Перевод чисел из одной системы счисления в другие.

СОДЕРЖАНИЕ 1.Системы счисленияСистемы счисления 2.Формула разложения числа по степеням основанияФормула разложения числа по степеням основания 3.Перевод чисел из одной системы счисления в другуюПеревод чисел из одной системы счисления в другую 4.Алгоритмы перевода из одной системы счисления в другуюАлгоритмы перевода из одной системы счисления в другую 5.Проверка знанийПроверка знаний 6. Авторы и информационные источникиАвторы и информационные источники

Cистемы счисления Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел. Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе. Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления. Например: двоичная система счисления (А 2 ), восьмеричная система счисления (А 8 ) т.д. Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе. Например: римская система счисления (II, V, XII)римская система счисления

I1XI11XXI21 II2XII12XXV25 III3XIII13XXX30 IV4XIV14XL40 V5XV15L50 VI6XVI16LX60 VII7XVII17XC90 VIII8XVIII18C100 IX9XIX19D500 X10XX20M1000 Римские числа

Правила записи и чтения римских чисел Буква, повторяющаяся дважды или трижды, удваивает или утраивает свое значение (СС - 200). Одна или более букв, помещенных после другой большего значения, увеличивает это значение на величину более мелкой (XI – 11, DCC - 700). Буква, помещенная перед другой буквой большего значения, уменьшает это значение на величину этой буквы (XC – 90, XL – 40). Горизонтальная черта, помещенная над буквой, повышает ее значение в 1000 раз.

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. Алфавит двоичной системы счисления состоит из 0 и 1 Достоинства 2 с/с: 1.Простота кодирования; 2.Простота арифметических действий; 3.Простота записи, хранения и передачи техническими средствами. Недостатки 2 с/с: 1.Много места занимает запись числа; 2.Трудоемкость перевода в 10 с/с и наоборот. Основанием, служит цифра 2 Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Основанием является цифра 8 Шестнадцатеричная система счисления Алфавит:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Основанием является цифра =10 8 Например: =10 16 Например: 26A7 16

Рассмотрим, для примера, десятичное число Его можно записать несколькими способами, не изменяя его количества. А 10 = 3745 А 10 = А 10 = 3x x x А 10 = 3x x x x10 0 (любое число в степени 0 равно 1) Последнюю запись называют разложением по степеням основания. Формула разложения числа по степеням основания

Формула разложения по степеням основания показывает, что число можно представить в виде суммы цифр, которые в свою очередь, равны произведению цифры на основание в степени, равной номеру разряда. При разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с «0». А р = а n р n +…+а 1 р 1 +а 0 p 0

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в любую позиционную систему счисления с основанием q (2, 8, 16). 1.Делим число на основание системы счисления нацело (остаток должен быть меньше основания). 2.Если частное больше основания системы счисления, то повторить шаг 1. 3.Если частное меньше основания, то записываем число из остатков, начиная с последнего частного, справа налево. Запишите в тетрадь

Алгоритм перевода целого числа из системы счисления с основанием q (2, 8, 16) в десятичную систему счисления. 1. Определяем разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная с нуля) 2. Умножаем цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда. 3. Суммируем все произведения.

1. Чтобы число 124 перевести из 10 с\с в 2 с\с надо это число делить на 2 (основание с\с) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 2 (1 или 0) Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно =

1. Для того, чтобы перевести число из 2 с\с в 10 с\с, надо представить его в виде суммы произведений цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (при разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с «0») 11001= х2 4 +1х2 3 +0х2 2 +0х =8+1=25 10 Получаем, что = х2 0 =

1.Чтобы число 124 перевести из 10 с\с в 8 с\с надо это число делить на 8 (основание с\с) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно =

1.Чтобы число 395 перевести из 10 с\с в 16 с\с надо это число делить на 16 (основание с\с) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно = 18B 16

1. Для того, чтобы перевести число из 8 с\с в 10 с\с, надо представить его в виде суммы произведений цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (при разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с «0») = 6x8 2 +1x8 1 +3x8 0 = = = Получаем, что =

1.Для того, чтобы перевести число из 16 с\с в 10 с\с, надо представить его в виде суммы произведений цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (при разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с «0») А7F5 16 = Ax x Fx x16 0 = 10x x x16 +5x1 = Получаем, чтоA7F5 16 =

4) ) а) б) г) в) ) а) в) б) г) ) а) а) б) б) г) в) в) г)

4) ) а) 6161в) 6363 г) ) а) б) 6464 б) в) ) а) 6161 а) б) 5959 б) в) 6060 в) г) 6262 г) 6565 г)

1) а) б) в) г) ) ) ) а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г)

1) A7F5 16 2) ) B0E 16 4) а) б) в) г) а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г)

1) ) ) ) а) б) а) а) а) в) г) б) б) б) в) в) в) г) г) г)

1) ) ) ) а) б) в) г) а) A2 16A2 16 а) AEE 16AEE 16 а) ABF5 16ABF5 16 б) 7D 167D 16 б) BCB2 16BCB2 16 б) DA1 16DA1 16 в) 5F 165F 16 в) 7BBA 167BBA 16 в) EAE 16EAE 16 г) г) CA1 16CA1 16 г) CBC7 16CBC7 16