НИИМ и ПМ им. Воровича И.И., РГУ И.С.Трубчик НИИМ и ПМ им. Воровича И.И. ЮФУ, ДГТУ, Ростов-на-Дону, Россия

Актуальность 1. Исследование механических характеристик градиентных материалов, имеющих угловые точки, используемых в качестве соединений с учетом изменения упругих модулей среды 2. Разработка методов контроля механических свойств соединений 2

Алгоритм решения задачи Постановка задачи. Выбор интегрального преобразования, соотв. системе координат. Сведение краевой задачи для вектор-функции трансформант к решению задач Коши для весовых вектор-функций. Вывод и решение СЛАУ для определения коэффициентов л.к. фундаментальных векторов решения краевой задачи. Построение функции трансформанты ядра интегрального уравнения смешанной задачи Аппроксимация трансформанты функцией специального вида Решение приближенного ИУ в квадратурах.

Контактные задачи для непрерывно- неоднородного клина III

I. чистый сдвиг полосовым штампом функционально-градиентной клиновидной области в случае произвольного непрерывного изменения упругих свойств среды по угловой координате

Н. определить распределение контактных касательных напряжений под штампом Постановка задачи I. а также связь между действующей нагрузкой и смещением штампа

II. Вдавливание штампа в функционально- градиентную клиновидную область в случае произвольного непрерывного изменения упругих свойств среды по угловой координате

Н. определить распределение контактных напряжений под штампом Постановка задачи II. а также связь между действующей нагрузкой и смещением штампа

уравнения равновесия и закон Гука представляем в перемещениях и используем для решения ДУ интегральное преобразование Меллина

Условие равновесия штампа

Задачи I и II сводятся к решению интегрального уравнения Фредгольма (1)

общее решение (2) для G=G однор граничные условия для введенной функции получим граничные условия ДУ для определения трансформанты интегрального преобразования Меллина в з. I (2)(2) (3)(3)

ДУ для определения трансформанты интегрального преобразования Меллина в з. II из II.(3-4) получим граничные условия (4)(4) (5)(5)

Численное построение трансформанты ядра интегрального уравнения в контактных задачах для неоднородных сред - диагональные матрицы с компонентами - собственные векторы матрицы А однор (6)(6) (7)(7) некоторые коэффициенты, определяемые из решения СЛАУ, получающейся из краевых условий

решение системы ДУ представляется в виде линейной комбинации фундаментальных решений - векторы модулирующих функций, связанных с неоднородностью среды, получаемые из решения задачи Коши начальные условия определяются, исходя из вида решения уравнения (6) для однородного клина на нижней грани (8)(8) (9)(9)

Построение функции трансформанты ядра интегрального уравнения в задаче о сдвиге неоднородного клина Уравнение (2) в матричной форме Краевые условия (3) примут вид: векторы ФСР (10)

Построение функции трансформанты ядра интегрального уравнения в задаче II Матрица А для уравнения (4) в матричной форме Краевые условия (5) примут вид: (11)

18 общее решение (4) для однородного клина в задаче II Векторы ФСР

I задача Коши из краевых условий (10)

Задача о внедрении штампа в клин нач. условия задачи Коши (12)

Учитывая представление функции напряжений в виде ИП Меллина, ИУ (2) примет вид или (13)

22 (14)

23 Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного по угловой координате клина специального вида

24 Законы неоднородности в контактных задачах для ФГ- клина

25 Законы неоднородности в контактных задачах для ФГ- клина

26 трансформанты ядер ИУ для задачи о сдвиге неоднородного клина

27 Относительные трансформанты ядер ИУ для задачи о сдвиге неоднородного клина

трансформанты ядер ИУ для задачи о сдвиге неоднородного клина

29 Относительные трансформанты ядер ИУ для задачи о сдвиге неоднородного клина

34 Относительные трансформанты ядер ИУ для задачи о сдвиге неоднородного клина

Контактные задачи для функционально- градиентных полосы и слоя

. Графики относительных трансформант ИУ для градиентного слоя, жесткая заделка

задачи I и II сводятся к решению парных интегральных уравнений для градиентного клина трансформанты ядер ИУ обладают следующими свойствами (16) (17)

Обоснование условий существования и единственности решения парных ИУ Аппроксимация трансформанты ядра парного ИУ Область определения функции правой части ИУ Теорема существования и единственности решения парного ИУ

Лемма 4.5. Оператор задачи является оператором сжатия в пространстве при выполнении условия если или Используя выражения для, получим следующие оценки Аппроксимация трансформанты ядра парного ИУ (18) (19)

Трансформанта и ее аппроксимация функцией для градиентного клина,

Трансформанта и ее аппроксимация функцией для градиентного клина

Решение ИУ решение (8) для функции найдено в случае, когда функция g(x) может быть представлена в виде ряда Фурье, т.е. размер зоны контакта фиксирован и не зависит от нагрузки. аналитический вид решения: - присоединенные функции Лежандра (20)

Связь между вдавливающей силой и осадкой штампа Теорема. Уравнение (19) однозначно разрешимо в пространстве при L(u) вида (18), если как при, так и при, где - фиксированные значения, и имеет место оценка Сравнение полученного аналитического приближенного решения с известными решениями для однородной полосы из монографии [1] показало погрешность менее 1% при 2. Наибольшие расхождения (более 10%) наблюдаются при =2. (21)

Специальный вид решения для одной скобки в аппроксимации (12)

Связь между вдавливающей силой и осадкой штампа

Относительные сдвиговые контактные напряжения

Зависимость сдвигающей силы от перемещения штампа

Заключение Разработан метод сведения смешанных задач для неоднородных сред в системах координат, отличных от декартовых, к решению парных интегральных уравнений Исследованы классы этих парных интегральных уравнений Построены аналитические двухсторонне асимптотически точные решения этих классов интегральных уравнений Метод применен к решению контактных задач для функционально-градиентной полосы и клина сложной структуры

Статьи и монографии, являющиеся основой выполненных работ 1. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, с. 2. Зеленцов В.Б. О решении одного класса интегральных уравнений // ПММ Т. 46, вып. 5. С Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ Т. 46, 1. С Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: «Машиностроение», с. 5. Айзикович С.М., Трубчик И.С. Асимптотические свойства приближенного решения одного класса парных интегральных уравнений // ПММ Т.52, Вып.5. С Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Трубчик И.С., Кренев Л.И. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит, с. 7. Трубчик И.С., Айзикович С.М. Эффективный алгоритм сведения к парным интегральным уравнениям контактных задач для полубесконечных областей средствами вычислительной техники // "Экологический вестник научных центров ЧЭС" С.52–59