В.Д. Кулаковский ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ Глава 1. Кинетические явления в полупроводниках 1.Электропроводность Электрическое поле E Е=0 : только тепловое движение средняя скорость =0 E>0: дрейф электронов со скоростью v d = В общем случае v d = E где - подвижность носителей тока Носители одного типа Ток равен j=en v d =en E = E где e - заряд частицы n – концентрация частиц – удельная электропроводность В анизотропных кристаллах - - тензор j = E x,y,z

1.2 Эффект Холла Магнитное поле B||0z B = 0: u= U ab = 0 Т.е. появляется Е y // Определение: Угол Холла = углу между E x и E. E y =u/d=RBj=RBi/ad где d- толщина образца, а – ширина образца в направлении 0z i - сила тока через образец R – постоянная Холла

R R Для носителей одного типа j||0x, B||0z => E z =0 j x = xx E x + xy E y j y = yx E x + yy E y =0 Учтем далее, что xx = yy xy = yx (вывод позднее) Получим tg = E y /E x = xy / xx E y =j x xy /( xx 2 + xy 2 ) R= xy /( xx 2 + xy 2 )B В общем случае R= R(B) Знак R зависит от знака носителей тока

1.3 Магнитосопротивление Поперечное поле B_|_j Магнитное поле B z изменяет не только j y, но и j x, так как - тензор j x =( xx + xy 2 / xx )E x x (B)= j x /E x =( xx 2 + xy 2 )/ xx Продольное поле B||j||0x в первом приближении не изменяет проводимость вдоль поля, но не всегда!!! ( тепловое движение или анизотропия) 2. Время релаксации В вакууме масса свободного электрона m 0 в полупроводниках масса электронов m е = m 0 m е - эффективная масса Рассмотрим систему из N 0 частиц в момент t=0 N(t) => число частиц не испытавших соударение за время t -dN=N dt/, (1) где 1/ - вероятность того, что 1 электрон испытывает соударение за единицу времени /

Интегрируя (1) находим N=N 0 exp(-t/ ) dN=N 0 exp(-t/ ) dt/ вероятность какому-то электрону иметь время пробега от t до t+dt f(t)dt= exp(-t/ ) dt/ Очевидно, что f(t)dt=1(2) Из (2) видно, что – есть среднее время свободного пробега электрона = = tf(t)dt В общем случае t зависит от энергии электрона и его импульса

3. Гальваномагнитные явления 3.1 Тензор электропроводности в магнитном поле Цель: вычислим при B||0z F x =E x +e/c Bdy/dt F y =E x -e/c Bdx/dt F z =E z d 2 x/dt 2 = (e/m е ) E x + c dy/dt d 2 y/dt 2 = (e/m е ) E y - c dx/dt d 2 z/dt 2 = (e/m е ) E z где c =eB/(cm е ) t=0 : x=y=z=0 dx/dt=dy/dt=dz/dt=0 z=e/2m E z t 2 x=a(1-cos c t) – b sin c t + b c t y=b(1-cos c t) + a sin c t a t y=b(1-cos c t) + a sin c t a c t a=1/ c 2 e/m е E x. b=1/ c 2 e/m е E y. имеют размерность длины (x-a) 2 +(y-b) 2 = a 2 +b 2 – вращение

xf(t)dt = / = Учитывая, что exp(-t/ ) sin ( c t)dt = c / c 2 ) exp(-t/ ) cos ( c t)dt = / c 2 ) Находим = A (e/m е ) E x + B c (e/m) E y = A (e/m е ) E y B c (e/m) E x = A (e/m е ) E z где A=, B= j i =en c = 0 ij = 0 при i = j A=> = e 2 n /m = e /m /

3.2 Постоянная Холла tg = xy / xx = c B/A= (1/c) H B, где H = (e/m) B/A - Холловская подвижность В слабых магнитных полях tg ~ c H =(e/m e ) / R= xy /B 2 = /(cen), где = H / / 2 В металлах =1 Холловская подвижность H cR 3.3 Магнетосопротивление = (e 2 n/m e )(A+ c (B 2 /A). Относительное изменение Изменение четное по магнитному полю, т.к. входит c 2 В слабых магнитных полях tg ~ c При постоянном относительное изменение В сильном поле c >> 1 в классическом пределе =0

