ПЛОЩАДЬ. Выполнила: Часовских Даша 8 Г школа 11 Руководитель: Кудоспаева Надежда Николаевна

СОДЕРЖАНИЕ. 1. Цели проекта. 1. Цели проекта.1. Цели проекта.1. Цели проекта. 2. Понятие площади многоугольника. 2. Понятие площади многоугольника. 3. Площадь квадрата. 3. Площадь квадрата. 4. Площадь прямоугольника. 4. Площадь прямоугольника. 5. Площадь параллелограмма. 5. Площадь параллелограмма. 6. Площадь треугольника. 6. Площадь треугольника. 7. Площадь трапеции. 7. Площадь трапеции.7. Площадь трапеции.7. Площадь трапеции. 8. Теорема Пифагора. 8. Теорема Пифагора.

9. Теорема, обратная теореме Пифагора. 9. Теорема, обратная теореме Пифагора.9. Теорема, обратная теореме Пифагора.9. Теорема, обратная теореме Пифагора. 10. Пифагоровы числа. 10. Пифагоровы числа. 11. Египетский треугольник. 11. Египетский треугольник. 12. Исторические сведения, о теореме Пифагора. 12. Исторические сведения, о теореме Пифагора. 13. Площадь. 13. Площадь. 14. Что такое теорема ? 14. Что такое теорема ? 15. Мера площади в эпоху укрепления Московского государства. 15. Мера площади в эпоху укрепления Московского государства. 16. Треугольник. 16. Треугольник.

17. Квадрат. 17. Квадрат. 18. Трапеция. 18. Трапеция. 19. Пифагор Самосский. 19. Пифагор Самосский. 20. О себе. 20. О себе. 21. Дополнительная литература. 21. Дополнительная литература.

Понятие площади многоугольника. При выбранной единице измерение площадей каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике. На рисунке изображен При выбранной единице измерение площадей каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике. На рисунке изображен квадрат, в котором квадрат, в котором укладывается 1 см., а площадь укладывается 1 см., а площадь равна 1 см. (кв.). равна 1 см. (кв.). 1 см.

C B D Е А Рис. 1 В трапеции ABCD, изображенной на рисунке 1, кв. сантиметр укладывается 2 раза и остается часть трапеции – треугольник CDE, в котором кв. сантиметр не укладывается целиком. Для измерения площади этого треугольника нужно использовать доли кв. сантиметра, например кв. миллиметр. ( составляет 0.01 часть кв. сантиметра ) на рисунке 2. В трапеции ABCD, изображенной на рисунке 1, кв. сантиметр укладывается 2 раза и остается часть трапеции – треугольник CDE, в котором кв. сантиметр не укладывается целиком. Для измерения площади этого треугольника нужно использовать доли кв. сантиметра, например кв. миллиметр. ( составляет 0.01 часть кв. сантиметра ) на рисунке 2. 1 см. Рис. 2

Оставшиеся части можно измерять с помощью более мелкой доли кв. сантиметра и получить более точное значение площади трапеции. Оставшиеся части можно измерять с помощью более мелкой доли кв. сантиметра и получить более точное значение площади трапеции. Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он не удобен. Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он не удобен. Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определенным формулам. Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определенным формулам.

Если 2 многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следующее свойство : Если 2 многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следующее свойство : 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 1. Равные многоугольники имеют равные площади. Величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак : Величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак : 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Свойство 1 и 2 называются основными свойствами площадей. Так как аналогичными свойствами обладают длины отрезков. Свойство 1 и 2 называются основными свойствами площадей. Так как аналогичными свойствами обладают длины отрезков. Наряду с этими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей. Наряду с этими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей. 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. На рисунке изображен квадрат, На рисунке изображен квадрат, сторона которого равна 2.1 см.Он сторона которого равна 2.1 см.Он состоит из 4 кв. сантиметров и 41 состоит из 4 кв. сантиметров и 41 кв. миллиметра. Таким образом, кв. миллиметра. Таким образом, площадь квадрата равна 4.41 см. площадь квадрата равна 4.41 см. ( кв. ), что равно квадрату его стороны : ( кв. ), что равно квадрату его стороны : 4.41=( 2.1 ) ( кв. ). 4.41=( 2.1 ) ( кв. ). 2.1 см. 1 см. 2.1 см. S = (2.1 см.) (кв. )=4.41см.(кв. )

