1 ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ

2 Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление – Автоматизация и управление специальность – Управление и информатика в технических системах МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Лекция 4. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем. Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.

3 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем Цель изучения материала: изучить основные подходы к построению математических моделей систем на основе математических схем моделирования систем; изучить построение формальной модели объекта, используя типовые математические схемы. Компетенций, формирующиеся в процессе знакомства с материалом: приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии; разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления; использовать современные технологии моделирования систем.

4 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем Содержание лекции 4 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математические схемы. Формальная модель объекта. Типовые математические схемы.

5 Математические схемы моделирования систем Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств, векторов, матриц и т.п.) и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

6 Математические схемы моделирования систем При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы система S – среда Е. Вторая задача – упрощение модели. Это поможет выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

7 Математические схемы моделирования систем При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

8 Формальная модель объекта Модель объекта (системы S) можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы: совокупность входных воздействий на систему x i = X, совокупность воздействий внешней среды v j = V, совокупность внутренних (собственных) параметров систем h k = H, совокупность выходных характеристик системы y j = Y. В общем случае x i, v j, h k, y j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

9 Формальная модель объекта Входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными. В векторной форме можно записать: x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX (t)); v(t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV (t)); h(t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН (t)). Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

10 Формальная модель объекта Выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными) переменными В векторной форме имеют вид: у(t) = (у 1 (t), у 2 (t), …, у nY (t)). Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

11 Формальная модель объекта Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F S, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида y(t) = F S (x, v, h, t).(2.1) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

12 Формальная модель объекта Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t) для всех j называется выходной траекторией y(t). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы F S, который задается в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической, табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

13 Формальная модель объекта Алгоритмом функционирования A S называется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий x(t), воздействий внешней среды v(t) и собственных параметров системы h(t). Один и тот же закон функционирования F S системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A S. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

14 Формальная модель объекта Математические модели называются динамическими (2.1), если математические соотношения описывают поведение объекта (системы) моделирования во времени t, т.е. отражают динамические свойства. Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H} в определенный момент, что в векторной форме может быть записано как y = f(x, v, h).(2.2) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

15 Формальная модель объекта Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами z' = (z' 1, z' 2, …, z' k ) и z'' = (z'' 1, z'' 2, …, z'' k ), где z' 1 = z 1 (t'), z' 2 = z 2 (t'), …, z' k = z k (t') в момент t' (t 0, T); z'' 1 = z 1 (t''), z'' 2 = z 2 (t''), …, z'' k = z k (t'') в момент t'' (t 0, T) и т.д. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

16 Формальная модель объекта Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z 1 (t), z 2 (t), …, z k (t), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний { z } называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем z k Z. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

17 Формальная модель объекта Состояния системы S в момент времени t 0 < t* T полностью определяются начальными условиями z 0 = (z 0 1, z 0 2, …, z 0 k ) [где z 0 1 = z 1 (t 0 ), z 0 2 = z 2 (t 0 ), …, z 0 k = z k (t 0 )], входными воздействиями x(t), внутренними параметрами v(t) и воздействиями внешней среды h(t), которые имели место в промежутке времени t* – t 0, c помощью двух векторных уравнений z (t) = Ф( z 0, x, v, h, t); (2.3) y(t) = F ( z, t). (2.4) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

18 Формальная модель объекта Первое уравнение по начальному состоянию z 0 и экзогенным переменным x, v, h, определяет вектор-функцию z (t), второе уравнение по полученному значению состояний z (t) определяет эндогенные переменные на выходе системы y(t). Таким образом, цепочка уравнений объекта вход – состояния – выход позволяет определить характеристики системы y(t) = F[Ф( z 0, x, v, h, t)].(2.5) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

19 Формальная модель объекта В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной t временных единиц каждый, когда T = m t, где m – число интервалов дискретизации. Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {x(t), v(t), h(t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками y(t). Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

20 Формальная модель объекта Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды v(t) и стохастические внутренние параметры h(t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями y(t) = f(x, t).(2.6) Детерминированная модель является частным случаем стохастической модели. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

21 Типовые математические схемы дифференциальные уравнения, конечные автоматы, вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы и т.д. Типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

22 Типовые математические схемы На первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: динамические системы на основе дифференциальных уравнений, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

23 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем Типовые математические схемы Непрервно-детерминированная схема (D-схема) Непрервно-стохастическая схема (Q-схема) Дискретно-детерминированная схема (F-схема) Дискретно-стохастическая схема (Р-схема) Сетевые схемы (N-схема) Комбинированная схема (A-схема)

24 Типовые математические схемы В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются – дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени – конечные автоматы и конечно-разностные схемы. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

25 Типовые математические схемы В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются – вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

26 Типовые математические схемы Для анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов, применяют сети Петри. Для описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем можно применять обобщенный (универсальный) подход на основе агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

27 Типовые математические схемы Пример моделирования системы массового обслуживания (СМО): Система массового обслуживания – это система, состоящая из обслуживающего прибора, заявки, находящейся на обслуживании, и ожидающих обслуживания заявок. Рассмотрим простую систему обслуживания с одним прибором и очередью, например состоящую из одного человека, выполняющего обслуживание определенного вида. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

28 Типовые математические схемы Пример моделирования СМО: Человек может быть - кассиром, продающим билеты на станции, - контролером в универсальном магазине, - парикмахером в парикмахерской с единственным креслом. «Клиенты» приходят к такому «обслуживающему прибору» в случайные моменты времени, ждут своей очереди на обслуживание (если есть необходимость), их обслуживают по принципу «первый пришел – первым обслужен». После этого они уходят. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

29 Типовые математические схемы Пример моделирования СМО: Схематично эта ситуация показана на рис. 1, где прямоугольник – это обслуживающий прибор, а кружок внутри него – заявка, находящаяся на обслуживании. Рис. 1. Простая система массового обслуживания Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

30 Типовые математические схемы Пример моделирования СМО: Элементом, который занимает и использует устройство, является транзакт. При этом происходят следующие события: 1) транзакт ожидает своей очереди (если необходимо); 2) транзакт занимает устройство; 3) устройство осуществляет обслуживание; 4) транзакт освобождает устройство. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

31 Типовые математические схемы Пример моделирования СМО: Для моделирования однородных (обладающих определенными общими свойствами например, два парикмахера, работающие рядом) параллельных приборов используют специальное устройство – многоканальное устройство (МКУ). Число приборов, которое моделируется в МКУ, называется емкостью многоканального устройства. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

32 Типовые математические схемы Пример моделирования СМО: Схематично такая ситуация представлена на рис. 2. Рис. 2. Три параллельно работающих прибора. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

33 Типовые математические схемы Пример моделирования СМО: В модели системы массового обслуживания может быть несколько приборов, очередей, многоканальных устройств, тогда получается сложная система массового обслуживания с разветвлениями и определенными условиями работы. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

34 Выводы и заключение по лекции: изучили основные подходы к построению математических моделей систем на основе математических схем моделирования систем; изучили построение формальной модели объекта, используя типовые математические схемы. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем

35 Перечень источников: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, с. 3. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, с. 4. Дружинина О.Г. Моделирование систем: учеб. пособие / О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, ч с. Список дополнительной литературы по теме: Дружинина О.Г. Преподавание дисциплины «Моделирование систем»: методическая разработка по дисциплине «Моделирование систем»/ О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, с. Дружинина О.Г. Имитационное моделирование систем массового обслуживания с помощью GPSS: методические указания к лабораторным работам / О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, с. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем