Красноярск, 2008 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет Институт естественных и гуманитарных наук

В. И. Сенашов, А. В. Тимофеенко, В. П. Шунков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП Красноярск, 2008

УДК ББК С31 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Основы теории групп» подготовлен в рамках инновационной образовательной программы «Создание научно-образовательного комплекса для подготовки элитных специалистов в области математики, механики и информатики в СФУ», реализованной в ФГОУ ВПО СФУ в 2007 г. Рецензенты: Красноярский краевой фонд науки; Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин Сенашов, В. И. С31Основы теории групп. Презентационные материалы. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : наглядное пособие / В. И. Сенашов, А. В. Тимофеенко, В. П. Шунков. – Электрон. дан. (2 Мб). – Красноярск : ИПК СФУ, – (Основы теории групп : УМКД / рук. творч. коллектива В. И. Сенашов). – 1 электрон. опт. диск (DVD). – Систем. требования : Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей) 1 ГГц ; 512 Мб оперативной памяти ; 2 Мб свободного дискового пространства ; привод DVD ; операционная система Microsoft Windows 2000 SP 4 / XP SP 2 / Vista (32 бит) ; Microsoft PowerPoint 2003 или выше. ISBN (комплекса) ISBN (пособия) Номер гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» от г. (комплекса) Номер гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» от г. (пособия) Настоящее издание является частью электронного учебно-методического комплекса по дисциплине «Основы теории групп», включающего учебную программу, курс лекций, сборник задач, методические указания по самостоятельной работе, контрольно- измерительные материалы «Основы теории групп. Банк тестовых заданий». Представлена презентация (в виде слайдов) теоретического курса «Основы теории групп». Предназначено для студентов направления подготовки бакалавров «Математика», «Математика и компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика» укрупненной группы «Физико-математические науки и фундаментальная информатика». © Сибирский федеральный университет, 2008 Рекомендовано к изданию Инновационно-методическим управлением СФУ Разработка и оформление электронного образовательного ресурса: Центр технологий электронного обучения информационно-аналитического департамента СФУ; лаборатория по разработке мультимедийных электронных образовательных ресурсов при КрЦНИТ Содержимое ресурса охраняется законом об авторском праве. Несанкционированное копирование и использование данного продукта запрещается. Встречающиеся названия программного обеспечения, изделий, устройств или систем могут являться зарегистрированными товарными знаками тех или иных фирм. Подп. к использованию Объем 2 Мб Красноярск: СФУ, , Красноярск, пр. Свободный, 79

4 Тема 1. Общие сведения Тема 2. Группы, подгруппы Тема 3. Классы групп, примеры Тема 4. Порождающие множества Тема 5. Смежные классы Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа Тема 8. Полные группы Тема 9. Группы подстановок Тема 10. Гомоморфизмы Тема 11. Изоморфизмы Тема 12. АвтоморфизмыОглавление Основы теории групп 4

5 Тема 13. Прямые и декартовые произведения Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений Тема 15. Ряды в группах Тема 16. Теорема Силова Тема 17. Алгебраические системы Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности Тема 19. Условия конечности Тема 20. Группы диэдра Тема 21. Группы подстановок и матриц Тема 22. Группы движений Тема 25. Группы Фробениуса 5 Основы теории групп

Дисциплина «Основы теории групп»: является продолжением дисциплины "Высшая алгебра; представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика»; предназначена для студентов и аспирантов, специализирующихся на кафедре алгебры и математической логики. Тема 1. Общие сведения 6 Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение

Курс лекций «Основы теории групп»: содержит основные определения и теоремы теории групп, которые входят в курс алгебры университета; вводит слушателя в область современной теории групп, через изложение результатов последних десятилетий; особенно подробно излагает примеры групп и группы с условиями конечности. 7 Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение

Цель курса «Основы теории групп» Коротко познакомить читателя с понятиями и теоремами классического курса теории групп. Подробно остановиться на понятиях, которые сформированы в Красноярской школе по теории групп в последние десятилетия. Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение 8