Площадь квадрата. Дано: квадрат, где n – целое число, Дано: квадрат, где n – целое число, а=1/n. а=1/n. Доказать: S квадрата со стороной а = а ( кв.) Доказать: S квадрата со стороной а = а ( кв.) Доказательство: Доказательство: Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n ( кв.) равных квадратов так, как показано на рисунке. Так как площадь большего квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n (кв.). Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна а. Итак, Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n ( кв.) равных квадратов так, как показано на рисунке. Так как площадь большего квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n (кв.). Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна а. Итак, S=1/n (кв.) = ( 1/n ) (кв.)=a (кв.). S=1/n (кв.) = ( 1/n ) (кв.)=a (кв.). 1 а = 1/ n

Дано: квадрат, где а- целое число, m= a10(n) Дано: квадрат, где а- целое число, m= a10(n) Найти: S Решение: Решение: Разобьем данный квадрат со стороной а на m (кв.) равных квадратов так, как показано на рисунке. Значит, сторона любого маленького квадрата равна a/m= a/a10 (n)= 1/10 (n). По формуле (1) площадь маленького квадрата равна ( 1/10 (n))(кв.). Следовательно, площадь данного квадрата равна m (кв. ) (1/10 (n))(кв.)=(m/10(n))(кв.)=(a10 (n )/ 10(n))(кв.)=a(кв.) Разобьем данный квадрат со стороной а на m (кв.) равных квадратов так, как показано на рисунке. Значит, сторона любого маленького квадрата равна a/m= a/a10 (n)= 1/10 (n). По формуле (1) площадь маленького квадрата равна ( 1/10 (n))(кв.). Следовательно, площадь данного квадрата равна m (кв. ) (1/10 (n))(кв.)=(m/10(n))(кв.)=(a10 (n )/ 10(n))(кв.)=a(кв.) а 1/10(n)

Площадь прямоугольника. Теорема: Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Дано: прямоугольник, со сторонами a и b, и площадью S. Дано: прямоугольник, со сторонами a и b, и площадью S. Доказать: S=a b. Доказать: S=a b. Доказательство: Доказательство:

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+ b, как показано на рисунке. По свойству 3 площадь этого квадрата равна (a+ b) (кв.). С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1 площадей ) и двух квадратов с площадями a (кв.) и b (кв.) (свойство 3 площадей ). По свойству 2 имеем : (a+ b)(кв.)=S+ S+ a(кв.) +b(кв.), или a(кв.) +2ab+b(кв.)=2S+a(кв.)+ b(кв.). С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1 площадей ) и двух квадратов с площадями a (кв.) и b (кв.) (свойство 3 площадей ). По свойству 2 имеем : (a+ b)(кв.)=S+ S+ a(кв.) +b(кв.), или a(кв.) +2ab+b(кв.)=2S+a(кв.)+ b(кв.). Отсюда получаем: S=a b. Отсюда получаем: S=a b. Теорема доказана. Теорема доказана. Sb a аb a b b a b a a (кв.) S S b(кв.)

Площадь параллелограмма. Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма. Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма.

Теорема: Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Дано: ABCD – параллелограмм, AD - основание, BH и CK - высота. Дано: ABCD – параллелограмм, AD - основание, BH и CK - высота. Доказать: S=AD*BH. Доказать: S=AD*BH. Доказательство: Доказательство: Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK.С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу… 12 A HD K CB

…( их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD ), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т. е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH.Теорема доказана. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т. е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH.Теорема доказана.

