БЫКОВ A.A. Проф., д-р физ.-мат. Наук, главный редактор журнала «Проблемы анализа риска» Приложения асимптотической теории вероятностей экстремальных значений к решению проблем безопасности жизнедеятельности Экспертный совет МЧС России Москва, 2009

прогнозирования риска экстремальных ЧС Демонстрация некоторых простых возможных приложений асимптотической теории вероятностей экстремальных значений для прогнозирования риска экстремальных ЧС

вероятностным распределениям Обычно в прикладных задачах статистику ЧС представляют в частотном виде, изучая динамические закономерности частот, и меньшее внимание уделяется вероятностным распределениям произошедших событий и анализу закономерностей им присущих.

анализ вероятностного распределения риск экстремальных ЧС Но именно анализ вероятностного распределения реализации ЧС позволяет точнее оценить риск экстремальных ЧС на основе теорем о сходимости к предельным распределениям, исследование многолетних данных а исследование многолетних данных позволяет более точно осуществлять прогнозирование риска экстремальных ЧС.

ДВА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТА ДВА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТА КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Классическая теория экстремальных значений в основном имеет дело с независимыми и одинаково распределенными случайными величинами и свойствами распределения их максимума со свойствами распределения их максимума

Основной классический результат утверждает, что если случайная величина a n ( M n b n ) имеет невырожденную предельную функцию распределения G(х) то эта функция G(х) должна иметь одну из трех единственно возможных форм обычно называемых тремя распределениями экстремальных значений

Класс максимум - устойчивых распределений: Тип I: < x < Тип II: Тип III:

Класс минимум - устойчивых распределений: Тип I: Тип II: Тип III:

Другой основной классический результат Другой основной классический результат связан с выводом условий сходимости к тому или иному типу распределений.

«поведению хвоста» Для каждого типа известны необходимые и достаточные условия, относящиеся к «поведению хвоста» 1F(х) при возрастании х. Приведем несколько очень простых и полезных достаточных условий, применимых в случае, когда ф. p. F имеет плотность f.

Тип I : f имеет отрицательную производную f' для всех х в некотором интервале (х 0, x F ) (x F ), f (х) = 0 для х x F и = 1 ; Тип II : f (x) > 0 для всех конечных х х 0 и = α > 0 ; Тип III : f(х) > 0 для всех х некотором конечном интервале (х 0, x F ), f(х) = 0 для х > x F и = α > 0 ;

Таким образом Таким образом не обладая представительным статистическим рядом данных об экстремальных ЧС, тем не менее можно утверждать: 1) что «хвосты» распределения гипотетически будут подчиняться одному из трех ассимптотических типов распределений;

Таким образом Таким образом 2) обладая знаниями о характере закона распределения F «вокруг средних значений», предполагая, что F абсолютно непрерывна и имеет плотность f и используя теоремы о сходимости можно определить тип экстремального распределения и его параметры

Г квантиль диаграмм или графиков квантилей на вероятностной бумаге. Графические статистические средства – техника построения квантиль диаграмм или графиков квантилей на вероятностной бумаге.

Преимущество вероятностной бумаги по сравнению с обычными способами построения кривых заключается в том, что она преобразует теоретическую кривую в прямую линию в прямую линию.

правильно или неправильно выбрана функция распределения Вопрос о том, правильно или неправильно выбрана функция распределения, может быть решен простой визуальной проверкой. Если достигнуто достаточно хорошее согласие, то предсказание (в ограниченных пределах) может быть сделано путем продолжения прямой.

Статистические данные Статистические данные по лесным пожарам и пожарам в жилом секторе Тверской области с 1990 по 2005 гг.

Максимальные длительности пожаров в Тверской области с 1990 по 2005 годы п/пГодМаксимальная длительность, сут. Вариационный ряд максимальных длительностей, сут

квантиль диаграммы в этом случае строятся с использованием координатной плоскости:.

