Некоторые приемы решения задания С6 ЕГЭ-2011

Задача С6 – относительно сложная, поскольку требует нестандартных путей решения. Однако для ее решения не нужны никакие специальные знания, выходящие за рамки стандарта школьного математического образования.

Методы решения некоторых нелинейных неопределённых уравнений: I.Метод разложения на множители;Метод разложения на множители; II. Метод оценки;Метод оценки; III. Выделение целой части.Выделение целой части. Задания для самостоятельного решения

I. Метод разложения на множители. 1) Найти целочисленные решения уравнения: 3х 2 – 8ху – 16у 2 = 19 Разложим на множители с помощью группировки либо с помощью решения квадратного уравнения: (3x + 4y)(x - 4y) = 19 Разложим число 19 на целочисленные множители: 1*19; 19*1; -1*(-19); -19*(-1) Составим системы уравнений и решим их: 3х + 4у=1 3х + 4у=19 х - 4у=19 х - 4у=1 3х + 4у= -1 3х + 4у= -19 х - 4у= -19 х - 4у= -1 В итоге получаем две пары решений, которые и запишем в ответ: (5;1) и (-5;-1).

2) Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45. Составим уравнение: х 2 - у 2 = 45. Разложим на множители: (х – у)(х + у) = 45. Разложим на множители число 45, получаем: 1*45; 3*15; 5*9. Составим системы уравнений и решим их: х – у = 1х – у = 3х – у = 5 х + у = 45х + у = 15х + у = 9 Получим три пары чисел, которые и запишем в ответ: (22; 23), (9;6) и (7;2).

3) Решите уравнение в целых числах: х 2 - 3ху + 2у 2 = 3. Разложим на множители: (х – у)(х – 2у) = 3. Разложим число 3 на целочисленные множители: 1*3; 3*1; -1*(-3); -3*(-1). Составим системы уравнений и решим их: х – у = 1х – у = 3 х – 2у = 3х – 2у = 1 х – у = -1х – у = -3 х – 2у = -3х – 2у = -1 Получим четыре пары решений, которые и запишем в ответ: (-1; -2), (5; 2), (1; 2) и (-5; -2).

II. Метод оценки 1) Решите в целых числах уравнение: х 2 – 2ху + 2у 2 = 4 Выделим полный квадрат: (х - у) 2 + у 2 = 4. Оценим, получается, что -2 у 2, т.е. у = ±2, ±1, 0. При у = -2 получаем: (х + 2) = 4 => х = -2. При у = 2 получаем: (х – 2) = 4 => х = 2. При у = ±1 получаем: (х ± 1) = 4, (х ± 1) 2 = 3 – целочисленных решений нет. При у = 0 получаем: х 2 = 4 => х = ±2. Получаем четыре пары чисел, которые и запишем в ответ: (-2; -2), (2; 2), (2; 0) и (-2; 0).

2) Решить в натуральных числах: (11х + 6у – 8)(6х + 8у – 1) = 100. Оценим: (11х + 6у – 8) 9 и (6х + 8у – 1) 13. 9*13 > 100 => уравнение (11х + 6у – 8)(6х + 8у – 1) = 100 натуральных корней не имеет. Ответ: корней нет. 3) Решить в натуральных числах: (3х + 5у – 7)(5х + 4у + 11) = 20. Оценим: (3х + 5у - 7) 1 и (5х + 4у + 11) 20 => единственный возможный вариант: 3х + 5у – 7 = 1 5х + 4у + 11 = 20. Решая систему, получим: х = 1 и у = 1. Ответ: (1; 1).

III. Выделение целой части 1) Найти целочисленные решения уравнения: 2х 2 у 2 + у 2 = 14х Выразим у 2 : Дробь должна принимать целочисленные значения, (2х 2 + 1) 0, поэтому знаменатель дроби может быть равен: 1, 2, 3, 6, 9, 18. При (2х 2 + 1) = 1, х = 0. При (2х 2 + 1)=2, (2х 2 + 1)=6, (2х 2 + 1)=18, х – не целое. При (2х 2 + 1) = 3, х = ±1. При (2х 2 + 1) =9, х = ±2. а) х = 0, у = ±5; б) х = ± 1, у – не целое; в) х = 2, у = ±3; г) х = -2, у – не целое. Ответ: (0; 5), (0; -5), (2; 3) и (2; -3).

2) Решить в целых числах уравнение: 2х 2 у 2 + у 2 - 6х 2 – 10 = 0. 2х 2 у 2 + у 2 = 6х Выразим у 2 : у 2 = (2х 2 + 1) может быть равно: 1, 7. При (2х 2 + 1) = 1, х = 0 При (2х 2 + 1) = 7, х – не целое При х = 0, у – не целое Ответ: корней нет.

Задания для самостоятельного решения: 1) х 2 – ху – 2у 2 = 1; 2) х 2 – 3ху + 2у 2 = 3; 3) 5х 2 + 8ху – 4у 2 = 17; 4) х 2 + 2ху + у 2 = 4; 5)(51 – 4х – 7у)(31х + 2у – 6) = 68; 6)(13х + 3у -2)(2х – 8у – 13) = 11; 7)х 2 = у 2 + 2у + 8; 8)2х 2 +х 2 у 2 -3у 2 =7;

9) 3х 2 +4х 2 у 2 -8у 2 -12=0; 10) 12х 2 -4х 2 у 2 +7у 2 =9; 11) 8х 2 +х 2 у 2 -3у 2 =32; 12) -24х 2 +3х 2 у 2 +4у 2 =48; 13) 3х 2 +7х 2 у 2 =21у 2 +27; 14) 7х – 3ху + 6у – 5 = 0. Ответы к заданиям

Диофантовы уравнения первой степени

Общий вид диофантовых уравнений первой степени с двумя неизвестными: ax+by+c=0, где a и b – целые числа, отличные от нуля, а с – любое целое число. Решениями этого уравнения будут служить целые числа.

Задания для самостоятельного решения: 1)3х+2у=7; 2)3у=2х+8; 3)17х+34у=153; 4)х+12у=7; 5)19х+23у=874; 6)17х+31у=527; 7)12х-3у=21; 8)13х-26у-13=0. Ответы к заданиям

Ответы к заданиям: 1)(1; 0), (-1;0); 2) (-1; -2), (1; 2), (-5; -2), (5; 2); 3) (3; -1), (3; 7), (-3; 1), (-3; -7), 4) любые пары решений, удовлетворяющие равенству х+у=2 или равенству х+у= -2. 5)(2; 6); 6)корней нет; 7)(-4; 2), (4; 2), (-4; -4), (4; -4); 8)корней нет; 9)(2;0), (-2;0); 10) корней нет; 11) (-2;0), (2; 0); 12) (2; 3), (2; -3), (-2; 3), (-2; -3); 13) (-3;0), (3;0); 14) (-7; 2).

Ответы к заданиям (диофантовы уравнения): 1)х=1-2t, y=2+3t; 2) x=2-3t, y=4-2t; 3) x=5-2t, y=2+t; 4) x= -5-12t, y=1+t; 5) x=23-23t, y=19+19t; 6) x= -31t, y= 17+17t; 7) x=2+t, y=1+4t; 8) x=5+2t, y=2+t.