Системы нестрого отбора. Систему на стандартном симплексе S будем называть системой нестрогого отбора, если найдутся номера i и j такие, что при любых. - презентация

1 Системы нестрого отбора

2 Систему на стандартном симплексе S будем называть системой нестрогого отбора, если найдутся номера i и j такие, что при любых начальных условиях, принадлежащих симплексу, для которых x j (t 0 )0, i-тая компонента решения стремится к нулю при t, стремящемся к бесконечности. Систему вида при выполнении условия будем везде далее называть системой с наследованием. Начальные условия: Пусть задана непрерывная функция ξ(t) для t 0t

3 Следствие 1. Если в системе функции Φ i удовлетворяют условию квазиположительности в виде равенства при неотрицательных компонентах z и произвольных компонентах y, начальные условия нетривиальны и неотрицательны по z, то решение задачи Коши будет нетривиальным и неотрицательным по переменным z. Нулевым компонентам в начальных условиях будут соответствовать нулевые компоненты z i (t)0 в решении. начальные условия 3 Математическое моделирование процессов отбора

4 Теорема 1. Пусть система на стандартном симплексе задана через функции перехода Φ i (t,x). Тогда отношения компонент её решения удовлетворяют уравнениям Если x i (t), x j (t) ни в один момент времени не обращаются в ноль. 4 Математическое моделирование процессов отбора

5 Теорема 2. Для того, чтобы система с наследованием, являлась системой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись номера i и j такие, что вдоль любой фазовой траектории системы, соответствующей начальным условиям, удовлетворяющим неравенствам 0<

6 Из Следствия 1 вытекает, что x i (t), x j (t) в ноль не обращаются для всех tt 0.Следствия 1 Согласно Теореме 1 при tt 0Теореме 1 Если выполнено равенство то перейдя к пределу: Так как величина x j (t) ограничена, то Что и требовалось доказать. 6 Математическое моделирование процессов отбора

7 Теорема 3. Для того, чтобы система с наследованием, являлась системой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись индексы i и j, для которых вдоль фазовых траекторий системы, отвечающих начальным условиям с ненулевыми координатами было справедливо неравенствосистема с наследованиемсистемой нестрогого отбора 7 Математическое моделирование процессов отбора

8 Доказательство. Обозначим q>0, тогда что по предыдущей теореме дает достаточное условие нестрогого отбора. 8 Математическое моделирование процессов отбора

9 Теорема 4. Для того, чтобы система с наследование, являлась системой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись индексы i и j такие, что вдоль любой траектории системы, соответствующей начальным условиям, для которых пределсистема с наследованиесистемой нестрогого отбора существует и является строго большим нуля либо равным +. 9 Математическое моделирование процессов отбора

10 Доказательство. если q>0, то начиная с некоторого момента времени t* при T>t* что по теореме 2 влечет условия нестрогого отбора.теореме 2 если q=+ неравенство выполняется для любого положительного числа, что приводит к выполнению условия нестрогого отбора. 10 Математическое моделирование процессов отбора

11 Следствие 2. Для того, чтобы система с наследование, являлась сиcтемой нестрогого отбора, достаточно, чтобы нашлись индексы i и j такие, что вдоль любой траектории системы, соответствующей начальным условиям, для которых было верно неравенство система с наследованиесиcтемой нестрогого отбора Справедливость следствия очевидна. Отметим, что существуют временные средние, равные соответствующим пределам 11 Математическое моделирование процессов отбора

12 Утверждение. Если некоторая непрерывная функция ξ(t) имеет предел, то её временное среднее совпадает с этим пределом. Применяя правило Лопиталя, имеем что и требовалось показать. 12 Математическое моделирование процессов отбора