Неотрицательное решение задачи Коши

Нередко постановка задачи требует чтобы фазовые переменные принимали лишь неотрицательные значения. Так, в физических процессах неотрицательными остаются энергии частиц, в химических – концентрации и количества реагирующих веществ, в биологических – численность особей, в экономических – капиталы, цены. Фазовым пространством таких динамических систем является подмножество евклидова пространства Математическое моделирование процессов отбора2

Будем говорить, что задача Коши имеет неотрицательное решение, если все его компоненты неотрицательны для любых рассматриваемых значений параметра. Также будем называть начальные условия = неотрицательными, если все координаты вектора неотрицательны. Математическое моделирование процессов отбора3

Пусть задана система дифференциальных уравнений в нормальной форме: Теорема. Для того чтобы решение этой системы при любых неотрицательных начальных условиях было неотрицательным, необходимо и достаточно чтобы функции удовлетворяли условию квазиположительности: при любых неотрицательных переменных Математическое моделирование процессов отбора4

Доказательство. Необходимость: Берём начальные условия так, чтобы одна фазовая координата была равна нулю, а остальные были неотрицательными. Математическое моделирование процессов отбора5

В последующие моменты времени: Следовательно, доказывает условие квазиположительности. Математическое моделирование процессов отбора6

Достаточность: Рассмотрим вспомогательную систему, зависящую от : Правые части этой системы удовлетворяют условию квазиположительности, т.е. эта система имеет неотрицательное решение с компонентами. Математическое моделирование процессов отбора7

В силу непрерывной зависимости решения от параметра предел решения системы при является решением системы: Поскольку знак неравенств в пределе сохраняется, то, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора8

Следствие 1. Пусть в системе для некоторого индекса i выполнено условие при всех. Тогда при любых начальных условиях с неотрицательной i – й координатой решение системы будет иметь соответствующую неотрицательную компоненту. Математическое моделирование процессов отбора9

Доказательство. Доказывается также как и теорема, только требуется неотрицательность лишь -й компоненты. Математическое моделирование процессов отбора10

Следствие 2. Пусть для правой части i-го уравнения системы условие квазиположительности выполняется в виде равенства при любых неотрицательных переменных. Если при этом в начальный момент времени задано условие, то для всех справедливо равенство. Математическое моделирование процессов отбора11

Доказательство. Сделав замену приходим к системе Так как то -я компонента решения этой системы неотрицательна,,, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора12

Следствие 3. Пусть для системы выполнено условие. Если при этом i координата начальных условий удовлетворяет строгому неравенству, то для всех справедливо неравенство. Математическое моделирование процессов отбора13

Доказательство. Предположим, что в некоторый момент времени - я компонента обращается в ноль: Тогда, задача Коши будет содержать равную нулю компоненту. Математическое моделирование процессов отбора14

Через точку фазового пространства будут проходить две различные кривые. Получили противоречие. Следовательно предположение что обратится в ноль неверно, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора15

Следствие 4 Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: С начальными условиями: Математическое моделирование процессов отбора16

Если в системе функции квазиположительные по переменным, а начальные условия неотрицательны по, то решение задачи Коши будет неотрицательным по переменным. Математическое моделирование процессов отбора17

Следствие 5. Если в системе функции удовлетворяют условию квазиположительности в виде равенства при неотрицательных компонентах z и произвольных компонентах y, начальные условия не тривиальны и неотрицательны по z, то решение задачи Коши будет нетривиальным и неотрицательным по переменным z. Математическое моделирование процессов отбора18

Нулевым компонентам в начальных условиях будут соответствовать нулевые компоненты в решении. Математическое моделирование процессов отбора19