Площадь треугольника. Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию. Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Дано: ABC – треугольник, AB – основание, CH – высота. Дано: ABC – треугольник, AB – основание, CH – высота. Доказать: S=1/2AB*CH. Доказать: S=1/2AB*CH. Доказательство: Доказательство: Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке.Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC – их общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S … Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке.Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC – их общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S … CD B H A

… треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. S=1/2AB*CH. Теорема доказана. … треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. S=1/2AB*CH. Теорема доказана. Следствие 1 Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следствие 2 Следствие 2 Если высота двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. Если высота двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема. Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Дано: ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, угол A = углу A 1. Дано: ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, угол A = углу A 1. Доказать: S/S 1 =AB*AC/A 1 B 1 *A 1 C 1. Доказать: S/S 1 =AB*AC/A 1 B 1 *A 1 C 1. Доказательство: Доказательство: C S A B C1C1 B1B1 A1A1 S1S1

Наложим треугольник A 1 B 1 C 1 на треугольник ABC так, чтобы вершина А 1 совместилась с вершиной А, а стороны А 1 В 1 и А 1 С 1 наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ 1 С имеют общую высоту СН, поэтому S/SAB 1 C=AB/AB 1. Треугольники АВ 1 С и АВ 1 С 1 также имеют общую высоту – В 1 Н 1, поэтому SAB 1 C/SAB 1 C 1 =AC/AC 1. Перемножая полученные равенства, находим: S/SAB 1 C 1 =AB*AC/AB 1 *AC 1 или S/S 1 =AB*AC/A 1 B 1 *A 1 C 1.Теорема доказана. Наложим треугольник A 1 B 1 C 1 на треугольник ABC так, чтобы вершина А 1 совместилась с вершиной А, а стороны А 1 В 1 и А 1 С 1 наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ 1 С имеют общую высоту СН, поэтому S/SAB 1 C=AB/AB 1. Треугольники АВ 1 С и АВ 1 С 1 также имеют общую высоту – В 1 Н 1, поэтому SAB 1 C/SAB 1 C 1 =AC/AC 1. Перемножая полученные равенства, находим: S/SAB 1 C 1 =AB*AC/AB 1 *AC 1 или S/S 1 =AB*AC/A 1 B 1 *A 1 C 1.Теорема доказана. A(A 1 ) HB1B1 B C1C1 H1H1 C

Площадь трапеции. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание, называется высотой трапеции. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание, называется высотой трапеции. Теорема. Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Дано: ABCD – трапеция, AD и BC – основания, BH – высота. Дано: ABCD – трапеция, AD и BC – основания, BH – высота. Доказать: S=1/2 (AD+BC )*BH. Доказать: S=1/2 (AD+BC )*BH. Доказательство: Доказательство: Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH 1 за основание и высоту треугольника ВСD. Тогда SABD=1/2 AD*BH, SBCD=1/2 BC*DH 1. Так как DH 1 =BH, то SBCD=1/2 BC*BH. Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH 1 за основание и высоту треугольника ВСD. Тогда SABD=1/2 AD*BH, SBCD=1/2 BC*DH 1. Так как DH 1 =BH, то SBCD=1/2 BC*BH. Таким образом, S=1/2 AD*BH+1/2 BC*BH=1/2 (AD+BC)* BH. Теорема доказана. Таким образом, S=1/2 AD*BH+1/2 BC*BH=1/2 (AD+BC)* BH. Теорема доказана. B C H1H1 D H A

Теорема Пифагора. Теорема Пифагора является важнейшей теоремой геометрии. Теорема Пифагора является важнейшей теоремой геометрии. Теорема. Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: прямоугольный треугольник, a и b – катеты, c – гипотенуза. Дано: прямоугольный треугольник, a и b – катеты, c – гипотенуза. Доказать: с (кв.)= а (кв.)+b (кв.) Доказать: с (кв.)= а (кв.)+b (кв.) Доказательство: Доказательство:

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (а + b)(кв.). С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2аb, и квадрата со стороной с, поэтому S=4*1/2ab+ c (кв.)=2ab+c (кв.). Таким образом, (а +b)(кв.)=2ab+c (кв.), откуда с (кв.)= а (кв.)+b (кв.). Теорема доказана. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (а + b)(кв.). С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2аb, и квадрата со стороной с, поэтому S=4*1/2ab+ c (кв.)=2ab+c (кв.). Таким образом, (а +b)(кв.)=2ab+c (кв.), откуда с (кв.)= а (кв.)+b (кв.). Теорема доказана. a c b b a c ab c cc a b a b (a +b)(кв.)=4 (1/2ab)+c(кв.)

Теорема, обратная теореме Пифагора. Теорема. Теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Дано: АВС – треугольник, АВ (кв.) = АС (кв.)+ ВС (кв.). Дано: АВС – треугольник, АВ (кв.) = АС (кв.)+ ВС (кв.). Доказать: угол С прямой. Доказать: угол С прямой. Доказательство: Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник А 1 В 1 С 1 с прямым углом С 1, у которого А 1 С 1 =АС и В 1 С 1 =ВС. По теореме Пифагора А 1 В 1 (кв.) =А 1 С 1 (кв.) +В 1 С 1 (кв.), и, значит, А 1 В 1 (кв.)= АС (кв.) +ВС (кв.). Но АС (кв.)+ВС (кв.)=АВ (кв.) по условию теоремы. Следовательно, А 1 В 1 (кв.)=АВ (кв.), откуда А 1 В 1 =АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник А 1 В 1 С 1 с прямым углом С 1, у которого А 1 С 1 =АС и В 1 С 1 =ВС. По теореме Пифагора А 1 В 1 (кв.) =А 1 С 1 (кв.) +В 1 С 1 (кв.), и, значит, А 1 В 1 (кв.)= АС (кв.) +ВС (кв.). Но АС (кв.)+ВС (кв.)=АВ (кв.) по условию теоремы. Следовательно, А 1 В 1 (кв.)=АВ (кв.), откуда А 1 В 1 =АВ. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по трем сторонам, поэтому угол С= углу С 1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по трем сторонам, поэтому угол С= углу С 1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.

Пифагоровы числа. Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза c таких треугольников выражаются формулами a=2kmn, b=k (m (кв.)-n (кв.) ), c=k (m (кв.) + n (кв.)), где k, m и n – любые натуральные числа, такие, что m>n. Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза c таких треугольников выражаются формулами a=2kmn, b=k (m (кв.)-n (кв.) ), c=k (m (кв.) + n (кв.)), где k, m и n – любые натуральные числа, такие, что m>n.

Египетский треугольник. Треугольник со стороной 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3,4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым. Треугольник со стороной 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3,4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.

Исторические сведения, о теореме Пифагора. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений.

Пифагор, по –видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Многие известные мыслители и писатели пошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свой строки. Пифагор, по –видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Многие известные мыслители и писатели пошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свой строки.

Еще в Древнем Вавилоне с помощью теоремы Пифагора вычисляли высоту равнобедренного треугольника по основанию и боковой стороне, стрелку сегмента по диаметру окружности и хорде, устанавливали соотношение между элементами некоторых правильных многоугольников. С помощью теорема Пифагора доказывается ее обобщение, позволяющее вычислить сторону, лежащую против острого или тупого угла: c(кв.)= a(кв.) +b(кв.) -2abcosC. Еще в Древнем Вавилоне с помощью теоремы Пифагора вычисляли высоту равнобедренного треугольника по основанию и боковой стороне, стрелку сегмента по диаметру окружности и хорде, устанавливали соотношение между элементами некоторых правильных многоугольников. С помощью теорема Пифагора доказывается ее обобщение, позволяющее вычислить сторону, лежащую против острого или тупого угла: c(кв.)= a(кв.) +b(кв.) -2abcosC.