4. Смешанная проводимость (носители разных типов: e и/или m разные) j x (i) = xx (i) (E x +E y tg ( i) ) j y (i) = yy (i) (E y E x tg (i) ) При j y =0 – (Холловские контакты разомкнуты) tg = E y /E x = Для двух типов носителей одного знака в слабом магнитном поле tg (i) 1 в классическом пределе R=1/ce (n 1 n 2 Для носителей разного знака - электронов (e) и дырок (h) знак ( e) и ( h) - разный R=(1/ce) (n h h h n e e e )/(n h h n e e В первом приближении можно положить, что h = h В этом случае R=(1/ce) (n h b 2 n e )/(n h n e где b= e / h

1.5. Некоторые экспериментальные данные по исследованию полупроводников 1. Электронная и дырочная проводимость всегда > 0; R > и < 0 R0 -//- p-типа Ge тип проводимости зависит от наличия примесей Ge:As N As возрастает от образца 1 к образцу 7 R1 При высоких T =>

InSb: Область температур, в которой наблюдается переход проводимости из примесной в собственную, существенно ниже, чем в Ge смена знака при n h =n e b 2 При высоких T => => Связь запрещенной зоны полупроводника с величиной А E g =E c - E v Высокая T => статистика Больцмана число мест в зоне проводимости = N c, число частиц = n i ; число вакансий в зоне E v = n i вероятность перехода электрона из E v в E c пропорциональна вероятность перехода из впропорциональна В равновесии =>

или (точный расчет). из эксперимента => Таким образом, E g = 2A Какое E g нужно использовать, если E g = E g (Т)? Название => термическая ширина запрещенной зоны. Она равна E g (Т=0) только, если E g (Т)+aT 3. Электропроводность примесная = en e e n-тип или = en h h p-тип собственная = en i ( e + e ) n e =n h =n i Подвижность ( T), а также зависит от > чистоты кристалла и совершенства решетки, в целом слабо зависит от Т по сравнению с n сильная зависимость от Т в полупроводниках связана с зависимостью n(T)

Основные выводы 1)Образование зарядов проводимости (свободных носителей) в полупроводниках в отличие от металлов требуют затраты энергии 2) Электропроводность может осуществляться как электронами, так и дырками 3) Два типа проводимости: Собственная - определяется свойствами собственно полупроводника Примесная - определяется примесями в кристалле 4 Примесная проводимость может быть Электронной ( доноры) Дырочной (акцепторы) 5 Подвижность сильно зависит от температуры и наличия примесей

Глава 2. Химические связи в полупроводниках 2.1 Введение Кристалл => 10 N ионов и M*10 N электронов, где N~ Нужна приближенная теория, основанная на учете основных свойств полупроводников Для начала – совсем качественно – кристаллохимический подход => энергия химической связи

2.3 Электронная конфигурация атома ( из атомной физики) Состояние электрона в атоме определяется 4 квантовыми числами Главное – n =1,2,3… - номер оболочки Орбитальное - l=0, 1,,,,(n-1) - величина момента количества движения Магнитное - m = -l ….0 …..l - направление вектора момента количества движения Спиновое - s= -1/2, +1/2 - спин электрона Принцип Паули - основа основ электронной части В одном квантовом состоянии, т.е. в состоянии с фиксированным набором n,l,m,s, не может находиться более одного электрона В частности l = s p d f число электронов Оболочка n = K L M N число электронов = Заполненная оболочка => инертные газы Незаполненная оболочка 1-3 электрона => металл 1-3 пустых места => металлоид IV группа 6 С: 2 (He)(2s) 2 (2p) 2 14 Si: 10 (Ne)(3s) 2 (3p) 2 s-p связь: (s) 2 (p) 2 => (s) 1 (p) 3

2.4 Типы химической связи Два возможных типа потенциала взаимодействия между атомами 1 отталкивание – образование кристалла невозможно 2 наличие минимума необходимо для образования кристалла Типы связей: Ионная (гетерополярная) => пример NaCl => Na + и Сl => U=a/R m -e 2 /R Ковалентная ( гомеополярная) => пример H 2 Вандер-Ваальсовская Металлическая Распределение электронной плотности в основном состоянии атома водорода В молекуле H 2 Отталкивание притяжение Классическая теория – возможно только отталкивание Квантовая механика => появляется обменная энергия Третьему атому H нет места ! Только отталкивание!!!!

