Функция. Основные понятия. Понятие функции Основные характеристики функции Основные элементарные функции Сложная функция Элементарные функции Алгебраические и трансцендентные функции Предел переменной величины

Понятие функции При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2. Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от х. y = f(x) независимая переменная или аргумент зависимая переменная или функция

Понятие функции Совокупность значений x, для которых определяются значения y в силу правила f(x) называется областью определения (областью существования) функции: D(f) Совокупность значений y называется множеством значений функции: Е(f) Способы задания функции: 1) Табличный. xx1x1 x2x2 … xnxn уy1y1 y2y2 … ynyn При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Понятие функции 2) Графический. y 0 х М (х; у ) Совокупность точек плоскости XOY, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком функции y = f(x). х y 3) Аналитический: Функция y = f(x) задана аналитически, если f - обозначает действия, выполняемые над переменной, например:

Основные характеристики функции Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется четной, если для любого x, принадлежащего D выполняются условия: -x также принадлежит D и f(-x ) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси OY Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется нечетной, если: y 0 х График нечетной функции симметричен относительно точки O(0; 0) y 0 х

Основные характеристики функции то функция называется возрастающей. Если y 0 х Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть (множество D 1 является подмножеством множества D) Из неравенства x 1 < x 2 следует неравенство f(x 1 ) < f(x 2 ) Если то функция называется убывающей. x1x1 x2x2 f(x 2 ) f(x 1 ) Если то функция называется неубывающей. x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) Если то функция называется невозрастающей. x1x1 x2x2 f(x 2 ) f(x 1 ) Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными на множестве D 1, интервал, на котором функция монотонна называется интервалом монотонности.

Основные характеристики функции Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется ограниченной, если График ограниченной функции лежит между прямыми: y = - M и y = M. y 0 х Существует такое число М М -М

Основные характеристики функции Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется периодической, если Число Т называется периодом функции. y 0 х Если Т – период функции, то ее периодами будут также числа 2Т, 3Т и так далее. Т 2Т Наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условию: f(x +T) = f(x), называется основным периодом

Основные элементарные функции 1) Степенная функция: 2) 3) 4) 5) Показательная функция: Логарифмическая функция: Линейная функция: b Тригонометрические функции: 6)6) Обратные тригонометрические функции: y 0 х

Сложная функция Если y является функцией от u, а u в свою очередь зависит от переменной x, то y также зависит от x. Сложная функция Пример: Областью определения функции является или вся область определения функции u(x) или та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции F(u). Пример:

Элементарные функции Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Пример:

Алгебраические и трансцендентные функции К числу алгебраических функций относятся элементарные функции следующего вида: 1) Целая рациональная функция или многочлен: Коэффициенты многочлена – постоянные числа Целое неотрицательное число – степень многочлена 2) Дробная рациональная функция – отношение многочленов: 3) Иррациональная функция: Если в формуле y = f(x) в правой части производятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными нецелыми показателями, то функция y = f(x) называется иррациональной Пример: Функция, не являющейся алгебраической, называется трансцендентной: y = cos x; y = ln x и так далее.

Предел переменной величины Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству: а х1х1 окрестность точки а х2х2 х3х3 х4х4 х5х5 х6х6 Пример: Пусть переменная величина изменяется по закону: Тогда:

Предел переменной величины Очевидно, что переменная величина имеет предел, равный единице, то есть а = 1. Для любого все последующие значения переменной, начиная с номера n, где: попадают в окрестность точки а. Пусть, например Таким образом, начиная с х 6 все значения переменной величины находятся в окрестности точки а ,33 1,25 1,5 1,2 0,8 1,16