Тема 2. Представление экономических систем в форме задач линейного программирования 1. Целенаправленность экономических систем основание для выбора формализма. Целенаправленность экономических систем основание для выбора формализма. Целенаправленность экономических систем основание для выбора формализма. 2. Представление технологических возможностей. Представление технологических возможностей. Представление технологических возможностей. 3. Проблема выбора целевой функции и теорема взаимности. Проблема выбора целевой функции и теорема взаимности. Проблема выбора целевой функции и теорема взаимности. 4. Программное обеспечение ЛП-формализма. Программное обеспечение ЛП-формализма. Программное обеспечение ЛП-формализма. 5. Отражение риска и неопределённости в ЭММ. Отражение риска и неопределённости в ЭММ. Отражение риска и неопределённости в ЭММ. © Н.М. Светлов, 2005Н.М. Светлов

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 2 1. Выбор формализма Целенаправленность – существенное свойство экономических систем Целенаправленность – существенное свойство экономических систем Модель экономической системы, как правило, должна отражать действительную или желаемую цель её функционирования (второй вариант имеет смысл в том случае, если имеется возможность подчинить деятельность системы желаемой цели) Модель экономической системы, как правило, должна отражать действительную или желаемую цель её функционирования (второй вариант имеет смысл в том случае, если имеется возможность подчинить деятельность системы желаемой цели) Используемый формализм должен обеспечивать представление и использование знания о цели (целях) функционирования моделируемой системы математическое (или векторное) программирование Используемый формализм должен обеспечивать представление и использование знания о цели (целях) функционирования моделируемой системы математическое (или векторное) программирование

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 3 1. Выбор формализма Математическое программирование: Технологи- ческие условия Цель произ- вод- ства Необратимость производственных процессов

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 4 1. Выбор формализма Линейное программирование: Технологи- ческие условия Цель произ- вод- ства Необратимость производственных процессов Достоверность формы связи Простота и надёжность численных методов решения

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 5 2. Представление технологических возможностей Объект моделирования – молокоперерабатывающее предприятие, о котором известно следующее: Выпускаются молоко, кефир и сметана Выпускаются молоко, кефир и сметана Расход молока на их производство – соответственно 1,01, 1,01 и 9,45 ц/ц Расход молока на их производство – соответственно 1,01, 1,01 и 9,45 ц/ц Фасовочные машины могут эксплуатироваться: Фасовочные машины могут эксплуатироваться: Автомат для молока и кефира – до 21 ч/сут. при производительности 5 ц/ч (молоко), 6 ц/час (кефир); Автомат для молока и кефира – до 21 ч/сут. при производительности 5 ц/ч (молоко), 6 ц/час (кефир); Автомат для сметаны – до 16 ч/сут. при производительности 0,3 ц/час. Автомат для сметаны – до 16 ч/сут. при производительности 0,3 ц/час. Технология не допускает выпуска менее чем 90 ц молока и 10 ц кефира и переработку более чем 140 ц молочного сырья в смену Технология не допускает выпуска менее чем 90 ц молока и 10 ц кефира и переработку более чем 140 ц молочного сырья в смену

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 6 2. Представление технологических возможностей Состояние моделируемой системы – предприятия по переработке молока – определяется объёмами производства трёх видов продукции. Положим: x 1 – выпуск молока (ц/сут.); x 1 – выпуск молока (ц/сут.); x 2 – выпуск кефира (ц/сут.); x 2 – выпуск кефира (ц/сут.); x 3 – выпуск сметаны (ц/сут.). x 3 – выпуск сметаны (ц/сут.).

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 7 2. Представление технологических возможностей Граница технологических возможностей по переработке молока: Расход молока на производство молока, кефира и сметаны – соответственно 1,01, 1,01 и 9,45 ц/ц Расход молока на производство молока, кефира и сметаны – соответственно 1,01, 1,01 и 9,45 ц/ц Технология не допускает переработку более чем 140 ц молочного сырья в смену. Технология не допускает переработку более чем 140 ц молочного сырья в смену. 1,01·x 1 + 1,01·x 2 + 9,45·x (ц/сут.) Проверка единиц изменения: 1,01 [ц(сырья)/сут.]/[ц(кефира)/сут.] x 2 [ц(кефира)/сут.] = = 1,01x 2 [ц(сырья)/сут.]

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 8 2. Представление технологических возможностей Границы технологических возможностей по фасовке Фасовочные машины могут эксплуатироваться: Фасовочные машины могут эксплуатироваться: Автомат для молока и кефира – до 21 ч/сут. при производительности 5 ц/ч (молоко), 6 ц/час (кефир); Автомат для молока и кефира – до 21 ч/сут. при производительности 5 ц/ч (молоко), 6 ц/час (кефир); (1/5)·x 1 + (1/6)·x 2 21 (ч/сут.) Автомат для сметаны – до 16 ч/сут. при производительности 0,3 ц/час. Автомат для сметаны – до 16 ч/сут. при производительности 0,3 ц/час. (1/0,3)·x 3 16 (ч/сут.) Проверка единиц изменения: x 3 [ц(сметаны)/сут.] / / 0,3 [ц(сметаны)/ч] = = (1/0,3)x 3 [ч/сут.]