З акон распределения максимальных длительностей максимальных длительностей лесных пожаров Закон распределения максимальных площадей (в га) лесных пожаров в Тверской области:

Квантиль диаграмма ln количества (числа) лесных пожаров в Тверской области. Закон распределения Закон распределения, в данном случае задаваемый плотностью распределения, количества лесных пожаров количества лесных пожаров в Тверской области выглядит следующим образом: максимально возможное количество лесных пожаров в год может достигать значения

Квантиль диаграмма максимального количества погибших при пожарах в жилом секторе F(x)=exp[-exp[-1,37x+5,06]] значению вероятности 0,95 соответствует значение x=6

С точки зрения прогнозирования важным элементом является установление динамики изменения законов распределения Например, параметров пожаров (год от года): длительностей, площадей и др.

Годовая динамика параметров распределения Вейбулла площади пожаров по площади пожаров в жилом секторе Тверской области средняя площадь пожаров в жилом секторе и дисперсия с каждым годом постепенно уменьшаются

длительности пожаров Годовая динамика параметров распределения Вейбула по длительности пожаров в жилом секторе Тверской области средняя длительность пожаров в жилом секторе и дисперсия с каждым годом постепенно уменьшаются

С точки зрения прогнозирования важным элементом является также определение периодов повторяемости

Квантиль диаграмма и периоды повторяемости T 1 (x) (левая ветвь) и T(x) (правая ветвь) количества пожаров в жилом секторе Тверской области

Диапазон числа пожаров Ожидаемый период повторяемости, год Диапазон периода повторяемости, год ,519, ,54,5113, , ,50, ,57

Прогноз: наиболее часто следует ожидать количество пожаров из диапазона значений от 37 до 39 в год, ожидаемый период которых составляет минимальную величину 2 года. Максимальное количество пожаров которое может превышать значение 50 пожаров в год следует ожидать 1 раз в 17 лет. В то же время это значение может быть близким к 6 годам, что требует учета при планировании финансового резерва для ликвидации пожаров.

Вопрос: Можно ли, зная законы распределения количества пожаров и затрат на ликвидацию пожаров, спрогнозировать спрогнозировать (или запланировать, например, на будущий год) размер необходимых затрат С 95 на ликвидацию пожаров так, было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95% чтобы его было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95%?

Квантиль диаграмма числа пожаров в жилом секторе Тверской области

Квантиль диаграмма ln максимальных затрат на ликвидацию Значению вероятности 0,95 соответствует значение ln x = 8,6

было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95% Вопрос: Можно ли, зная законы распределения количества пожаров и затрат на ликвидацию пожаров, спрогнозировать размер необходимых затрат С 95 на ликвидацию пожаров так, чтобы его было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95%? классическую технику актуарных расчетов Ответ: Да, можно, если дополнительно применить к полученным результатам на основе ассимптотической теории экстремальных значений классическую технику актуарных расчетов.

На основе методов актуарной математики была выведена формула для расчета С 95 : где математические ожидания, дисперсии затрат на ликвидацию V и числа пожаров N соответственно.

Вопрос: Можно ли, используя графическую технику предложить упрощенный подход для введения статистического критерия экстремальной ЧС?

Экспоненциальная квантиль-диаграмма эмпирических данных по погибшим в результате взрывов и пожаров в России в г.г. квазилинейный участок Г рафик экспоненциальной квантили имеет квазилинейный участок вплоть до значения числа погибших меньше или равно 7: X i 7. перегиб на графике При этом значении наблюдается перегиб на графике.

основной идеи статистического критерия экстремальной Этот факт возможно использовать в дальнейшем в качестве основной идеи метода введения статистического критерия экстремальной чрезвычайной ситуации.

Эти и многие другие приложения ассимптотической теории вероятностей экстремальных значений с применением более «изощренных» методов достаточно подробно описаны в подготовленной к изданию в 2009 году монографии: Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения.

прикладные возможности Однако, прикладные возможности ассимптотической теории вероятностей экстремальных значений гораздо шире описанных в монографии : Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения, далеко не до конца изучены и достаточно перспективны в области прогнозирования риска ЧС и безопасности жизнедеятельности

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! БЫКОВ Aндрей Aлександрович Тел. +7(926)