Элементы общей алгебры Подгруппа, кольцо, поле, тело, решетка. - презентация

1 Элементы общей алгебры Подгруппа, кольцо, поле, тело, решетка

2 Рассмотрим элемент а из группы G: a 0 =e, а k+1 =a k a=a a k. Порядок элемента а группы G – минимальное натуральное число n такое, что a n = e. В случае, если такого n не существует, считается, что a имеет бесконечный порядок

3 Подгруппа Подгруппа подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G. Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда: 1. содержит единичный элемент из G, 2. содержит произведение любых двух элементов из H, 3. содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h 1. Более подробно это означает, что h,h H h*h H, e H и h H h –1 H.

4 Коммутативная операция Если операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (–g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g, называются кратными элемента g и обозначаются ng.

5 Пример Рассмотрим множество невырожденных матриц – линейную группу порядка n. Рассмотрим матрицы, определители которых равны единице. L n (1) L n. det (A 1 *A 2 )=det A 1 *det A 2. Отсюда следует, что определитель произведения двух матриц из L n (1) равен единице, поэтому L n (1) подгруппа группы L n.

6 Пример Пример конечной подгруппы L n : {E,-E} L n. Докажем, что это подгруппа. замкнутость относительно операций E*E=E, E*-E=-E, -E*-E=E E {E,-E}. Если условия выполняются, значит, мы имеем дело с подгруппой.

7 Истинная подгруппа Каждая группа G обладает единичной подгруппой E={e}. Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной (нетривиальной) подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными (тривиальными) подгруппами группы G, все остальные собственными.

8 Циклическая группа Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается. Если M состоит из одного элемента a, то называется циклической подгруппой элемента a. Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой. Если группа G 1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G 1 может быть вложена в группу G.

9 Кольцо Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с R справедливы равенства a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca.

10 Коммутативное кольцо Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом. Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную операцию, поэтому его тип – (2,2,1).

11 Тело Когда группа коммутативна, ее единица называется нулем кольца. Но в кольце может быть единица, т.е. нейтральный элемент по отношению к умножению. Если при этом в кольце R элементы не равны нулю и образуют относительно операции умножения группу, она называется телом. Единица этой группы называется единицей тела. Рассмотрим множество целых чисел – кольцо с единицей, не тело, т.к. нет обратного кроме единицы по отношению к умножению.

12 Поле Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b. Другими словами, для любой пары элементов a 0 и b уравнение ax = b имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

13 Пример Алгебра (Z;+) является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение 2х=3 в ней неразрешимо. Алгебра (Q;+;*) является полем и называется полем рациональных чисел. Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число поле.

14

15 Алгебра вычетов Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число поле. Деление: остаток меньше модуля m, остаток (0, 1, …, m-1) {K 0 ; K 1 ;…, K 8 }=M – остаток при делении на девять. Построим на этом множестве М алгебру K s K i =K p

16 Таблица Кэли Чтобы задать операцию, зададим таблицу Кэли. Таблица Кэли в абстрактной алгебре таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли.

17

18 k 3 =C*9+3 k 5 =C*9+5 k 3 +k 5 =(C+C) mod 9=8 5 8 mod 9=4 6 5 mod 9=2

19 m=5 a b mod m=

20 Умножение по модулю m a b mod 5 k 3 =C5+3 k 2 =C5+2 k 1 =k 2 k 3 =CC25+(C+C)5+6

21 Свойства колец с единицей 0*x=x*0=0 Если y R, то (-x)y=x(-y)=-xy, где - обозначение обратной операции в аддитивной группе кольца. Доказательство: (-x)y+xy=(- x+x)y=0*y=0, x(-y)+xy=x(-y+y)=x*0=0. Значит, (-x)y=x(-y)=-xy

22 Решетка Решёткой называется множество M, частично упорядоченное отношением нестрогого порядка, с двумя бинарными операциями и, такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки): 1. a a=a; aa=a (идемподентность); 2. a b=b a; ab=ba (коммутативность); 3. (a b) c=a (b c); (ab)c=a(bc) (ассоциативность); 4. ab) a=a, (a b)a=a (поглощение).

23 Решетки Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия a (bc)=(a b)(a c), и a(b c)=(ab) (ac). Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется, то он называется нижней гранью (нулём) решётки. Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется, то он называется верхней гранью (единицей) решётки. Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

24 Дополнение Теорема. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная. В ограниченной решётке элемент a –1 называется дополнением элемента a, если aa –1 =0 и a a –1 =1.

25 Примеры Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых a,b M, что a b=max(a,b) и ab=min(a,b). Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: ab, если a является делителем b. Тогда a b есть наименьшее общее кратное этих чисел, а ab их наибольший общий делитель.

26 Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.

27 Подстановка Рассмотрим множество чисел (1, 2, …, n). Подстановкой назовем всякую биекцию (взаимно однозначно равную) его на себя.

28 Композиция подстановок Пусть несущее множество – это множество подстановок длины n. Введем операцию, которую назовем композицией подстановок.

29 Единичная подстановка Рассмотрим уравнение α*x=e, x=α -1