Знания, приобретаемые в процессе изучения курса «Основы теории групп» Основные классы групп; классические примеры конечных и бесконечных групп; базовые теоремы теории групп; представление о современных тенденциях развития теории групп в России и в мире. Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение 9

Умения, приобретаемые в процессе изучения курса «Основы теории групп» Применение изученных теорем в доказательствах новых теорем; использование специальной литературы, справочников, математических энциклопедий (включая электронные); приобретение практических навыков самостоятельной работы при изучении групповых конструкций. 10 Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение

Спецсеминар по теории групп Будет проводится одновременно с курсом лекций; предложит большое количество задач по всем разделам и темам данного курса лекций; предложит темы курсовых и дипломных работ, связанные с разделами 6 и 7. Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение 11

Исторические сведения Глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н. Абелем в 1824 г. и Э. Галуа в 1830 г. Изучение групп без предположения их конечности и без предположений о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника О. Ю. Шмидта. В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры. 12 Тема 1. Введение Основы теории групп. Тема 1. Введение

Тема 2. Группы, подгруппы Подгруппа подмножество группы, которое само является группой. Множество G с бинарной операцией называется группой, если: 1)выполняется ассоциативность (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G; 2)существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого элемента а из G; 3)существует обратный элемент a –1 : a –1 a = aa –1 = e для любого элемента а из G. Основы теории групп 13

Порядком элемента называется наименьшее натуральное число n, такое, что an = e. Обозначается |a|. Порядком группы G называется количество ее элементов. Обозначается порядок группы G через |G|. Подгруппы, отличные от единичной и всей группы, называются собственными. Бесконечные группы, у которых все собственные подгруппы имеют конечные порядки, называются группами Шмидта. 14 Тема 2. Группы, подгруппы Основы теории групп. Тема 2. Группы, подгруппы

Числовые примеры групп Все четные числа по сложению; совокупность целых чисел, кратных данному числу n, относительно операции сложения; все ненулевые положительные рациональные числа относительно операции умножения; числа 1 и –1 с операцией умножения. Тема 2. Группы, подгруппы Основы теории групп. Тема 2. Группы, подгруппы 15

Тема 3. Классы групп, примеры По числу элементов группы подразделяются на два больших класса: конечные, в которых множество элементов конечно, и бесконечные с бесконечным множеством элементов. Бесконечные группы подразделяются на периодические группы, в которых все элементы имеют конечные порядки, группы без кручения со всеми неединичными элементами бесконечного порядка и смешанные группы, в которых присутствуют как неединичные элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. В свою очередь все названные выше классы групп можно разбить на подклассыв соответствии с системами подгрупп, которые в них имеются. Подгруппы, в свою очередь, образуют ряды вложенных друг в друга подгрупп с определенными свойствами. Основы теории групп 16

Среди условий конечности можно назвать условие локальной конечности: оно выполняется в группе, если всякое ее конечное подмножество порождает конечную подгруппу. Класс групп с таким условием называется классом локально конечных групп. Класс локально нормальных групп является подклассом локально конечных групп и состоит из групп, в которых всякое конечное подмножество элементов лежит в конечном нормальном делителе. Группы с конечными классами (группы, в которых все классы сопряженных элементов конечны) составляют класс, который включает в себя все конечные и все абелевы группы. Пересечение классов периодических групп и групп с конечными классами совпадает с классом локально нормальных групп. Изучается также класс групп, в которых конечно число классов сопряженных элементов. 17

Тема 4. Порождающие множества Пусть M – произвольное подмножество группы G. Пересечение всех подгрупп из G, содержащих M, называется подгруппой, порожденной множеством M. Множество M в этом случае называется порождающим множеством и подгруппа, им порожденная, обозначается M. Теорема. Если М – подмножество группы G, то. Основы теории групп 18

Группа, порожденная одним элементом, называетcя циклической и обозначается. Теорема 4.2. Любая подгруппа циклической группы – циклическая. К двупорожденным группам относятся группы диэдра (см. тему 20). Очень впечатляющим является тот факт, что монстр Ольшанского порождается любыми двумя своими неединичными элементами, не лежащими в одной циклической подгруппе. Класс трехпорожденных групп очень широк. Трех инволюций (инволюция – элемент порядка два), две из которых перестановочны, достаточно для порождения практически всех конечных простых неабелевых групп (Я. Н. Нужин). Тема 4. Порождающие множества 19

Тема 5. Смежные классы Левым смежным классом группы G по подгруппе Н называется множество Элемент x называется представителем смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично. Свойства смежных классов: 1)смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают; 2)смежные классы равномощны; 3)элементы a, b содержатся в одном смежном классе по подгруппе H, если. Основы теории групп 20

Лемма Неймана. Пусть G – группа, являющаяся объединением конечного числа смежных классов по конечному множеству подгрупп. Тогда хотя бы одна из этих подгрупп имеет конечный индекс в G. Определение. Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G : H|. Теорема (Теорема Лагранжа). Для любой подгруппы H конечной группы G |G| = |G : H| |H|. Тема 5. Смежные классы Основы теории групп. Тема 5. Смежные классы 21

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор Элемент а сопряжен с элементом b в группе G, если найдется такой х из G, что x -1 ax = b. Пусть M – произвольное подмножество группы G, H – ее подгруппа. Нормализатором множества M в группе G называется множество. Централизатором множества M в группе G называется множество. Основы теории групп 22 Теорема Порядки сопряженных элементов равны.

В абелевых группах централизатор любого элемента совпадает со всей группой. В группе подстановок третьей степени централизаторы всех элементов совпадают с циклическими группами, порожденными этими элементами. Теорема. Если М – подмножество, а Н – подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с М - элементами из Н равна индексу |H : N H (M)|. В частности |a G | = |G : N G (a)|. Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор 23

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа Центром группы G называется множество Z(G) её элементов, перестановочных с каждым элементом группы G. Коммутатором [a, b] элементов a, b называется произведение [a, b] = a -1 b -1 ab. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами, называется коммутантом группы. Если L, M – подмножества группы, то их взаимным коммутантом называют подгруппу. Основы теории групп 24

Примеры и упражнения 1. [S n, S n ] = A n, для любого n.2. [A n, A n ] = A n, n > [G, G] = 1, если G абелева. 1.Доказать, что [a, b] –1 = [b, a]. 2.Доказать, что [ab, c] = [a, c] b [b, c]. 3.Доказать, что [a –1, b] = [b, a] a. 4.Доказать, что [G, G] G Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа 25

Тема 8. Полные группы Теорема. Полная подгруппа абелевой группы выделяется в ней прямым слагаемым. Теорема. Ненулевая полная абелева группа разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклической р-подгруппе, быть может по различным р. Группа называется полной, если для всякого целого числа n > 0 и любого элемента g из G уравнение nx = g имеет в группе хоть одно решение. Основы теории групп 26

Тема 9. Группы подстановок Взаимно однозначное отображение непустого множества M на себя называют подстановкой множества M. Композицию подстановок будем называть умножением подстановок. Множество подстановок на n - элементах является группой, которая называется симметрической группой S n степени n. Основы теории групп 27 Теорема Кэли. Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n.

Тема 10. Гомоморфизмы Теорема. Ядро любого гомоморфизма группы G является нормальной подгруппой группы G. Основы теории групп 28 Отображение φ группы G в группу S называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если φ(ab) = φ(a) φ(b) для любых a, b из G. Теорема. Пусть H и A – нормальные подгруппы группы G и H – подгруппа группы A. Тогда фактор-группы (G/H)/(A/H) и G/A изоморфны.

