.

Получим S ABC / S A1B1C1 = (AC AB)/(A 1 C 1 A 1 B 1 ) (1) или S ABC / S A1B1C1 = (AB BC)/(A 1 B 1 B 1 C 1 ) (2) Сравним (1) и (2), получим : (AC AB)/(A 1 C 1 A 1 B 1 ) = (AB BC)/(A 1 B 1 B 1 C 1 ) (A 1 B 1 /AB) AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1 (3) Рассмотрим A = A 1, С = С 1. Тогда S ABC / S A1B1C1 = (AC B С )/(A 1 C 1 B 1 C 1 ) (4) Сравним (1) и (4), получим : (AC AB)/(A 1 C 1 A 1 B 1 ) = (AC BC)/(A 1 C 1 B 1 C 1 ) (A 1 C 1 /AC) AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 (5) Сравним (3) и (5), получим : AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1. Получили, что сходственные стороны пропорциональны. Значит, ABC ~ A 1 B 1 C 1 по определению. ЧТД

2 признак : Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сходственным сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны. 3 признак : Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Определение : Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон. Теорема : Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна одной половине длины этой стороны. Дано : ABC, MN – средняя линия. Доказать, что : MN||AC, MN = ½AC. Доказательство : Рассмотрим MBN и ABC. 1) B – общий. 2) MB/AB = ½. 3) BN/BC = ½. Значит, MBN ~ ABC по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда MN/AC = ½. Значит, MN = ½ AC. Из подобия треугольников следует, что 1 = 2. Но 1 и 2 - соответственные при пересечении прямых MN и AC секущей AB. Значит, MN||AC. ЧТД

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O(r) и O 1 (r), называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра. AB – образующая цилиндра. Прямая OO 1 называется осью цилиндра.

Длина образующей называется высотой цилиндра, радиус основания – радиусом цилиндра. AB = h – высота цилиндра. OC = r – радиус цилиндра. Виды сечений : 1) Сечение называется осевым, если секущая плоскость цилиндра проходит через ось цилиндра и представляет собой прямоугольник. 2) Сечение называется круговым, если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра и представляет собой круг. Виды цилиндров : 1) Прямые круговые. 2) Наклонные.

C = 2 π r – длина окружности. Прямоугольник ABBA называется развёрткой боковой поверхности. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки. S бок. = 2 π rh S пол. ц. = 2 π rh + 2 π r 2 = 2 π r (h + r) S пол. ц. = 2 π r (h + r)

Спасибо за внимание ! Выучите, пожалуйста, теорему !