Представление экономических систем в форме ЛП-задач 9 2. Представление технологических возможностей Границы технологических возможностей по минимальным объёмам производства Технология не допускает выпуска менее чем 90 ц молока в сутки Технология не допускает выпуска менее чем 90 ц молока в сутки x 1 90 (ц/сут.) Технология не допускает выпуска менее чем 10 ц кефира в сутки Технология не допускает выпуска менее чем 10 ц кефира в сутки x 2 10 (ц/сут.) Границы технологических возможностей по необратимости производственного процесса x 0 (ц/сут.), где x = (x 1, x 2, x 3 ).

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Проблема выбора целевой функции Смысл модели зависит от выбора целевой функции

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Иерархия целей Общество в целом: максимально полное удовлетворение растущих материальных и духовных потребностей людей Общество в целом: максимально полное удовлетворение растущих материальных и духовных потребностей людей Экономика: минимум полных общественных издержек производства продукции Экономика: минимум полных общественных издержек производства продукции АПК: минимум полных общественных издержек производства продовольствия АПК: минимум полных общественных издержек производства продовольствия АПК: максимально полное удовлетворение потребностей в продовольствии АПК: максимально полное удовлетворение потребностей в продовольствии Предприятие: максимум прибылиПредприятие: максимум прибыли Предприятие: минимум рискаПредприятие: минимум риска –Работник: максимум заработной платы –Работник: максимум продукции подсобного хозяйства

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Общая теорема взаимности в математическом программировании В любой задаче математического программирования взаимная замена целевой функции и эффективного (выполняющегося в оптимальном решении как строгое равенство) ограничения не приводит к изменению оптимального решения (целевая функция должна быть ограничена её оптимальным значением). Следствие: модели, решаемые на максимум целевого показателя и на минимум любого дефицитного ресурса, необходимого для достижения цели, имеют одинаковый смысл (если оптимальное значение целевого показателя известно). Автор теоремы: А.Л. Лурье

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Целевая функция: математическое представление Максимум выручки от реализации продукции. Оптовая цена пастеризованного молока – 800 руб./ц Оптовая цена кефира – 950 руб./ц Оптовая цена сметаны – 4200 руб./ц max 800·x ·x ·x 3 (руб./сут.)

ЛП-модель молокоперерабатывающего предприятия max 800·x ·x ·x 3 (руб./сут.) 1,01·x 1 + 1,01·x 2 + 9,45·x (ц/сут.) (1/5)·x 1 + (1/6)·x 2 21 (ч /сут. ) (1/0,3)·x 3 16 (ч /сут. ) x 1 90 ( ц/сут. ) x 2 10 ( ц/сут. ) x 3 0 ( ц/сут. )

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Программное обеспечение XA для Excel – линейное и целочисленное программирование XA для Excel – линейное и целочисленное программирование Поиск решения в Excel – выпуклое программирование и частные случаи других задач Поиск решения в Excel – выпуклое программирование и частные случаи других задач MathCad – численное решение систем уравнений (в том числе дифференциальных) и некоторых видов оптимизационных задач MathCad – численное решение систем уравнений (в том числе дифференциальных) и некоторых видов оптимизационных задач и т.д. и т.д.

4. Программное обеспечение: XA для Excel Запуск решения – [Ctrl]+[x]

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Риск и неопределённость Разработка моделей для разных сценариев функционирования объекта Разработка моделей для разных сценариев функционирования объекта Разработка моделей для разных сценариев функционирования объекта Разработка моделей для разных сценариев функционирования объекта Параметрическое программирование: исследование зависимости оптимального решения от ограниченного количества наиболее важных параметров модели Параметрическое программирование: исследование зависимости оптимального решения от ограниченного количества наиболее важных параметров модели Параметрическое программирование Параметрическое программирование Метод Монте-Карло: случайное изменение параметров модели по заданному закону распределения и статистическая обработка результатов решения Метод Монте-Карло: случайное изменение параметров модели по заданному закону распределения и статистическая обработка результатов решения Метод Монте-Карло Метод Монте-Карло Ограничения пессимистического сценария Ограничения пессимистического сценария Ограничения пессимистического сценария Ограничения пессимистического сценария Моделирование двухэтапного процесса принятия решений Моделирование двухэтапного процесса принятия решений Ограничения или целевая функция по показателям вариации экономического эффекта Ограничения или целевая функция по показателям вариации экономического эффекта Введение нелинейной целевой функции, учитывающей склонность к риску Введение нелинейной целевой функции, учитывающей склонность к риску

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Риск и неопределённость: сценарии x1x2x3 minmax y y y max min cost x1x2x3 minmax y y y max min cost x1x2x3 minmax y y y max min cost x1x2x3 minmax y y y max min cost

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Риск и неопределённость: параметрическое программирование x1x2x3 minmax y y y max min cost 800 ??? 4200

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Риск и неопределённость: метод Монте-Карло x1x2x3 minmax y1 ??? 140 y2 ??? 21 y3 ??? 16 max min cost

Представление экономических систем в форме ЛП-задач Риск и неопределённость: ограничения пессимистического сценария x1x2x3 minmax y y y max min cost Существует риск снижения цены кефира до 500 руб./ц и сметаны – до 4000 руб./ц. Для нормального воспроизводства выручка не должна быть меньше руб. 800·x ·x ·x

Литература Основная Основная Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве / Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В. и др. М.: Агропромиздат, главы 3.3, 6, Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве / Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В. и др. М.: Агропромиздат, главы 3.3, 6, Светлова Г.Н., Светлов Н.М. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA. М.: МСХА, Светлова Г.Н., Светлов Н.М. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA. М.: МСХА, Презентация: Презентация: Дополнительная Дополнительная Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб. пособие. М.: Инфра-М, Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб. пособие. М.: Инфра-М, 1999.