Теорема Пифагора существует только в евклидовой геометрии. Ни в геометрии Лобачевского, ни в других неевклидовых геометриях она не имеет места. Не имеет места аналог теоремы Пифагора и на сфере. Два меридиана, образующие угол 90 градусов, и экватор ограничивают на сфере равносторонний сферический треугольник, все 3 угла которого прямые. Для чего a(кв.)+ b(кв.)= 2c(кв.), а не c(кв.), как на плоскости. Теорема Пифагора существует только в евклидовой геометрии. Ни в геометрии Лобачевского, ни в других неевклидовых геометриях она не имеет места. Не имеет места аналог теоремы Пифагора и на сфере. Два меридиана, образующие угол 90 градусов, и экватор ограничивают на сфере равносторонний сферический треугольник, все 3 угла которого прямые. Для чего a(кв.)+ b(кв.)= 2c(кв.), а не c(кв.), как на плоскости.

С помощью теоремы Пифагора вычисляют расстояние между точками M(x1;y1) и N(x2;y2) координатной плоскости по формуле MN= (x2- x1)(кв.)+(y2-y1)(кв.). С помощью теоремы Пифагора вычисляют расстояние между точками M(x1;y1) и N(x2;y2) координатной плоскости по формуле MN= (x2- x1)(кв.)+(y2-y1)(кв.). После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольных треугольников. Они были открыты еще пифагорейцами, но какие –то общие методы отыскания таких троек чисел были известны еще вавилонянам. После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольных треугольников. Они были открыты еще пифагорейцами, но какие –то общие методы отыскания таких троек чисел были известны еще вавилонянам.

Площадь. Площадь называется величина характеризующая размер геометрической фигуры. Площадь называется величина характеризующая размер геометрической фигуры. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Древние вавилоняне полагали, например, что площадь всякого четырехугольника равна произведению полусумм противоположных сторон. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Древние вавилоняне полагали, например, что площадь всякого четырехугольника равна произведению полусумм противоположных сторон.

Формула явно неверна: из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов с равными сторонами одинаковы. Между тем очевидно, что у таких ромбов площади зависят от углов при вершинах. Но уже древние греки умели правильно находить площадь многоугольников. Формула явно неверна: из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов с равными сторонами одинаковы. Между тем очевидно, что у таких ромбов площади зависят от углов при вершинах. Но уже древние греки умели правильно находить площадь многоугольников. Когда каменщики определяют площадь прямоугольной стены дома, они перемножают высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определения: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Когда каменщики определяют площадь прямоугольной стены дома, они перемножают высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определения: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражена в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной плитки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражена в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной плитки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки.

Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из пересекающихся фигур, равна сумме их площадей. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из пересекающихся фигур, равна сумме их площадей. Существуют и механические приборы для вычисления площадей плоских фигур – так называемые планиметры. Существуют и механические приборы для вычисления площадей плоских фигур – так называемые планиметры.

Что такое теорема ? Теорема – высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма углов произвольного треугольника равна 180 градусов. Теорема – высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма углов произвольного треугольника равна 180 градусов. Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник,… Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник,…

…измерить транспортиром величину его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180 градусов (во всяком случае, в пределах той точности измерения которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение … …измерить транспортиром величину его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180 градусов (во всяком случае, в пределах той точности измерения которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение …

… справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой. … справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.

Мера площади в эпоху укрепления Московского государства. В эпоху укрепления Московского государства установленные ранее геометрические меры стали частичными мерами площади, т.е. определяемые как квадрат, сторона которого равна единице длины: квадратная верста, квадратная (круглая) десятина и квадратная сажень. Взамен слова квадратный, не существующего в то время, употребляли прилагательные дробный,четвероугольный и др. В эпоху укрепления Московского государства установленные ранее геометрические меры стали частичными мерами площади, т.е. определяемые как квадрат, сторона которого равна единице длины: квадратная верста, квадратная (круглая) десятина и квадратная сажень. Взамен слова квадратный, не существующего в то время, употребляли прилагательные дробный,четвероугольный и др.