Тема 11. Изоморфизмы Примеры. Группа положительных действительных чисел R+ по умножению изоморфна группе действительных чисел R по сложению: lg(ab) = lg(a)+lg(b). Группа корней n-ой степени из единицы по умножению изоморфна аддитивной группе кольца классов вычетов по модулю n. Множество четных чисел можно взаимно однозначно отобразить на множество чисел, кратных числу 3, если всякому четному числу вида 2k поставить в соответствие число вида 3k, лежащее во втором множестве. 29 Группы G и G* изоморфны, если между ними можно установить взаимно однозначное отображение, сохраняющее операцию.

Тема 12. Автоморфизмы Автоморфизмы являются частным случаем эндоморфизмов, т. е. гомоморфных отображений группы в себя. Изоморфизм группы на себя называется ее автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G обозначается Aut G. Пусть a – элемент группы. Её внутренним автоморфизмом называется отображение каждого элемента группы на сопряженный ему посредством a элемент. 30 Автоморфизмы, которые не являются внутренними, называются внешними.

Множество внутренних автоморфизмов группы G относительно их умножения, т.е. последовательного выполнения, является группой. Ее обозначают Int G. Она является нормальной подгруппой группы автоморфизмов группы G: Тема 12. Автоморфизмы 31 Группой внешних автоморфизмов называют фактор-группу: Out G = Aut G / Int G.

Тема 13. Прямые и декартовые произведения Под произведением AB групп A, B понимается множество всевозможных произведений элементов этих групп. Произведение AB подгрупп A, B группы G тогда и только тогда само будет группой, когда AB = BA. Группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G 1, G 2, G 3, …, G n, если выполнимы следующие условия: 1) ; 2) группа G порождается своими подгруппами G i ; 3). Обозначение:. Основы теории групп 32

Определение прямого произведения распространим на случай любого числа сомножителей. Пусть - Множество функций с условием, что для любого. Легко проверить, что множество G с умножением по правилу (fg)(α)=f(α)g(α) является группой; она и называется декартовым произведением групп G α. Частным случаем декартова произведения является прямое произведение, каждая функция которого принимает только конечное число неединичных значений. В обозначении прямого произведения не проводят черту над знаком произведения: Тема 13. Прямые и декартовые произведения 33 Для конечного числа множителей прямое и декартово произведения совпадают.

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений Расширение G группы A посредством группы B называется расщепляемым, если в G существуют такие подгруппы H, K, что Очевидно, что тогда изоморфны группы K и G/A. G полупрямое произведение групп A и B: Основы теории групп 34

Полупрямое произведение Группа G разлагается в полупрямое произведение своих подгрупп A и B, если выполнены следующие требования: 1. Подгруппа A является нормальным делителем группы G. 2. Группа G порождается подгруппами A и B. 3. Пересечение подгрупп A и B равно единичной подгруппе. Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений Основы теории групп. Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений 35

Теорема Шункова. Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым произведением двух таких подгрупп A и B, разложимых в прямое произведение своих силовских p-подгрупп по разным p, что первая из них абелева и порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G. Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений Основы теории групп. Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений 36

Тема 15. Ряды в группах Конечный нормальный или инвариантный ряд группы называется разрешимым рядом, если все его факторы абелевы. Пусть в группе G дан инвариантный ряд = А 0 < A 1 < A 2 < A 3 … < A i < …< A n = G. Назовем этот ряд центральным, если при i = 0, 1, … n – 1 фактор-группа A i+1/A1 содержится в центре фактор-группы G/A. Группа G, обладающая хотя бы одним центральным рядом, называется нильпотентной. Конечный нормальный или инвариантный ряд группы называется разрешимым рядом, если все его факторы абелевы. 37

Группа G называется разрешимой, если она удовлетворяет од- ному из требований: 1) группа G обладает конечным разрешимым нормальным рядом; 2) группа G обладает конечным разрешимым инвариантным рядом; 3) убывающая цепь коммутантов группы G через конечное число шагов обрывается на единичной подгруппе. Тема 15. Ряды в группах Основы теории групп. Тема 15. Ряды в группах 38 Теорема Ито. Пусть группа G является произведением двух абелевых подгрупп. Тогда G метабелева (разрешима ступени 2).

