3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г. Лекция 3. Предел функции 3-1 Предел последовательности 3-2 Предел функции 3-3 Бесконечно малые и бесконечно большие 3-4 Теоремы о пределах 3-5 Замечательные пределы

2 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Эпиграф Работайте, работайте, - полное понимание придет потOм. Даламбер

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Предел последовательности Понятие последовательности Определение предела последовательности Геометрический смысл

4 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Последовательность Числовой последовательностью { a n } называется числовая функция: a n = f (n), заданная на множестве натуральных чисел n N. Члены последовательности: a 1 a 2 a 3 a 4 … a n …

5 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Предел числовой последовательности Предел последовательности это число A, к которому члены последовательности стремятся при неограниченном возрастании номера n: Это нестрогое определение. Что такое «стремятся»?

6 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Предел числовой последовательности Число А есть предел числовой последовательности { a n }, если для любого, даже сколь угодно малого числа > 0 найдется такой номер n 0 (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами n > n 0 будет выполнено неравенство: | a n – А |< (строгое определение). Обозначение:

7 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Определение предела в кванторах Число А есть предел числовой последовательности { a n }, если для любого, даже сколь угодно малого числа > 0 найдется такой номер n 0 (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами n > n 0 будет выполнено неравенство: | a n – А |< (строгое определение). (определение, записанное при помощи кванторов)

8 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Геометрический смысл Определение предела означает, что начиная с некоторого номера n 0 все члены последовательности будут находиться в полосе шириной 2. Все члены последовательности, начиная с некоторого, окажутся в «коридоре»:

9 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Пример Предел последовательности равен 1. Докажем это при помощи определения предела. Общий член такой последовательности записывается в следующем виде:

10 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Решение примера По виду последовательности можно сказать, что с ростом номера n число a n все ближе к единице, а разность | a n – 1| приближается к нулю. Нам следует доказать это строго. Для любого > 0 выберем n 0 = 1/. Если номер n > n 0, тогда n > 1/ и это означает, что 1/n n 0, то выполняется неравенство | a n – 1|

11 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Кому нужен такой «формализм»? Строгость, применяемая при изучении пределов, не является излишней. Формализм спасает в трудных случаях. Найдите, например, предел последовательности: Варианты ответа: 1) Предел равен 1 2) Предел равен -1 3) Последовательность имеет два предела: +1 и -1 4) Последовательность не имеет предела 5) Предел равен «среднему значению», т.е. нулю

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Предел функции Предел функции в бесконечности Предел функции в точке Геометрический смысл

13 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Предел функции в бесконечности Число А называется пределом функции y = f (x) при x стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного > 0, найдется такое число M (зависящее от ), что для всех x таких, что | x|> M, выполнено неравенство: | f (x) – A|

14 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Предел функции в точке Число А называется пределом функции y = f (x) при x a, если функция определена в некоторой окрестности точки a, (кроме, может быть, самой точки a ) и для любого, даже сколь угодно малого положительного > 0, найдется такое число > 0 (зависящее от ), что для всех x из -окрестности точки a, выполнено неравенство: | f (x) – A|

15 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Коши Огюстен Луи Коши Огюстен Луи (1789–1857), французский математик. Работал в Шербуре инженером, преподавал в Политехнической школе, Сорбонне и Коллеж де Франс. Работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, механике, математической физике. Коши впервые дал четкое определение пределу, непрерывности функции, сходимости ряда и т.д.

16 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Геометрический смысл Число А есть предел функции y = f ( x ) в точке a. Из того, что x окажется в -окрестности точки a, будет следовать, что значение функции окажется в -окрестности точки A. x a– A+ 0 y a+ a y=f ( x ) A– A

17 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Замечания 1. Для существования предела при x a значение функции в самой точке a неважно. Функция может даже не принимать никакого значения, а ее предел в этой точке существует. 2. Можно определить также односторонние пределы: предел справа и предел слева. Такая функция имеет предел в точке x=0 0

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Бесконечно малые и бесконечно большие величины Определение и свойства Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими

19 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Бесконечно малая величина Функция ( x ) называется бесконечно малой величиной при x a (или при x ), если ее предел равен нулю:

20 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Пример Функция является бесконечно малой при x 3. В других точках эта функция бесконечно малой не является!

21 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Связь б.м. с пределом функции Теорема. Если функция f (x) при x a имеет предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы предела A и бесконечно малой (x) при x a :

22 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Доказательство Сопоставим два определения: Отсюда:

23 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Свойства бесконечно малых Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая величина. Теорема 2. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую функцию) есть бесконечно малая.

24 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Доказательство теоремы 1 Для двух б.м. (x) и (x) запишем по определению: Выберем минимальное из чисел = min ( 1 ; 2 ) и сложим неравенства:

25 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Бесконечно большие величины Функция f ( x ) называется бесконечно большой величиной при x a (или при x ), если для любого, даже сколь угодно большого числа M > 0 найдется (зависящее от M), что для всех x таких, что 0 M.

26 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Связь между б.м. и б.б. Теорема 1. Если ( x) – бесконечно малая, то 1/ ( x) бесконечно большая. Теорема 2. Если ( x) – бесконечно большая, то 1/ ( x) бесконечно малая. Доказательство можно найти в учебниках.

27 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Таблица эквивалентности Если предел отношения двух бесконечно малых равен единице: то их называют эквивалентными при x a (или при x ): Например, В приложении приведена таблица эквивалентности некоторых бесконечно малых величин.

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Основные теоремы о пределах Единственность предела Предел суммы, произведения, частного Признаки существования предела

29 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Единственность предела Теорема. Функция не может иметь больше одного предела. Доказательство. Пусть одновременно: Нам известно, что Поэтому Это означает, что

30 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Предел суммы Теорема. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: Доказательство. Нам известно, что Это означает: Сумма: пределб.м.

31 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Пределы произведения и частного Теорема. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: Теорема. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:

32 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Монотонность и ограниченность Теорема (признак существования предела). Если последовательность { a n } монотонна и ограничена, то она имеет предел. Последовательность ограничена и возрастает. Следовательно, имеет предел.

33 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Теорема о «двух милиционерах» Теорема (признак существования предела). Если одна последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.

34 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Доказательство Доказательство можно посмотреть в учебнике.

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Замечательные пределы Первый замечательный предел Второй замечательный предел

36 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Первый замечательный предел Это означает, что синус малого угла есть бесконечно малая того же порядка, что и сам угол.

37 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Доказательство Сравниваем три площади: О А В С x Обе функции стремятся к единице при x 0. Значит, и средняя тоже.

38 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Второй замечательный предел Числом e (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности: Это пример последовательности, которая монотонная и ограничена.

39 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Число е Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в математическом анализе. Примерно равно 2,718.. Логарифмы по основанию е называются натуральными: ln x. График функции y = e x получил название экспоненты.

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г. Решение задач Примеры на следующей лекции Практикум

41 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Вычисление пределов Непосредственное вычисление предела Раскрытие неопределенностей вида 0/0 Раскрытие неопределенностей вида / Раскрытие неопределенностей вида – и 0 Раскрытие неопределенностей вида 1, 0 и 0 0

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г. Приложение Таблица эквивалентностей для б.м.

43 Иванов О.В., Кудряшова Л.В Таблица эквивалентности Пусть (x) бесконечно малая функция при x 0. Тогда