В городах результаты измерений небольших площадей выражали только в мерах длины (практически в саженях) без перевода их в квадратные меры: двор истопника Юрия вдоль – полчетверты сажен, попереч – 3 сажен. Подле Яузы от мосту к Москве – реке огород князя Романа Погларского, вдоль от ворот к Яузе – реке – 46 сажен, попереч от мосту 36 сажен. В городах результаты измерений небольших площадей выражали только в мерах длины (практически в саженях) без перевода их в квадратные меры: двор истопника Юрия вдоль – полчетверты сажен, попереч – 3 сажен. Подле Яузы от мосту к Москве – реке огород князя Романа Погларского, вдоль от ворот к Яузе – реке – 46 сажен, попереч от мосту 36 сажен. Книга сошного письма 7137 года (1629 г.), служившая руководством для русских писцов - землемеров, является основным источникомСведений о мерах земельных площадей в 17 веке. В Книге приведены значения обеих … Книга сошного письма 7137 года (1629 г.), служившая руководством для русских писцов - землемеров, является основным источникомСведений о мерах земельных площадей в 17 веке. В Книге приведены значения обеих …

… употребляемых разновидностей прямоугольной десятины, а также их долей: Десятина длина 80 сажен, попереч 40 сажен, дробных 3200 сажен. В десятине 80 сажен длинник, а поперечник 30 сажен, а дробных сажен в десятине 2400 сажен, а в полдесятине дробных сажен В пол – пол – полтрети десятине дробных сажен 100. … употребляемых разновидностей прямоугольной десятины, а также их долей: Десятина длина 80 сажен, попереч 40 сажен, дробных 3200 сажен. В десятине 80 сажен длинник, а поперечник 30 сажен, а дробных сажен в десятине 2400 сажен, а в полдесятине дробных сажен В пол – пол – полтрети десятине дробных сажен 100. Система мер земельных площадей, действующая в 15 – 17 веках была следующей: Система мер земельных площадей, действующая в 15 – 17 веках была следующей:

соха 500 – 1200 четвертей соха 500 – 1200 четвертей выть 12 – 16 четвертей десятина выть 12 – 16 четвертей десятина четверть 2 четверти 2 осьмины четверть 2 четверти 2 осьмины полчетверти 2 полосьмины полчетверти 2 полосьмины (осьмина) (осьмина) пол – полчетверти 2 четверика пол – полчетверти 2 четверика (полосьмина) (полосьмина) пол – пол – полчетверти 2 полчетверика пол – пол – полчетверти 2 полчетверика (четверик) полчетверик 2 пол -полчетверика (четверик) полчетверик 2 пол -полчетверика

пол – полчетверика 2 малых четверика пол – полчетверика 2 малых четверика пол – пол – полчетверика 2 полмалых пол – пол – полчетверика 2 полмалых (малый четверик) четверика (малый четверик) четверика полмалый четверик полмалый четверик Соха и выть - крупные меры земельных площадей, которые употребляли Соха и выть - крупные меры земельных площадей, которые употребляли землемеры при составлении сошного землемеры при составлении сошного письма для нужд финансовых и военно – письма для нужд финансовых и военно – учетных органов. учетных органов.

Конкретное значение сохи, выраженное числом четвертей для одного поля, приведены в таблице. Конкретное значение сохи, выраженное числом четвертей для одного поля, приведены в таблице. Качество Качество земли. земли. Для служилых земель. Для церковных земель. Длячерных земель. Добрая" земля.Добрая" земля Середняя земля.Середняя земля Худая земля.Худая земля

Треугольник. Предположим, что на какой-нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей ( геодезической ) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С называются вершинами, а кратчайшие линии АВ, ВС и АС сторонами треугольника. Предположим, что на какой-нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей ( геодезической ) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С называются вершинами, а кратчайшие линии АВ, ВС и АС сторонами треугольника.

