Исследовательский проект Исполнитель: Воронко Е.В. ученик 11 «А» класса Руководитель: Кирилова Т.Л. учитель математики

Практика Тригонометрические формулы Историческая справка Проект

Основатели тригонометрии История развития

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад. Индийские математики были первопроходцами в применении алгебры и тригонометрии к астрономическим вычислениям. Лагадха ( до Р.Х.) единственный из самых древних известный сегодня математик, использовавший геометрию и тригонометрию в своей книге «Джьётиша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), большая часть работ которого была уничтожена иностранными захватчиками.

В Европе основы геометрии закладывал древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский ( до Р.Х.) в труде "О величинах и взаимных расстояниях Солнца и Луны". Греческий математик Клавдий Птолемей ( от Р.Х.) также внёс большой вклад в развитие тригонометрии.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани ( ) и Абу- ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед ( ), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/60 4

Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед ( ). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера ( )). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника ( ) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге ( ) и Иогана Кеплера ( ), а также в работах математика Франсуа Виета ( ), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером ( ) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Насирэддин Туси Клавдий Птолемей Гиппарх Никейский Региомонтан Николай Коперников

Гиппарх Никейский (ок. 190 до н. э. ок. 120 до н. э.) ( др. –греч. ππαρχος) древнегреческий астроном, географ и математик II века до н. э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой Гиппарха считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона.

Гиппарх родился в Никее (в настоящее время Изник, Турция). Большую часть жизни проработал на острове Родос, где он, вероятно, и скончался. Его первое и последнее астрономические наблюдения датируются, соответственно, 162 и 127 гг. до н. э.Предполагается, что он был в контакте с астрономами Александрии и Вавилона, но неизвестно, посещал ли он эти научные центры лично. Основным источником информации о его трудах является «Альмагест» Птолемея; последний оставил следующую характеристику Гиппарха: «муж трудолюбец и поклонник истины». Из собственных сочинений Гиппарха до нас дошло только одно, критический комментарий к популярной астрономической поэме Арата.

Клавдий Птолемей (Κλαύδιος Πτολεμα ος, ок ) древнегреческий астроном, математик, оптик, теоретик музыки и географ. В период с 127 по 151 год жил в Александрии, где проводил астрономические наблюдения.

Клавдий Птолемей одна из крупнейших фигур в науке позднего эллинизма. В астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия от Гиппарха (II в. до н. э.) до Бируни (XXI вв. н. э.). История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов). Римский nomen (родовое имя) Клавдий (Claudius) показывает, что Птолемей был римским гражданином и предки его получили римское гражданство, скорее всего, от императора Клавдия лет за 40 до его рождения.

Насирэддин Туси Абу Джафар Мухаммед ибн Мухаммед ибн Хасан Абу Бакр ( , Туе, , Багдад), учёный-энциклопедист и государственный деятель. Сначала служил у исмаилитов Аламута, а с у монгольского ильхана Хулагу, стал его личным советником и секретарём. Руководил строительством Марагинской обсерватории. Трактат Насирэддин Туси о государственных финансах содержит подробный материал о налоговой системе в государстве Хулагуидов. Насирэддин Туси также автор главы о взятии Багдада монголами в сочинении персидского историка Джувейни. Написал широко известный на Востоке труд «Насирова этика». Философские воззрения формировались под влиянием Бахманяра.

Большую ценность представляют его «Комментарии к философии и логике Ибн Сины» (Авиценны), где Насирэддин Туси опровергает взгляды идейных противников Ибн Сины. Теории поэзии посвящена 10-я глава его книги по логике «Асас аль-иктибас» и труд «Мийар аль-аш"ар». Под руководствомНасирэддин Туси был составлен астрономический каталог «Зидж Эльхани» (см. Зидж). Автор работ по математике; в их числе «Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных линий» и «Изложение Евклида», где постулат о параллельных связан с вопросом о сумме углов треугольника, «Трактат о полном четырехстороннике», где изложена плоская и сферическая тригонометрия как самостоятельная дисциплина.

Региомонтан, (лат. Regiomontanus, подлинное имя Йоганн Мюллер, нем. Johannes Müller) (6 июня 1436, Кёнигсберг (Бавария) 6 июля 1476, Рим) выдающийся немецкий астроном и математик. Именем Региомонтан его впервые назвал Филипп Меланхтон в предисловии к своему изданию книги «Сфера мира» Сакробоско.