Ковалентные связи – связи направленные IV группа => тетраэдр в пространстве sp -гибрид A 3 B 5 – уже частично ионная A 2 B 6 A 1 B 7 –ионная- изолятор Кристаллическая решетка Si, Ge Структура алмаза Двумерная схема Электронное облако симметрично относительно атомов в ячейке A 3 B 5 => GaAs, GaP … A 2 B 6 => CdTe, CdS …… Электронное облако смещено в сторону атомов III группы в ячейке ==== Аморфные полупроводники, например Se ====

2.4 Запрещенная зона Исходим из особенностей химической связи атомов группы IVб Кристалл без примесей и дефектов Все связи заполнены – изолятор Нужно разорвать связь => т.е. приложить энергию E g => появится один электрон и одна дырка В электрическом поле появится ток электронов и дырок Чем прочнее связь, тем больше E g Ряд Sn => Ge => Si => C Для III-V InSb => GaAs => BN 2.5 Примесные атомы Водородоподобные центры - Атомы III и V групп в полупроводниках IV группы Si, Ge … Однократно заряженный примесный центр + один носитедь тока – электрон или дырка

Энергетическая схема полупроводника с примесными центрами Если отличие заряда больше, чем на единицу, то структура уровней может быть более сложной Пример Cu в Ge Cu - 1 электрон, Cu электрон Cu 0 => Cu образование одной дырки требует энергии 40 мэВ Для отрыва электрона от Cu нужно E g - 40 мэВ=790-40=750 мэВ + 2-й электрон Cu => Cu => образование второй дырки требует энергии 330 мэВ + 3-й электрон Cu 0 => Cu => образование третьей дырки требует энергии 530 мэВ

Глава 3. Элементы зонной теории твердого тела 3.1. Основные предположения Уравнение Шредингера для >10 23 частиц Наиболее простая зонная теория 1.Атомные ядра считаются неподвижными (M>>m e ) 2.Расположение ядер строго периодично(решетка) 3.Взаимодействие электронов друг с другом заменяется эффективным внешним полем (т.е. задача сводится к одноэлектронной) Атомные остовы ядро + электроны внутренних оболочек 3.2. Волновая функция электрона в периодическом поле Свойство : 1. (учет приближения с учетом 2.) (3.1) U(r) не зависит от спина, т.е. каждой и соответствует 2 состояния со спином и - вероятность обнаружить частицу в объеме Свойство (3.2)

Замена в (3.1) Это уравнение тождественно (3.1). Если состояние не вырождено, то где в силу (3.2) т.е. вероятность обнаружить электрон у любого атома одинакова, где - произвольный действительный вектор.

(3.3) Функции Блоха где Волновая функция электрона в периодическом поле представляет собой модулированную плоскую волну. ; - квазиволновое число; - квазиимпульс Действительно в вакууме ; Вакуум (все точки равнозначны) В вакууме В кристалле это не так, не является собственной функцией оператора импульса

3.3 Зоны Бриллюэна Из (3.3) следует, что сдвиг координаты на квантовое число, как и импульс!! Пусть введем тождество Тогда и эквивалентны Кубическая ячейка: Обратная решетка Ее объем равен, если 0, если Здесь - Квазиимпульс определен с точностью до вектора обратной решетки!!!! - Выбор элементарной ячейки обратной решетки (как и прямой ) неоднозначен. Совокупность всех физически неэквивалентных значений квазиимпульса называется зоной Бриллюэна. Первая зона Вторая зона

Зона Бриллюэна – чисто геометрическое понятие, Ее форма зависит только от структуры решетки. Первая зона Бриллюэна для решетки типа алмаза Точки симметрии обладающие тем свойством, что они переходят сами в себя при некоторых преобразованиях симметрии представляют особый интерес центр первой зоны (Г), центры ее граней (точки L и X) и т.д. Какие значения p разрешены внутри зоны Бриллюэна Условия на поверхности надо задать Если L>>>a, то можно упростить Считая Условие Кармана-Борна - квазинепрерывность Отличие от вакуума устремим тогда т.е. вакуум – предельный случай!