Если данная поверхность есть плоскость, то получается прямолинейный треугольник, стороны его – прямые линии. Треугольник на поверхности шара называется сферическим, стороны его – дуги больших кругов, получаемые при пересечении поверхности шара плоскостями, проходящими через центр шара и через вершины треугольника. Изучение свойств треугольника относится к геометрии. Та часть этой науки, которая специально рассматривает соотношение между сторонами и углами треугольника, называется тригонометрией. Если данная поверхность есть плоскость, то получается прямолинейный треугольник, стороны его – прямые линии. Треугольник на поверхности шара называется сферическим, стороны его – дуги больших кругов, получаемые при пересечении поверхности шара плоскостями, проходящими через центр шара и через вершины треугольника. Изучение свойств треугольника относится к геометрии. Та часть этой науки, которая специально рассматривает соотношение между сторонами и углами треугольника, называется тригонометрией.

Свойство прямолинейных треугольников: Свойство прямолинейных треугольников: Если в треугольнике 2 стороны равны, то против большей стороны лежит и больший угол. Если в треугольнике 2 стороны равны, то против большей стороны лежит и больший угол. По свойству сторон, различаются треугольники : разносторонние, равнобедренные и равносторонние. В разностороннем треугольнике все стороны различны между собой; в равнобедренном – 2 стороны равны, а третья отличается от них; … По свойству сторон, различаются треугольники : разносторонние, равнобедренные и равносторонние. В разностороннем треугольнике все стороны различны между собой; в равнобедренном – 2 стороны равны, а третья отличается от них; …

… в равностороннем – все стороны равны между собой. Всякую сторону треугольника можно принять за основание, перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противолежащей вершины, называется высотой треугольника. Если основание треугольника содержит b метров, а высота h метров, то площадь треугольника содержит 1/2 bh кв. метров. … в равностороннем – все стороны равны между собой. Всякую сторону треугольника можно принять за основание, перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противолежащей вершины, называется высотой треугольника. Если основание треугольника содержит b метров, а высота h метров, то площадь треугольника содержит 1/2 bh кв. метров.

Если равнобедренном треугольнике принять за основание сторону, отличающуюся от двух равных сторон, то высота делит основание и угол при вершине пополам. По свойству углов, различаются треугольники прямоугольные, остроугольные и тупоугольные. В прямоугольном треугольнике 1 из углов прямой, а 2 других угла острые; стороны прямого угла называются катетами, сторона же треугольника, … Если равнобедренном треугольнике принять за основание сторону, отличающуюся от двух равных сторон, то высота делит основание и угол при вершине пополам. По свойству углов, различаются треугольники прямоугольные, остроугольные и тупоугольные. В прямоугольном треугольнике 1 из углов прямой, а 2 других угла острые; стороны прямого угла называются катетами, сторона же треугольника, …

… противолежащая вершине прямого угла – гипотенузой. В остроугольном треугольнике все углы острые. В тупоугольном треугольнике 1 угол тупой и 2 другие угла острые. Если 2 угла треугольника равны, то противолежащие им стороны тоже равны. Если 2 угла треугольника неравны, то против большего угла лежит и большая сторона. … противолежащая вершине прямого угла – гипотенузой. В остроугольном треугольнике все углы острые. В тупоугольном треугольнике 1 угол тупой и 2 другие угла острые. Если 2 угла треугольника равны, то противолежащие им стороны тоже равны. Если 2 угла треугольника неравны, то против большего угла лежит и большая сторона. Треугольник вполне определен, если даны: Треугольник вполне определен, если даны:

1.Три стороны; 2. Сторона и два прилежащих угла; 3.Две стороны и угол, лежащий между ними; 4.Две стороны и угол, лежащий против большей стороны; Тригонометрия учит, как во всех этих случаях по данным частям треугольника вычислить остальные его части. Тригонометрия учит, как во всех этих случаях по данным частям треугольника вычислить остальные его части.

Квадрат. Квадрат – четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы прямые. Квадрат служит мерою площадей плоских фигур и криволинейных поверхностей, поэтому найти какую- нибудь площадь, значит вычислить, сколько раз заключается в ней площадь квадрата, принимаемого за единицу. Квадрат – четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы прямые. Квадрат служит мерою площадей плоских фигур и криволинейных поверхностей, поэтому найти какую- нибудь площадь, значит вычислить, сколько раз заключается в ней площадь квадрата, принимаемого за единицу.

Квадратом или квадратным числом называется произведение двух равных множителей, например Квадратом или квадратным числом называется произведение двух равных множителей, например 9=3*3, a(кв.)=a*a, a(кв.)+2ab+b(кв.)=(a + b) (a + b) и т.п. 9=3*3, a(кв.)=a*a, a(кв.)+2ab+b(кв.)=(a + b) (a + b) и т.п. Квадратным корнем из какого-нибудь числа называется величина, которая, будучи умножена сама на себя дала бы данное: так 3 есть квадратный корень из 9. Квадратным корнем из какого-нибудь числа называется величина, которая, будучи умножена сама на себя дала бы данное: так 3 есть квадратный корень из 9.

Трапеция. Трапеция ( от греческого слова trapezion, букв – столик ), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны ( на рисунке AD и BC ),а другие две параллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции ( на рисунке MN ). Трапеция ( от греческого слова trapezion, букв – столик ), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны ( на рисунке AD и BC ),а другие две параллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции ( на рисунке MN ).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. BM C D N A

Пифагор Самосский. Самосский ( 6 век до нашей эры ), древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, математик. Родился на острове Самос, в юности ездил в Милет, где слушал Анаксимандра, совершил путешествие на Восток, в том числе в Египте и Вавилоне, познакомившись с древневосточной математикой и астрономией. Самосский ( 6 век до нашей эры ), древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, математик. Родился на острове Самос, в юности ездил в Милет, где слушал Анаксимандра, совершил путешествие на Восток, в том числе в Египте и Вавилоне, познакомившись с древневосточной математикой и астрономией.

Около 532 переселился в Кротон ( Южная Италия ),где основал религиозно-философское братство, взявшее власть в Кротоне. Положил начало пифагореизму – одному из наиболее влиятельных течений в античной философии. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Около 532 переселился в Кротон ( Южная Италия ),где основал религиозно-философское братство, взявшее власть в Кротоне. Положил начало пифагореизму – одному из наиболее влиятельных течений в античной философии. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др.

О себе. Презентацию делала: Часовских Дарья. Презентацию делала: Часовских Дарья. Мне 13 лет, учусь в 8 «г» классе, школы 11, города Искитима. Люблю дополнительные задания по математике: кроссворды, стихи, сказки и составление задач. Еще люблю открытые уроки по математике. Ведь они веселые и в тоже время поучительные. Мне 13 лет, учусь в 8 «г» классе, школы 11, города Искитима. Люблю дополнительные задания по математике: кроссворды, стихи, сказки и составление задач. Еще люблю открытые уроки по математике. Ведь они веселые и в тоже время поучительные.

Делаю вторую презентацию. Мне нравиться работать за компьютером над презентациями. Ведь это так развивает мышление и рука не устает писать рефераты где такая же информация. Презентация – это словно маленькая книжечка, которая рассказывает все в краткости и служит помощником на зачетах и даже во взрослой жизни. Делаю вторую презентацию. Мне нравиться работать за компьютером над презентациями. Ведь это так развивает мышление и рука не устает писать рефераты где такая же информация. Презентация – это словно маленькая книжечка, которая рассказывает все в краткости и служит помощником на зачетах и даже во взрослой жизни.

Цели проекта. 1. Убедить всех, что любой материал может быть интересным и увлекательным. 2. Что все учить не обязательно, достаточно только понять. 3. Узнать все, что связанно с темой «Площадь».

Дополнительная литература. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С.И. Шварубунд - «Математика.» Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С.И. Шварубунд - «Математика.»