Задачи с параметрами В презентации представлен проект Т.П. Ефремовой «Решение задач с параметром в 7-11 классах». Данную работу можно использовать на уроках алгебры как в классах с базовым уровнем, так и в классах с расширенным или углубленным изучением алгебры. Работа выполнена в прoграммах Word и PowerPoint. Проект будет интересен учителям при объяснении нового материала, а также при формировании навыков решения задач с параметром. Для учащихся эта работа может быть пособием при самостоятельном изучении данной темы. В презентации представлены графические и аналитические способы решения уравнений, неравенств и систем уравнений с параметром. 56 гимназия ,Санкт-Петербург, Чкаловский проспект,35

Классификация задач с параметром Линейные уравнения и неравенства с параметром Системы линейных уравнений и неравенств с параметром Дробно-рациональные уравнения с параметром Квадратные уравнения и неравенства с параметром Иррациональные уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства Тригонометрические уравнения и неравенства

Линейные уравнения с параметром Линейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b. Решая линейное уравнение, необходимо рассмотреть коэффициент при переменной х. Если а=0, b=0, то 0x=0, х - любое число. Если а=0, b0, то 0x=b, нет корней. Если а0, то x=b/a. Ответ: если а=0, b=0, то х - любое число; если а=0, b0, то нет корней; если а0, то x=b/a. В уравнениях с параметром ответ часто почти полностью дублирует решение, но при этом запись ответа обязательна.

Линейные неравенства с параметром Решая линейное неравенство с параметром, необходимо привести его к виду ax>b,затем рассмотреть значения параметра, при которых коэффициент при переменной х является положительным, отрицательным и равным нулю. Неравенства вида и т. д. исследуются и решаются аналогично. Неравенства вида и т. д. исследуются и решаются аналогично.

Графический метод решения линейных неравенств 2ax>b Построим графики функций y=2ax и у=b y x b b/(2a) При a>0 x>b/(2a) y x b b/(2a) При a

Системы линейных уравнений с параметром y x y x y x Ø 1 решение При решении систем уравнений с параметром используются методы подстановки, сложения, замены и т. д. Если в задании необходимо определить количество решений системы линейных уравнений, то можно опираться на тему «Взаимное расположение прямых на плоскости».

Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая., то эти прямые пересекаются в одной точке, значит система уравнений имеет одно решение. Если, то прямые параллельны, значит система уравнений не имеет решений. Если то прямые совпадают, значит система уравнений имеет бесконечно много решений. Если

Решить систему неравенств Решение: Если m=7 m 7 X m 7 X Если m>7 m 7 X Если m

Решить уравнение: Решение: О.Д.З.: (4m-9)x=31-2m Дробно-рациональные уравнения с параметром При решении дробно-рациональных уравнений с параметром необходимо сначала найти О.Д.З. уравнения. Затем обе части уравнения умножить на общий знаменатель и решить полученное уравнение с параметром с учетом О.Д.З. Эти задачи решаются аналитическим способом.

(4m-9)x=31-2m если, то, решений нет; если, то Но x-3, значит найдем значения m, при которых m=-0,4 Ответ: если m=1, то уравнение не определено; если, m=-0,4,, то решений нет; если m -0,4, m 1,

Квадратные уравнения с параметром задача1. Решить уравнение: (а-5)х +3ах-(а-5)=0. При решении квадратного уравнения необходимо рассмотреть значения параметра, при которых старший коэффициент равен 0. В этом случае квадратное уравнение становится линейным. При a=5 15x=0, x=0 Далее, при a5 2 Ответ: при a=5 x=0; при а5

0 х у а Ответ: 0

Теорема Виета часто используется при решении задач с параметром, в которых идет речь о знаках корней или говорится о сумме (разности) квадратов (кубов) корней квадратного уравнения с параметром. Задачи с параметрами на применение теоремы Виета Решить задачу: При каких значениях a корни уравнения x-3ax+a=0 таковы, что сумма их квадратов равна. Решение: Ответ: а=±0,5

+-+ a a -+-+ Задача 1: При каких значениях a для всех действительных x верно неравенство ax²-2ax+1>0? Решение: 1. Пусть a=0, тогда получаем верное числовое неравенство 1>0. 2. Рассмотрим функцию: y=ax ² -2ax +1 при а 0. Неравенство верно при любом x, если график функции имеет вид: + Х Ответ: при Квадратные неравенства с параметром Квадратные неравенства легче решаются графическим методом, через исследование знаков первого коэффициента и дискриминанта.