Тема 16. Теорема Силова Теорема доказана норвежским математиком Л. Силовым и, максимальные p-подгруппы названы в его честь силовскими p-подгруппами. Теорема Силова. Пусть G – конечная группа, р – простое число. Для каждой степени p k, делящей порядок G, в G существует подгруппа порядка p k. Если p k +1делит порядок G, то каждая подгруппа порядка p k из G вложена в некоторую подгруппу p k +1из G. В частности, силовские p-подгруппы из G – это в точности подгруппы порядка p r, где p r – максимальная степень р, делящая порядок G. Все силовские р-подгруппы из G сопряжены в G. Количество силовских р-подгрупп из G сравнимо с единицей по модулю р и делит порядок G. 39

Применения теоремы Силова Тема 16. Теорема Силова 40 Теорему Силова можно применять для выяснения строения групп небольших порядков. Например, можно описать все группы данного порядка, не превышающего несколько десятков. Она позволяет найти все группы, порядок которых равен произведению двух простых чисел и даже степеней двух простых чисел. С ее помощью можно выяснить простоту группы, иногда найти точное количество силовских подгрупп, решать другие вопросы о строении группы.

Тема 17. Алгебраические системы На множестве задана бинарная операция, если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества. Основы теории групп 41 Группоид множество, на котором задана бинарная операция. Полугруппа множество с ассоциативной бинарной операцией.

Примеры группоидов и полугрупп Правило нахождения разности чисел задаёт бинарную операцию на множестве целых чисел. Полученный так группоид не является полугруппой. Правила сложения и умножения чисел на множестве натуральных чисел задают полугрупповые операции. Пусть Π(M) – множество всех преобразований непустого множества M. Бинарная операция последовательного выполнения преобразований на множестве Π(M) является полугрупповой операцией. Тема 17. Алгебраические системы 42

Квазигруппа Бинарную операцию * на множестве S из n элементов можно задать таблицей их умножения, в которой входной строкой и входным столбцом является список элементов множества S, а на пересечении строки с входом a и столбца с входом b располагается значение операции a*b. Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида S с операцией *. Если таблицу Кэли задаёт квадратная матрица порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановкой элементов множества S, то такая матрица называется латинским квадратом, построенным на множестве S. Множество с бинарной операцией, в котором для любых элементов a, b уравнения ax=b, xa=b имеют единственные решения в нем, называется квазигруппой. Тема 17. Алгебраические системы 43

Независимость ассоциативности и коммутативности операций Тема 17. Алгебраические системы 44 Примером коммутативной, но не ассоциативной операции на множестве рациональных чисел служит операция нахождения среднего арифметического: (a+b)/2.

Ассоциативное кольцо – это множество с двумя бинарными операциями сложением и умножением, причем по сложению это абелева группа, по умножению для ненулевых элементов выполняется ассоциативность и операции связаны законом дистрибутивности a(b+c) = ab+ac и (b+c)a = ba+ca для любых элементов a,b,c множества. Тема 17. Алгебраические системы 45 Примерами колец являются числовые кольца целых, рациональных и действительных чисел. Операции умножения в этих кольцах коммутативны и кольца обладают единицами. Примером кольца без единицы служит множество всех четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения.

Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности Проблема минимальности. Будет ли бесконечная группа с условием минимальности (в частности, локально конечная группа с условием минимальности) конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп? Группа удовлетворяет условию минимальности для подгрупп ( условие минимальности ), если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее подгрупп. Основы теории групп 46

Решение проблемы минимальности обусловливается существованием бесконечной серии неизвестных конечных простых групп. Разумеется, такая редукция не может быть удовлетворительной, так как открывать новые бесконечные серии простых групп и проверять, будет ли их объединение удовлетворять условию минимальности, – занятие не из легких. Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности Основы теории групп. Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности 47 Проблема минимальности решена отрицательно А. Ю. Ольшанским в 1979 г.

Черниковские группы Теорема (С. Н. Черников). Бесконечная локально разрешимая группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности, когда она является черниковской. Конечные расширения прямых произведений конечного числа (в частности, и равного нулю) квазициклических групп называются черниковскими группами, или группами Черникова. Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности Основы теории групп. Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности 48

Если в бипримитивно конечной p-группе централизатор некоторого элемента простого порядка черниковская группа, то сама группа черниковская. Если в локально конечной группе силовские 2 подгруппы черниковские и подгруппы нечетного порядка конечны, то сама группа черниковская. Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп является черниковской группой. Критерии В. П. Шункова Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности 49

Тема 19. Условия конечности Локально конечной называется группа, в которой любое конечное множество элементов порождает конечную подгруппу. ( Сопряженно ) бипримитивно конечной называется такая группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K в фактор- группе её нормализатора по ней любые два (сопряженных) элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. 50

Группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если два любых ее элемента простого порядка (сопряженных между собой) порождают конечную подгруппу. Сейчас сопряженно бипримитивно конечные группы называются группами Шункова. Группы Шункова Тема 19. Условия конечности Основы теории групп. Тема 19. Условия конечности 51

Группа называется (сопряженно) r-конечной, если любые ее r (сопряженных) элементов порождают конечную подгруппу. При r = 2 получаем определение сопряженно бинарно конечной группы. М. Ю. Бахова построила бипримитивно конечную, но не бинарно конечную группу с произвольным конечным множеством простых делителей порядков ее элементов и А. А. Череп доказал, что в бипримитивно конечной группе множество элементов конечного порядка не обязано составляет подгруппу периодическую часть. Группы Шункова Тема 19. Условия конечности Основы теории групп. Тема 19. Условия конечности 52

Тема 20. Группы диэдра Зафиксируем обозначения: i,k – инволюции, G= – группа диэдра, a = ik. Группой диэдра называется группа, порождённая двумя инволюциями, т. е. элементами второго порядка. Основы теории групп 53

G= – группа диэдра, a=ik Свойства группы диэдра, существенно отличаются в зависимости от порядка элемента a=ik. Причём выделяется три случая порядка элемента a : чётный, нечётный, бесконечный. Пусть сначала |a|=2n–1, нечётное число n – натуральное число. Теорема. Пусть |a|=2n–1, n – натуральное число. Тогда G – группа Фробениуса с ядром (a) и неинвариантным множителем (i). Тема 20. Группы диэдра 54

Упражнение. В случае, когда порядок элемента a бесконечен, найти G'. Если порядок элемента a бесконечен, то инволюции i, k не сопряжены в G и центр Z(G) = 1. Теорема Пусть |a| = 2n, тогда имеет место одно изутверждений; Центр Z(G) = G – группа Клейна; Центр Z(G) = a n, где a n – инволюция. Тема 20. Группы диэдра Основы теории групп. Тема 20. Группы диэдра 55

Тема 21. Группы подстановок и матриц Пусть 123 – правильный треугольник, (1,2,3) – поворот на 120 0, совмещающий трегольник 123 с собой, причем вершина 1 переходит в вершину 2, которая переходит в вершину 3. Третья вершина отображается в вершину 1. Если последовательно выполнить этот поворот 2 раза, то получим поворот (1,3,2): (1,2,3)(1,2,3) = (1,3,2), а если 3 раза, то (1,2,3) (1,2,3) (1,2,3) = (), где () – тождественный поворот, при котором все точки неподвижны. Основы теории групп 56

