Автор проекта: Киреев Евгений 10 А класс МОУ СОШ 27.

3 Метод вспомогательного аргумента эффективен не только при решении тригонометрических уравнений вида, но и в определенных ситуациях, связанных с решением геометрических и физических задач.

4 Заключается в поиске новых областей применения метода вспомогательного аргумента, используемого обычно при решении тригонометрических уравнений известного вида.

5 состоит в том, что метод вспомогательного аргумента применен к решению задач, которые традиционно решались другими методами.

6 описать метод вспомогательного аргумента при решении задач с геометрическим и физическим содержанием.

7 Задача 1 Задача 3 Задача 2 Задачи исследования Проанализировать литературу по проблеме исследования с целью описания сущности метода и описания традиционного применения метода вспомогательного аргумента при решении уравнений Проанализировать применение метода вспомогательного аргумента в геометрии и физике. Разработать материал для самостоятельного изучения метода другими учащимися Апробировать применение метода вспомогательного аргумента при решении нетрадиционных заданий в области тригонометрии.

8 Метод вспомогательного аргумента Решение нетрадиционных заданий из тригонометрии Применение метода в геометрии Применение метода в физике

9 Этот метод состоит в преобразовании выражения к виду или, что то же самое, в доказательстве, того, что существует такое φ, что имеет место равенство (1)

10 Приведем доказательство выражения (1). Вынесем в данном выражении величину за скобки. Получим следующее представление: Введем в рассмотрение угол такой, что

11 Для любых значений а и b такой угол существует. Чтобы убедиться в этом, нарисуем прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой Мы знаем, что любые числа p и q такие, что, можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла. а b

12 Уравнения, решаемые методом вспомогательного аргумента 1.(1) 2. (2) 3. (3) 4. (4) 5. (5) Для самостоятельной работы

13 Задание 1. Найдите наибольшее значение функции Решение. Применяя метод вспомогательного аргумента, имеем: Оценим это выражение: Значит, наибольшее значение функции равно 1. Ответ. 1.

14 Задание2. Найдите множество значений Решение. Используя метод вспомогательного аргумента, преобразуем выражение и оценим его: Учитывая убывание функции при, имеем: Значит, Ответ.

15 Применение метода вспомогательного аргумента в геометрии Пусть на плоскости наряду с декартовой системой координат Оху (старая) введена новая декартова система координат ОХY, ось ОХ которой образует угол α с осью Ох (то есть мы получаем новую систему координат из старой поворотом осей на угол α. О х у α Y X

16 Пусть произволь- ная точка М плос- кости имеет коор- динаты (х, у) отно- сительно старой системы коорди- нат и координаты (Х;Y) относитель- но новой. Мы выяснили, как эти координаты свя- заны между со- бой. О х у α Y X Y y x X M

17 Рассмотрев векторный треугольник ОКМ, проецируя его сначала на ось Ох, затем на ось Оу, получаем, что старые и новые координаты связаны следую- щим образом: О х у α Y X Y y x X M N K L

18 Эти формулы выражают зависимость между координатами произвольной точки при повороте системы координат на угол α. Они широко применяются в геометрии. В частности, нередко удается упростить уравнение линии на плоскости, поворачивая систему координат на определенный угол. Подробнее прочитать и рассмотреть задачи можно в исследовательской работе. Y X О х у у

19 Задача 2. Найти единичный вектор, составляющий угол с вектором Решение. Пусть х – угол, который вектор образует с ортом оси абсцисс. Тогда, где. Вычисляя левую и правую части равенства, получаем Приравнивая найденные выражения, получаем: Решив это уравнение, имеем: Значит,

20 Применение метода в физике Уравнение играет важную роль в изучении периодических процессов, таких как колебательное движение, распространение световых, звуковых, электромагнитных волн и т.д. В начале прошлого столетия французский математик Джозеф Фурье ( ) доказал, что законы всяческих периодических процессов могут быть выражены через уравнения гармонических колебаний.

21 Рассмотрим примеры применения метода в физике Задача 3. Тело скользит вниз по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Коэф- фициент трения равен 0,5. Определить угол, образованный плоскос- тью с горизонтом, если известно, что ускорение движения тела в 2 раза меньше ускорения свободного падения

22 При решении этой задачи мы получаем уравнение, которое, с учётом того, что, можно переписать в виде. Это уравнение имеет единственное решение в интервале, оно равно. Ответ.

23 Заключение Выполнив данную работу, я выявил области применения метода вспомогательного аргумента, используя его при решении как линейных неоднородных тригонометрических уравнений, так и для построения оценок левой или правой частей уравнений и нахождения наибольших значений, а также в геометрии и в физике, разработал материал для самостоятельного изучения темы другими учащимися.

24 Итак, «математическая культура и способность хорошо решать задачи откладываются не в памяти, а где- то в подсознании. Главное – это уметь сделать задачу, а не запомнить её и её решение» (В. В. Ткачук)

25 Б И Б Л И О Г Р А Ф И Я Золотухин Е. П. Уравнение и его применение. / Математика в школе – с. 56 Лысенко Ф. Ф. ЕГЭ – Математика – Ростов, Мордкович А.Г. Математический анализ: Учебник для техникумов. – М.: Просвещение, 1992 г. Сборник конкурсных заданий по математике для поступающих в втузы/ под ред. М. И. Сканави. – М, Высшая школа, 1977 Ткачук В.В. Математика – абитуриенту.- М.: МЦНМО, 2001 г. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир– М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998 г.

26