Метод областей на координатной плоскости Решение задач с параметрами

Метод интервалов на координатной прямой и метод областей на координатной плоскости. Метод интервалов на координатной прямой и метод областей на координатной плоскости. Точка разбивает числовую прямую на два множества, задаваемые неравенствами и Всякая действительная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением разбивает координатную плоскость на конечное число областей, в каждой из которых для всех точек области выполняется только одно из неравенств: или Заметим, что переменные, входящие в уравнение, задающее кривую, могут иметь другие идентификаторы

Примеры Всякая прямая, заданная уравнением, разбивает плоскость на области, в каждой из которых выполняется одно из неравенств: или Прямая, заданная уравнением, разбивает координатную плоскость на области, в каждой из которых выполняется одно из неравенств: или, или Решением системы неравенств с двумя переменными являются координаты точек пересечения множеств, удовлетворяющих одному из неравенств системы

Задача Пусть M – множество точек плоскости с координатами таких, что числа являются сторонами некоторого треугольника. Найдите его площадь. Решение. Если три числа являются сторонами некоторого треугольника, то это числа положительные и каждое из них меньше суммы двух других чисел. Поэтому, координаты точек, удовлетворяющих условию задачи, будут задаваться системой линейных неравенств с двумя переменными: Находим площадь:

Уравнение задает множество прямых, проходящих через точку с координатами. При изменении значений параметра прямые «поворачиваются» вокруг данной точки. При увеличении параметра прямая поворачивается «против часовой стрелки», при уменьшении – «по часовой стрелке». Уравнение при фиксированном значении параметра задает семейство прямых, параллельных прямой, проходящей через начало координат. Если точка с координатами лежит «выше» прямой заданной уравнением, то ее координаты удовлетворяют неравенству, если же точка лежит «ниже», то неравенству

Задача. Вариант ЕГЭ-2010 Задача С-5 Найдите все значения параметра, при каждом из которых общие решения неравенства и являются решениями неравенства. Найдите все значения параметра, при каждом из которых общие решения неравенства и являются решениями неравенства.

Решение. Общие решения двух неравенств – решение системы этих неравенств. Так как каждое из неравенств – линейное, с двумя переменными, то их общие решения образуют некоторое множество точек на координатной плоскости. Границами области при каждом значении параметра будут являться прямые, заданные уравнениями и. Первая из них – прямая, параллельная прямой, а вторая -.

Рассмотрим неравенство Преобразуем его к виду Область, в которой выполняется неравенство, расположена выше прямой

Решение: Общие решения первых двух неравенств будут являться решениями третьего неравенства, если точка пересечения первых двух прямых будет лежать выше третьей прямой. Найдем координаты точки пересечения первых двух прямых: Так как точка пересечения прямых расположена выше прямой, заданной уравнением, то Ответ:

ГМТ на плоскости Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки на расстояние, равное положительной величине R, называется окружностью. Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки на расстояние, равное положительной величине R, называется окружностью. Множество точек, удаленных от данной точки на положительное расстояние, меньшее R, называется кругом. Круг задается неравенством Множество точек, удаленных от данной точки на положительное расстояние, меньшее R, называется кругом. Круг задается неравенством Уравнением окружности называется уравнение вида Уравнением окружности называется уравнение вида Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством

ГМТ на плоскости Квадратным трехчленом относительно переменной, называется выражение Квадратным трехчленом относительно переменной, называется выражение Парабола разбивает плоскость на часть, лежащую «над» параболой и лежащую «под» параболой. Первая задается неравенством, а вторая – Парабола разбивает плоскость на часть, лежащую «над» параболой и лежащую «под» параболой. Первая задается неравенством, а вторая – Графиком квадратного трехчлена является кривая, называемая параболой. Графиком квадратного трехчлена является кривая, называемая параболой. Расположение параболы зависит от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена Расположение параболы зависит от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена

Постройте ГМТ, заданное системой неравенств: Постройте ГМТ, заданное системой неравенств: Примеры Найдите площадь фигуры, координаты точек которой, являются решением системы неравенств Найдите площадь фигуры, координаты точек которой, являются решением системы неравенств Решение:

ГМТ на плоскости Дробно-линейной называется функция вида Дробно-линейной называется функция вида Графиком дробно-линейной функции является кривая, называемая гиперболой и состоящая из двух частей – «ветвей» гиперболы. Графиком дробно-линейной функции является кривая, называемая гиперболой и состоящая из двух частей – «ветвей» гиперболы. Прямые и называются асимптотами графика Прямые и называются асимптотами графика Асимптоты разбивают координатную плоскость на 4 части – четверти. График расположен либо в 1 и 3, либо во 2 и 4 четвертях. Для определения расположения достаточно построить асимптоты и хотя бы одну точку графика. Асимптоты разбивают координатную плоскость на 4 части – четверти. График расположен либо в 1 и 3, либо во 2 и 4 четвертях. Для определения расположения достаточно построить асимптоты и хотя бы одну точку графика.