3.4 Энергетические зоны (3.4) (3.5) (без учета спина) Уравнение (3.5) - задача на собственные значения, где - параметр, т.е. и Обычно полагают ортогональны т.е. Далее: заменим в (3.5) и знак у Уравнение (3.5) превращается в сопряженное, E – вещественное т.е. (3.6) (3.7) (3.8) Область разрешенных значений между и - номер зоны Характеристики зонного спектра – ширины разрешенных и запрещенных зон, положение максимумов и минимумов энергии в зоне Бриллюэна и т.д. зависят от потенциала в конкретном кристалле Возможное расположение зон

Физический смысл: образование зон из дискретных уровней атомов. Для простоты рассмотрим одномерный случай: Пусть волновая функция атома с номером в цепочке. - радиус-вектор электрона, - атомного остова, Она удовлетворяет уравнению:, (3.9) s- состояние, дважды вырожденное по спину. Для атома, где - эффективный радиус атома. Пусть (реально в кристалле не бывает ) Сближаем атомы и ищем в виде - коэффициенты, которые надо найти Подставляем => в уравнение Шредингера (3.4) т.е. в уравнение (3.10) или с учетом (3.9) (3.11) умножим на комплексно сопряженную волновую функцию электрона в изолированном атоме и проинтегрируем по координате электрона r Метод сильно связанных электронов

Введем обозначения (3.12) Очевидно, что ; Однако при растет; и убывают, как при - интеграл неортогональности или интеграл перекрытия, при - интеграл переноса (трансляционная инвариантность ) Положим, что (3.13) где N – нормировочный множитель Параметр - вещественный (иначе при ) Смысл Пусть - объем вокруг g- ого атомного остова т.е. вероятность найти электрон на любом узле одинакова (трансляционная симметрия ) Подставим из (3.13) в ( 3.11) с учетом (3.12) находим или (3.14) где Уравнение (3.14) уже не содержит аргумента, следовательно решение правильное.

В (3.14), значит, или (3.15) т.е. (1) => Е - периодическая функция (2) => ---- аналог волнового вектора так как где - периодическая функция (3) => Е четная функция В первом приближении т.е. можно вычислить Е, зная атомные волновые функции средняя энергия электрона, локализованного на одном атоме, в поле всех остальных атомов => определяет сдвиг энергии от Е а Уровень Е а размывается в зону (вследствие cos ) от до + Ширина разрешенной зоны определяется степенью перекрытия волновых функций соседних атомов Знак разности определяет положение минимума зоны: в центре или на краю зоны Бриллюэна

Вблизи минимума убывает вместе с увеличением ширины разрешенной зоны Вблизи потолка = где Потенциальная энергия - периодическая функция Туннелирование а не термоактивация туннелирование 0 Электрон можно с одинаковой вероятностью обнаружить у любого узла Метод сильной связи электроны сильно связаны со «своими» атомами, вероятность туннелирования мала. Конечный результат обычно приближенный, т.к., но дает качественно происхождение зон их вырождение и симметрии волновых функций.

3.6 Закон дисперсии или Посчитать трудно можно измерить Возможный вид Объем зоны Бриллюэна, где V 0 - объем элементарной ячейки Дозволенному значению объем V - объем кристалла Число состояний число ячеек (с учетом спина ) Z электронов в ячейке займут ZG/2 уровней (1) верхняя зона заполнена частично => металл (2) верхняя зона заполнена целиком, но смыкается с более высокой (3) верхняя зона заполнена целиком и имеет зазор с более высокой => полупроводник Воздействием на кристалл можно перевести из (3) в (2).

3.7 Эффективная масса Определить весь закон дисперсии трудно, но нужно только вблизи энергии Ферми, т.е. в полупроводниках вблизи дна или потолка (3.16) - симметричный тензор второго ранга К главным осям (3.17) только вблизи экстремума Изоэнергетическая поверхность – эллипсоид с полуосями, пропорциональными,, Соотношения между определяются симметрией кристалла. (1) кубическая симметрия, экстремум в центре зоны Бриллюэна, k=0 (2) кубическая симметрия, экстремум в k симметрия ниже, число минимумов больше. Ge - долины на осях Si – долины на осях (сечение плоскостью (110)) Эквивалентность долин можно нарушить внешним воздействием (магнитное поле и т.д.) Долины эквивалентны Число зависит на границе или внутри зоны