Йоганн Мюллер родился в городе Кёнигсберге в Баварии. Уже в 11 лет он стал студентом Лейпцигского университета. Весной1450 года в 14 лет он перешёл в Венский университет. В 15 лет после окончания факультета свободных искусств Региомонтан стал бакалавром. С 1453 года слушал лекции по математике и астрономии Георга Пурбаха, с которым впоследствии сотрудничал до скоропостижной смерти последнего в 1461 году. В 1457 году Региомонтан становится магистром и сам приступает к чтению лекций. В этом же году он приступает к систематическим астрономическим наблюдениям.

В 1461 году Региомонтан знакомится с кардиналом Виссарионом, от которого получает предложение совершить поездку в Италию, и в составе его свиты уезжает в Рим. В течение всего времени, которое Региомонтан провёл при кардинале, он вёл активный розыск древнегреческих рукописей. Летом 1463 года Виссарион едет в Венецию в качестве папского легата, а Региомонтан его сопровождает. Здесь Региомонтану первому в Европе удалось обнаружить текст уцелевших шести книг «Арифметики» Диофанта. В 1464 году Региомонтан читает в Падуе лекции по астрономии ал- Фаргани. В это же время он знакомится с феррарским астрономом и математиком Джованни Бьянкини и ведёт с ним переписку.

Летом 1467 года Региомонтан приезжает в Венгрию по приглашению епископа Яноша Витеза и работает в Буде при дворе венгерского короля Матвея Корвина. С 1471 года Региомонтан жил в Нюрнберге, где он вместе со своим учеником Бернхардом Вальтером основал научную типографию и одну из первых в Европе обсерваторий в доме, который впоследствии приобрел знаменитый художник Альбрехт Дюрер (сейчас дом-музей Дюрера). Умер Региомонтан в 1476 году в Риме, куда приехал для выработки календарной реформы.

Николай Коперник (нем. Nikolas Koppernigk, польск. Mikołaj Kopernik, лат. Nicolaus Copernicus; 19 февраля 1473, Торунь 24 мая1543, Фромборк) польский астроном, математик, эконом ист, каноник. Наиболее известен как автор средневековой гелиоцентрической системы мира, положившей начало первой научной революции.

Простейшие тождества Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем: Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность Косинус и секанс чётные. Остальные четыре функции нечётные. то есть: Формулы сложения

Основные тригонометрические формулы Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на квадрат косинуса и синуса соответственно.

Формулы понижения степени выводятся из формул (5):

Значение тригонометрических функции для некоторых углов Свойства тригонометрических функции Тригонометрические тождества Формулы двойного угла Формула понижения степени Формулы преобразования произведения функции Формулы преобразования суммы функции Алгоритмы нахождения наибольшего(наименьшего) значения

Цель: Исследовать Открытый Банки Заданий по математике и вычленить виды заданий, содержащие тригонометрические функции. Задачи: 1.Классифицировать задания; 2.Вычленить необходимый теоретический материал для успешного решения задания; 3.Найти рациональные приемы и методы решения;

B7B7B7B7 Задание на упрощения тригонометрического выражения и на нахождения числового значения В11 Исследование функции с помощью производнойС Задания повышенной сложности В4 Задание на вычисление элементов прямоугольного треугольника

Сторон треугольника (многоугольника); Высот; Радиуса вписанной (описанной) окружности; Внешнего(внутреннего) угла треугольника(многоугольника); Наибольшего(наименьшего) угла;

В треугольнике АВС АС=12. Найдите ВС. А В С

ВС=5х, АВ=13х х=1 ВС=5. Ответ: ВС=5; Способ 1. Поскольку. Ответ:ВС=5 А В С

Способ 2. Ответ:ВС=5 А В С

Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника. О Н Решение Проведем из точки О перпендикуляр к прямой СВ. Т.к а катет, лежащий против равен половине гипотенузе, т.о. ОВ=2НВ, т.е. ОВ=6 Ответ: R=6

Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника. О Н Решение СО=СВ ВС=6 Ответ: R=6 СО=ОВ=ВС=6

В треугольнике ABC, угол C равен Найдите высоту AH 1)Внешний угол Ответ: 3 1

Найти значение выражения Решение: Ответ: 12.

Найдите значение выражения Решение

Найти наибольшее значение y=9x-6sinx+7,

Найти точку максимума х

Т.о. x=5 –точка максимума, т.к. при переходе через данную точку, производная меняет знак. Ответ: 5