Совокупность трех этих поворотов и операции последовательного выполнения любых двух из них называют циклической группой поворотов третьего порядка и обозначают С 3. Операцию последовательного выполнения двух поворотов будем называть также композицией, или умножением поворотов. Понятно, что все элементы группы С 3 можно получить умножением из нетождественного поворота. Аналогично для каждого натурального числа n определяется группа C n. Любой ее элемент можно получить из поворота (1, 2, …, n) на угол 360/n градусов. К элементам группы C n добавим (пространственный) поворот i вокруг оси, проходящей через центр правильного n-угольника 12 … n и его вершину. Пусть 1 – номер этой вершины. Тогда поворот i задается следующей перестановкой i его вершин: Тема 21. Группы подстановок и матриц 57 при четном n при нечетном n

58 Пусть c = (1, 2, …, n). Как отмечалось выше, с, с 2, …, c n – 1, () – все элементы циклической группы C n. Элементы с называют порождающим элементом группы C n и записывают C n =. Элементы c, I являются порождающими группы D 2 – n, т. е. D 2 – n =. Тема 21. Группы подстановок и матриц

Транспозиция – цикл длины 2 Теорема. Симметрическая группа подстановок степени n порождена: 1) множеством всех транспозиций; 2) множеством всех транспозиций вида (1, a), a=2, 3, …, n; 3) множеством всех транспозиций вида (a, a+1), a = 1, 2, …, n –1; 4) транспозицией (1, 2) и циклом (1, 2, …, n). Тема 21. Группы подстановок и матриц Основы теории групп. Тема 21. Группы подстановок и матриц 59

Тема 22. Группы движений Теорема (Леонардо да Винчи). Всякая конечная группа движений плоскости является либо циклической группой, либо группой диэдра. Взаимно однозначное отображение пространства на себя называется преобразованием пространства. Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя его точками. Основы теории групп 60

Группы симметрий правильных многогранников Группа симметрий правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе перестановок его вершин. В зависимости от знака определителя матрицы, задающей движения пространства, различают собственные и несобственные движения. Определитель матрицы несобственного движения отрицателен. Группу всех собственных движений совмещающих фигуру Р с собой, будем обозначать Aut + (P), а группу движений, совмещающих Р с собой – Aut(P). Элементы группы Aut(P) будем называть движениями или симметриями фигуры Р. Предложение. Если группа симметрий Aut(P) обладает несобственной симметрией, то индекс её подгруппы Aut + (P) равен 2 Тема 22. Группы движений 61

Найдите группу симметрий многогранника Тема 22. Группы движений 62

Группы движений Все повороты, совмеща- ющие с собой многогран- ник, образуют группу относительно операции их последовательного выполнения. Группа поворотов куба состоит из 24 элементов, икосаэдра – из 60 пово- ротов. Тема 22. Группы движений Основы теории групп. Тема 22. Группы движений 63

Группа поворотов куба изоморфна симметрической группе, порождённой подстановками (1, 2) и (1, 2, 3, 4). Тема 22. Группы движений 64

Тема 25. Группы Фробениуса Теорема. Порядки ядра и неинвариантного множителя конечной группы Фробениуса взаимно просты. Теорема. Всякая подгруппа порядка pq, где p и q – необязательно различные числа, дополнительного множителя Фробениуса – циклическая. Основы теории групп 65 Конечная группа G называется группой Фробениуса, если в ней найдется собственная подгруппа H, совпадающая со своим нормализатором и взаимно простая со своими сопряженными подгруппами, отличными от H.

Теорема Фробениуса Теорема. Пусть G – конечная группа, содержащая подгруппу H, совпадающую со своим нормализатором и взаимно простую со своими сопряжёнными подгруппами. Тогда совокупность элементов, не содержащихся ни в H, ни в одной из сопряжённых с H подгрупп, вместе с единицей составляют нормальный делитель группы G. Тема 25. Группы Фробениуса 66

Приложение теории групп В топологии; кристаллографии; криптографии; квантовой механике; в любой сфере человеческой деятельности, где проявляется симметрия. Тема 25. Группы Фробениуса Основы теории групп. Тема 25. Группы Фробениуса 67