Если точка экстремума зоны является точкой вырождения, то уже разложение (3.17) неверно. Интерес в полупроводниках: 1) k=0 и 2) двухкратное вырождение Т.е должно быть: а) две ветви, смыкающиеся при k=0 б) при k=0 в) степень k 2 г) удовлетворять условиям симметрии кристалла В кубическом кристалле это:, (3.18) где A,B,C - скаляры, A и B - вещественные и C 2 >-3B 2. зависят от направления импульса две зоны легких и тяжелых дырок гофрированные сферы Зонная структура некоторых полупроводников

E g E g0 A B C Si 1,15 eV3,4 eV0,910,19-4,27-0,65,03 Ge 0,74 eV0,9 eV1, ,78 Полупроводники Непрямые прямые Si, Ge A III B V GaAs A III B 5 InSb GaP, AlSb InAs m0m0 EgEg GaAs eV InAs eV Непараболичность InSb eV Непараболичность Непараболичность зон проявляется при увеличении p Чем меньше E g, тем раньше непараболичность Модель Кейна; Здесь и параметры. Видно, что при E g 0 непараболичность начинается с Е=0

Глава 4 Кристаллы во внешних полях 4.1 Средняя скорость и ускорение по определению где (m 0 истинная масса электрона ) т.е. (4.1) Уравнения для u из гамильтониана Сопряженное ему для p Вычтем и проинтегрируем (=A) (=B) ________________________ ______________________________ где dS - элемент поверхности, охватывающий объем.

Так как. то Получаем (4.2) При Условие ортогональности при (Если вырождение, то волн. функцию тоже можно выбрать, чтобы выполнялось условие ортогональности) В общем виде - символ Кронекера Положим в (4.2) l=l и p p Получим так как - произвольной ориентации (4.3)

Вернемся к уравнению (4.1); Подставляя (4.3), находим скорость электронов: т.е. ток не равен нулю. Хотя нет никакого электрического поля !!! т.е. сопротивление идеального кристалла равно нулю. Соотношение де Бройля: квазиимпульс частота электронной волны ; т.е. v - групповая скорость волны. Если поместить кристалл во внешнее поле, то импульс изменяется. Вычислим производную от квазиимпульса по времени (для средних квантовомеханических величин классические уравнения верны!) т.е. при произвольных Отсюда находим второй закон Ньютона !!! Но !!! 1) квазиимпульс (не импульс) 2) - не полная сила, а только от внешнего поля !!! Сила действия со стороны атомов решетки учтена в виде закона дисперсии !

Электроны и дырки В уравнения (4.4) и (4.5) входит Одновременная замена знака! отриц. на полож. если зона заполнена, т.к. и компенсируются пустое место дает ток, равный по величине заполненному, но обратный по знаку, т.е. ток частицы с положительной массой. Или при Переход к дыркам Но не гравитация !!! Сила инерции определяется через производную от импульса, а не от квазиимпульса !!! Аналогия с Вблизи экстремумов: или (4.5) Область применимости Движение только во внешних полях (в поле решетки только квантовая механика!!!) Закон дисперсии определяет поведение квазичастиц !!! (4.4) Ускорение

4.2 Движение носителей заряда в постоянном и однородном магнитном поле. Диамагнитный резонанс. Квазиклассическое приближение. (1) Рассеяние равно нулю. Оси координат направлены вдоль главных осей тензора масс (4.6) где косинус угла между и осями соответственно. Однородная система: в (4.6): Det=0: с постоянным движением вдоль поля !!!

(4.7) циклотронная масса Измеряя m e при B, параллельном можно определить все m i Рассмотрим поглощение электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Y. На рисунке показано направление поля E в волне через полпериода. Если при этом электрон перемещается из точки a в точку b то он все время ускоряется резонансное поглощение -- диамагнитный резонанс Столкновения изменение величины v нарушение условий резонанса !!! В квазиклассике сила трения, где - время релаксации по импульсу Решение :

( 4.8) где т.е. : комплексность – т.е. угол между колебаниями тока и поля Поглощение (4.9) т.е. резонанс только при c p >1 Поле 10 4 Tл c - см или мм

