2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г. Лекция 8. Корреляция 8-1. Корреляция 8-2. Значимость коэффициента корреляции 8-3. Виды связи между переменными 8-4. Другие коэффициенты связи

2 Иванов О.В Примеры 1.Менеджер интересуется, зависит ли объем продаж в этом месяце от объема рекламы в этом же периоде? 2.Преподаватель хочет выяснить, есть ли зависимость между количеством часов, потраченных студентом на занятия, и результатами экзамена? 3.Врач исследует, влияет ли кофеин на сердечные болезни и существует ли связь между возрастом человека и его кровяным давлением? 4.Социолог исследует, какова связь между уровнем преступности и уровнем безработицы в регионе? Есть ли зависимость между расходами на жилье и совокупным доходом семьи? Связаны ли доход от профессиональной деятельности и продолжительность образования?

3 Иванов О.В Постановка проблемы Наша цель – научиться отвечать на четыре вопроса: Вопрос 1. Существует ли связь между двумя или более переменными? Вопрос 2. Какой тип имеет эта связь? Вопрос 3. Насколько она сильна? Вопрос 4. Какой можно сделать прогноз, основываясь на этой связи?

4 Иванов О.В Методы Корреляция – статистический метод, позволяющий определить, существует ли зависимость между переменными и на сколько она сильна. Регрессия – статистический метод, который используется для описания характера связи между переменными (положительная или отрицательная, линейная или нелинейная зависимость).

5 Иванов О.В Простая и множественная связь Множественная связь означает наличие несколько переменных. Простая связь означает наличие двух переменных. Стаж менеджера по продажам на фирме Стаж менеджера по продажам на фирме Годовой объем продаж Годовой объем продаж Успеваемость студента Успеваемость студента Успеваемость в школе Успеваемость в школе Время на занятия Время на занятия Коэффициент IQ Коэффициент IQ

6 Иванов О.В График рассеяния (Scatter Plot) Рассматриваем две переменные: «продолжительность занятий» студентов перед экзаменом и «итоговая оценка» (из 100 балов). Пытаемся визуально определить связь. Правда ли, что чем меньше времени занятий, тем выше оценка? СтудентЧасы x Оценка y A682 B263 C157 D588 E268 F375

7 Иванов О.В Независимая и зависимая переменные Независимая переменная – это та переменная в регрессии, которую можно изменять. Переменная «количество часов занятий» является независимой и обозначается х. Зависимая переменная – это переменная в регрессии, которую нельзя изменять. «Экзаменационная оценка» является зависимой переменной. Она обозначается у.

8 Иванов О.В Объяснение Разделение переменных на зависимые и независимые основывается на предположении, что оценка, которую получит студент, зависит от количества часов, которые он занимался. Предполагается также, что студенты могут повлиять на количество часов, которые будут потрачены на занятия. Не всегда возможно определить, какая переменная зависимая, а какая независимая, и выбор иногда делается произвольно.

9 Иванов О.В Положительная и отрицательная зависимость Визуально видно, что имеет место линейная зависимость, которая отрицательна. Это означает, что увеличение переменной x приводит к уменьшению второй переменной y. СтудентПропустил х Оценка у A682 B286 C1543 D974 E1258 F590 G878

10 Иванов О.В Нелинейная зависимость График показывает, что имеется зависимость, которая не является линейной. Возможно, эта зависимость квадратичная или какая-то иная.

11 Иванов О.В Отсутствие зависимости График сообщает нам об отсутствии зависимости времени на подготовку к экзамену и количества вопросов, заданных преподавателем на экзамене. СтудентЧасы х Вопросы у A33 B02 C21 D57 E81 F54 G106 H28 I15

2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г Корреляция Связь между двумя переменными

13 Иванов О.В Коэффициент корреляции Коэффициент корреляции измеряет силу и направление связи между двумя переменными. Обозначения: Выборочный коэффициент корреляции r Коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ

14 Иванов О.В Формула для вычисления r Коэффициент корреляции вычисляется по формуле: Это, так называемый, коэффициент корреляции Пирсона, равный произведению моментов. Он назван по имени статистика Карла Пирсона, который первый провел исследования в этой области.

15 Иванов О.В Вторая формула для вычисления r После несложных преобразований, из первой формулы можно получить другую формулу для коэффициента. Как мы увидим, она более пригодна для вычисления коэффициента при помощи таблиц.

16 Иванов О.В Значения коэффициента корреляции Коэффициент корреляции изменяется на отрезке от –1 до +1. Если между переменными существует сильная положительная связь, то значение r будет близко к +1. Если между переменными существует сильная отрицательная связь, то значение r будет близко к –1. Когда между переменными нет линейной связи или она очень слабая, значение r будет близко к Сильная отрицательная связь Сильная положительная связь Отсутствие связи

17 Иванов О.В Интерпретация коэффициента корреляции Значение rУровень связи между переменными 0,75 – 1.00Очень высокая положительная 0,50 – 0.74Высокая положительная 0,25 – 0.49Средняя положительная 0,00 – 0.24Слабая положительная 0,00 – -0.24Слабая отрицательная -0,25 – -0.49Средняя отрицательная -0,50 – -0.74Высокая отрицательная -0,75 – -1.00Очень высокая отрицательная

18 Иванов О.В Пример вычисления Вычислим коэффициент корреляции для примера со студентами. СтудентЧасы x Оценка y A682 B263 C157 D588 E268 F375

19 Иванов О.В Шаг 1. Достроим таблицу Достраиваем таблицу тремя столбцами и итоговой строкой. Проводим необходимые вычисления. СтудентЧасы x Оценка y xyx2x2 y2y2 A B C D E F Σx=19Σy=433Σxy=1476Σx 2 =79Σy 2 =31935

20 Иванов О.В Шаги 2-3. Подставим в формулу, получим ответ Подставим данные в формулу и найдем r : Ответ. Значение коэффициента корреляции равно 0,922. Это означает, что существует сильная положительная связь. Мы видели эту связь на графике.

2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г Значимость коэффициента корреляции Проверка гипотезы

22 Иванов О.В Постановка проблемы Коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ – это корреляция, вычисленная с использованием всевозможных пар значений признаков (х,у) генеральной совокупности. Требуется Оценить коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ на основе значения коэффициента корреляции выборки r. Условия Выборочный коэффициент корреляции r используется для оценки ρ, если выполнены следующие предположения: –Переменные х и у линейно зависимы –Переменные являются случайными –Обе переменные имеют нормальное распределение

23 Иванов О.В Последовательность действий Чтобы принять верное решение, воспользуемся процедурой проверки гипотезы. Она включает традиционные пять шагов: Шаг 1. Сформулировать гипотезы. Шаг 2. Построить критическую область. Шаг 3. Вычислить значение критерия. Шаг 4. Сравнить, принять решение. Шаг 5. Написать ответ.

24 Иванов О.В Гипотезы Гипотезы сформулированы следующим образом. Основная гипотезаН 0 : ρ = 0 Альтернативная гипотезаН 1 : ρ 0 Основная гипотеза утверждает, что не существует корреляции между признаками х и у в генеральной совокупности. Альтернативная гипотеза утверждает, что корреляция между признаками х и у в генеральной совокупности значима. Когда основная гипотеза отвергается на определенном уровне значимости, это значит, что существует значимое различие между значением r и 0. Когда основная гипотеза принимается, это значит, что значение r не сильно отличается от 0 и является случайным.

25 Иванов О.В Статистика и критическая область Для проверки гипотезы используется t-критерий с df = n – 2 степенями свободы: Границы двусторонней критической области находятся при помощи таблиц значений t-распределения.

26 Иванов О.В Пример Рассчитан коэффициент корреляции и его значение оказалось равно 0,897. Выборка содержала 6 пар. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

27 Иванов О.В Решение Шаг 1. Гипотезы: Н 0 : ρ = 0 Н 1 : ρ 0 Шаг 2. Критическая область: α = 0,05, df = 6 – 2 = 4. Критические значения по таблице равны ±2,776. Шаг 3. Статистика по выборке: Шаг 4. Сравниваем значение статистики с критической областью. Нулевую гипотезу отвергаем, так как значение критерия попадает в область критических значений. Шаг 5. Делаем вывод, что существует значимая связь между признаками.

2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г Виды связи между переменными Связь между двумя переменными

29 Иванов О.В Корреляция и причинная связь Когда проверка гипотезы показывает, что существует значимая линейная связь между переменными, исследователь должен рассмотреть возможные виды связи между переменными и выбрать ту, которая диктуется логикой исследования.

30 Иванов О.В Пять видов связи между переменными 1. Прямая причинно-следственная связь 2. Обратная причинно-следственная связь 3. Связь вызвана третьей (скрытой) переменной 4. Взаимосвязь вызвана несколькими скрытыми переменными 5. Связи нет, наблюдаемая зависимость случайна

31 Иванов О.В Прямая связь Прямая причинно-следственная связь между переменными (переменная х определяет значение переменной у). Наличие воды ускоряет рост растений. Яд вызывает смерть. Температура воздуха прямо влияет на скорость таяния льда. Влажность воздуха Скорость роста растений ?

32 Иванов О.В Обратная связь Обратная причинно-следственная связь между переменными (переменная у определяет значение переменной х). Исследователь может думать, что чрезмерное потребление кофе вызывает нервозность. Но, может быть, очень нервный человек выпивает кофе, чтобы успокоить свои нервы? Чрезмерное потребление кофе Нервозность ?

33 Иванов О.В Связь определена третьей переменной Связь между переменными может быть вызвана третьей переменной. Исследователь установил, что существует некая зависимость между числом утонувших людей и числом выпитых безалкогольных напитков в летнее время. А может быть, обе переменные связаны с жарой и потребностью людей во влаге? Число утонувших Объем выпитых напитков Жара, потребность влаги ?

34 Иванов О.В Несколько переменных Взаимосвязь может быть определена несколькими скрытыми переменными. Исследователь может обнаружить значимую связь между оценками студентов в университете и оценками в школе. Но, возможно, действуют и другие переменные: IQ, количество часов занятий, влияние родителей, мотивация, возраст, авторитет преподавателей. Успеваемость в школе Влияние родителей ? Успеваемость в университете Часы занятий Возраст Преподавател и IQ

35 Иванов О.В Зависимость случайна Исследователь может найти значимую зависимость между увеличением количества людей, которые занимаются спортом и увеличением количества людей, которые совершают преступления. Но здравый смысл говорит, что любая связь между этими двумя переменными должна быть случайной. Число людей, регулярно занимающихся спортом Число преступлений ?

2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г.2 ноября 2012 г Другие коэффициенты связи Коэффициенты

37 Иванов О.В Зависимость 2 от объема выборки Использование 2 в качестве меры связи двух признаков имеет недостатки. Главный - величина 2 зависит от объема выборки для таблиц с одинаковыми пропорциями Поскольку таблицы имеют одинаковые пропорции, то сила связи между признаками постоянна для всех трех таблиц, а значения 2 при этом различны. Рассмотрим других «кандидатов» на роль коэффициента связи между признаками.

38 Иванов О.В Коэффициент фи Свойства: Используется для таблиц 2х2 Равен нулю для независимых переменных Равен +1 или -1 для полностью зависимых переменных: a0 0d 0b c0

39 Иванов О.В Вычисление коэффициента фи ab cd Для вычисления коэффициента используют следующую формулу: Главное, коэффициент для всех трех таблиц, рассмотренных выше, одинаковый:

40 Иванов О.В Коэффициент Крамера Свойства: Используется для таблиц любого размера Для таблиц 2х2 совпадает с коэффициентом фи Равен нулю для независимых переменных Равен 1 для полностью зависимых переменных где r – количество строк, c – количество столбцов

41 Иванов О.В Коэффициент сопряженности Пирсона Свойства: Используется для таблиц любого размера Равен нулю для независимых переменных Максимум коэффициента меньше 1 Чтобы изменялся от 0 до 1 используется корректировка:

42 Иванов О.В Коэффициент лямбда Основан на понятии модального прогноза. Не рассматриваем.

43 Иванов О.В Коэффициент Юла ab cd Свойства: Используется для таблиц 2 х 2 Равен нулю для независимых переменных Равен +1 или -1 даже когда зависимость неполная (односторонняя) a0 cd ab 0d

44 Иванов О.В Пример курит? пол мж да270 нет9319 Если женщина, то точно не курит, а если мужчина, – то неизвестно. Такая «односторонняя» связь, хоть и не является полной, но может представлять некоторый интерес. Коэффициент Юла позволяет такие ситуации отследить.

45 Иванов О.В Пример 25 респондентов исследовали на связь между двумя признаками: пол и отношение к курению. Таблица сопряженности и коэффициенты представлены в отчете из SPSS.

46 Иванов О.В Какой коэффициент «лучше»? 1.Каждый коэффициент отражает своё понятие силы связи, степени зависимости. 2.За каждым из них стоит своя модель изучаемого явления. Их не следует интерпретировать в отрыве от этой модели. 3.В большинстве случаев, если при сравнении степени связи в 2х2 таблицах один из коэффициентов связи для одной из таблиц больше, тогда то же самое будет верно и для всех остальных коэффициентов.

47 Иванов О.В Вопрос на 5 минут Для чего строят таблицы сопряженности? На какие вопросы можно ответить при помощи этих таблиц?