выполняется при любых значениях х? х /////////////////////////////////// Ответ: а>1/2 а>0 D0 1-2а0 а>1/2, а>1/2. Решение: 1) Если а=0, то х>-2; 3) График будет целиком расположен выше оси х, если выполняются условия: Задача 2. При каких значениях а неравенство

Если х > 1, и выполняется при Т.О. решение неравенства зависит от взаимного расположения чисел х = 1 и х = -а. Иррациональные неравенства с параметром Задача 1. Решить неравенство ОДЗ : Решение: х = 1 является решением неравенства при любом а. Если 1 < -a, то Если 1то х = 1. Ответ: при ; х = 1. при 1 а 1 а х х 1

Задача 2 При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? 0 х у Ответ: 1) уравнение не имеет решения при а>2, а

Это простейшее логарифмическое уравнение имеет решение, если х>0, a>0, a1 Логарифмические уравнения Задача. Указать при каких значениях а, уравнение имеет решение и найти это решение Решение: log a x+2 log a x+3/2 log a x = 27, 4,5log a x=27, log a x=6. Итак, при a>0, a1, х 6 =а, а 6 >0, значит, при а (0:1);(1:+), х = а 6 Ответ: а (0:1) U (1:+), х = а 6

Задача 2: Найти все значения а при которых уравнение имеет 2 действительных корня

Задача 1: При всех а решить уравнение: sin (x/2-π/2) = a-2 Решение. sin (x/2-π/2) = a-2; cos x/2 = 2-a. Т.к. |cos t | 1, то если -12-а1; 1а3 Т.е. при 1а3 х/2 = ±arccos(2-a) + 2πn, n Z; x=± 2 arccos(2-a) + 4πn, n Z Ответ: при 1а3 x=± 2 arccos(2-a) + 4πn, n Z при а (-;1) U (3;+) решений нет. Тригонометрические уравнения

Задача 2: Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение

Задача 3: Решить уравнение при всех значениях параметра a 1.) a=1, то 0

2.) a1 Проверим выполнение условия (*): Ответ:

Задать формулой «семейство» графиков (Устная работа 1) У=-х+а У=lхl+а, а0 У=lх+аl, а0 а а а х х х у у у 0 х а уУ=(х+а)²,а0

Задать формулой «семейство» графиков (Устная работа 2) У=х+а У=lхl+а У=lх+аl, а0 а а а х х х у у у 0 х а у У=(х+а)²,а0

Задать формулой «семейство» графиков ( Устная работа 3) У=-2х+а У=lхl+а, а0 У=lх+аl а а а а х х х х у у у У=х+а 1 2 у

Задать формулой «семейство» графиков (Устная работа4) 0 х у х у 0 х у в х²+(у-в)²=4, где (0;в)-центр а lхl+lуl=а, а0 а У=а²-х² 0 х 1 а (х-а)²+у²=1, где (а;0)-центр у 2 0

Задать формулой « семейство»графиков (Устная работа 5) 0 х у 0 у 0 х у 0 у а (х+2)²+(у-в)²=4, где (-2;в)-центр а lхl+lу+1l=а, а0 а У=-а²-х² У=(х+а)³ а -2 х х

При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения? 8 решений? Не имеет решений? 0 3 х у 3 -3 lхl+lуl=3 х²+у²=а 3 1,52 Ответ: 1) 4 решения при а=4,5 и а=9; 2) Система уравнений Имеет 8 решений при 4,5

4 При каком наибольшем значении а система уравнений имеет решение? (х-3²+(у+1)²1, (х+1)²+(у-2)²=а+5 Решение: х²+у²-6х+2у+90, х²+у²+2х-4у=а 2 х у 0 Ответ: а=31. 3 А В С R=а+5 АВ=(3+1)²+(2+1)²=5 АС=5+1=6 а+5=6, а=31.

При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения? 8 решений? Не имеет решений? 0 3 х у 3 -3 lхl+lуl=3 х²+у²=а Задача1. 1,52 Ответ: 1) 4 решения при а=4,5 и а=9; 2) Система уравнений Имеет 8 решений при 4,5

Задача 3 При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений? х²-4х+у²+а²=2ау (х-5)²+(у-3)²= х у 0 (х-2)²+(у-а)²=4 (х-5)²+(у-3)²=1 Ответ: а3

При каких значениях а система уравнений имеет одно решение? ху=4 у=-х+а 0 х 2 2 Ответ: а=±4 4 4 Построим графики функций У=4/х У=-х+а у Задача 4.

0 х у Ответ: а>6, а

Задача6. При каком наибольшем значении а система уравнений имеет решение? (х-3)²+(у+1)²1, (х+1)²+(у-2)²=а+5 Решение: х²+у²-6х+2у+90, х²+у²+2х-4у=а 2 х у 0 Ответ: а=31. 3 А В С R=а+5 АВ=(3+1)²+(2+1)²=5 АС=5+1=6 а+5=6, а=31.

Презентация к уроку

Задать формулой «семейство» графиков У=2х+а У=lхl+а, а0 У=-lх+аl, а0 а а а х х х у у у 0 х а у У=(х+а)²+1,а0 у 2 1

Задать формулой «семейство» графиков 0 х у 0 х у 0 х у в х²+(у-в)²=25, где (0;в)-центр а lхl+lуl=а, а0 а У=а²-х² 0 х 4 а (х-а)²+у²=16, где (а;0)-центр у 5

При каких значениях параметра а система уравнений имеет 8 решений? 0 4 х у 4 -4 lхl+lуl=4 х²+у²=а 3 Ответ: 8

При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений? х²-4х+у²+а²=2ау (х-5)²+(у-3)²= х у 0 (х-2)²+(у-а)²=4 (х-5)²+(у-3)²=1 Ответ: а3 4

Самостоятельная работа 0 х у 1 х 2 Ответ: а7 /////////////////////////////// Ответ: а

0 х у 0 х Ответ: а=± Ответ: а>6, а