Урок по геометрии для 8-го класса.

Векторы. Определение. Отрезок, для которого указанo, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется направленным отрезком или вектором. A B ВЕКТОР AB КОНЕЦ ВЕКТОРА НАЧАЛО ВЕКТОРА

Равенство векторов. Нулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. а b B A C D E F M

Откладывания вектора от данной точки. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Сложение и вычитание векторов. Пусть а и в – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный в. Вектор АС называется суммой векторов а и в. A C B a b a b

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Теорема. Для любых векторов а, в и с справедливы равенства: 1.а+в=в+а (переместительный закон). 2.(а+в)+с=а+(в+с) ( сочетательный закон).

Доказательство. 1.Рассмотрим случай, когда векторы а и в не коллинеарны. От произвольной точки А отложим векторы АВ=а и АД=в и этих векторах построим параллелограмм АВСД. По правилу треугольника АС=АВ+ВС=а+в. Аналогично АС=АД+ВС=в+а. Отсюда следует, что а+в=в+а. a b C a b a+b A B D

2. От произвольной точки А отложим вектор АВ=а, от точки В – вектор ВС=в, а от точки С – вектор СД=с. Применяя правило треугольника, получим: (а+в)+с=(АВ+ВС)+СД= =АС+СД=АД, а+(в+с)=АВ+(ВС+СД)= =АВ+ВД=АД. Отсюда следует, что (а+в)+с=а+(в+с).

Сложение нескольких векторов. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор раскладывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д.Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Вычитание векторов. Разностью векторов а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и в справедливо равенство а-в=а+(-в).

Доказательство. По определению разности векторов (а-в)+в=а. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-в), получим: (а-в)+в+(-в)=а+(-в), или (а-в)+0=а+(-в), откуда а-в=а+(-в).

Произведение вектора на число. Произведением нулевого вектора а на число к называется такой вектор в, длина которого |k|*|a|,причем векторы а и в сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k

Из определения вектора на число непосредственно следует, что: 1.произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор; 2.для любого числа к и любого вектора а векторы а и ка коллинеарны. a 3a - 1,5a 2 0,5 a

Для любых чисел к и l и любых векторов а, в справедливы равенства: 1.(кl)а=к(lа) (сочетательный закон). 2.(к+l)а=ка+lа (первый распределительный закон). 0 AB a OB = 2OA = 2(3a) OB = 6a = (2*3)a 0 A B a ka la OA = ka; AB = la OB = (k+l)a = ka+la

3. к(а+в)=ка+кв (второй распределительный закон).

Метод координат. Лемма. Если векторы а и в коллинеарны и а=0, то существует такое число к, что в=к*а. Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Координаты вектора. Правила. 1.Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. 2.Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. X0 A i j - 2j 3iB C b y

Выполнила уч-ца.10 «В» класса Иванова И.В.