4.3 Метод эффективной массы (4.10) где - потенциал в идеальном кристалле - непериодическая функция Здесь a - параметр решетки. Невырожденная зона. Ищем как где - функция Блоха, - плавная функция. В уравнение Шредингера с, (4.11) При Находим, что E=p 2 /2m это и есть спектр электрона в зоне проводимости. Функция мало изменяется на длине a при |E-E c |

т.е. получаем уравнение: + к зоне проводимости - к валентной зоне Для вычисления средних достаточно знать. т.е. эффективная волновая функция 4.4 Энергетический спектр носителя заряда в постоянном и однородном магнитном поле (квантовая теория) (4.12) ; где k 2 и k 3 вещественные волновые числа (4.13)

введем формально – это уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с собственной частотой Собственные значения где n= 0,1 (4.14) где - магнитная длина H n - полином Эрмита (4.15) движение вдоль B спин движение в плоскости - нулевая энергия осциллятора k 2 в энергию не входит, а входит в x для фиксированного E --- k 2 произвольно, т.е. имеет место вырождение по координате осциллятора.

Кратность вырождения ? Образец объема Периодичность ; По оси 0x граничные условия не существенны, если L>>l B, т.к. волновая функция по x локализована в области Но !!! или т.е. при фиксированных E и k z число n y может принимать значений. Сравнение классического подхода с квантовым Параболические зоны ответ одинаковый Но классическая трактовка непоследовательна т.к. классическое движение заряда по круговой орбите должно затухать из-за излучения электромагнитных волн. Совпадение только для параболического закона !!! Непараболический закон неэквидестантные уровни Ландау! Реально !!! Квантование нужно учитывать, если где средняя энергия электронов или Рассеяние Уширение уровня Диамагнитный резонанс переходы между уровнями Ландау.

4.6 Электроны в постоянном электрическом поле ; ; неограниченное возрастание p ? но только в первой зоне Бриллюэна?! период осцилляций Изменение энергии =? (4.16) Решение: т.к. при, тo т.е. осцилляции с периодом Следует помнить, что было использовано 2 приближения (1) (2) столкновений нет В этом случае должны наблюдаться осцилляции - осцилляции Блоха: Рассмотрим стационарную задачу при Собственная энергия Запрещенная зона в старом понимании исчезает !!! Однако представление о границах зон сохраняет смысл.

Чтобы продемонстрировать это, обратимся к результатам расчета зон в приближении сильной связи. В этом приближении было найдено ранее, где - интеграл неортогональности волновая функция на атом е g потенциальная энергия взаимодействия электрона с g -м атомом - действительная = kd конечная ширина зоны мнимое при нормировка !!! т.е. для мнимых нужно выбрать запрещенная зона! при E=0 такое решение невозможно,.

В этой области решение имеет ненулевую волновую функцию с мнимым квазиимпульсом. при z z 2 осциллирующее решение Конечная вероятность перехода из одной зоны в другую без совершения работы ! Вероятность перехода из одной зоны в другую: туннелирование, вероятность возрастает с ростом При решение в принципе возможно, т.к. область k ограничена: формально значениям энергии в запрещенной зоне можно сопоставить решение вида Ch| |. Для случая полупроводника в электрическом поле такие решения могут реализоваться, т. к. запрещенные состояния только в ограниченной области z 2 -z 1.

4. 5 Мелкие примесные уровни Уровень мелкий, если. В этом случае размер >>a, т.е. вид потенциала при x0 все значения разрешены, но не exp(ikr)… 2) E>a. Ge: E B ~10 мэВ, a B ~40 A; Примесей N Условие применимости Иначе взаимное влияние примесей. В Ge применимо при N< см -3

Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи (1) Нахождение числа возможных квантовых состояний электронов (дырок) (2) Нахождение распределения электронов по этим квантовым состояниям в условиях термодинамического равновесия 5.1. Плотность состояний в зонах Состояние электронов (дырок) в зонах характеризуется 1) квазиимпульсом 2) номером зоны l Объем в зоне на каждое значение, где V – объем кристалла Отсюда число состояний в элементе объема на единицу объема кристалла 2 - Вырождение по спину Перейдем к энергиям от E до E+dE Число состояний N(E)dE Если известно нет проблем Вблизи края зоны или Объем в-пространстве Аналогично для дырок: