1. Матрицы Элементы линейной алгебры. Матрицы Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа a. - презентация

1 1. Матрицы Элементы линейной алгебры

2 Матрицы Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа a ij – элементы матрицы: i – номер строки j – номер столбца. Обозначения матриц: A, B, C … или (a ij ), (b ij ), (c ij )...

3 Матрицы Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа a ij – элементы матрицы: i – номер строки j – номер столбца. Обозначения матриц: A, B, C … или (a ij ), (b ij ), (c ij )...

4 Матрицы Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа a ij – элементы матрицы: i – номер строки j – номер столбца. Обозначения матриц: A, B, C … или (a ij ), (b ij ), (c ij )...

5 Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)

6 Пример 1

7 Виды матриц. Диагональная матрица

8 Пример 2

9 Виды матриц. Единичная и нулевая матрицы Нулевая Единичная

10 Виды матриц. Ступенчатая матрица, матрица-столбец и матрица-строка Ступенчатая Матрица-строка (1 n) Матрица-столбец (m 1)

11 2. Действия с матрицами

12 Равенство матриц 1) Размеры матриц совпадают 2) Соответствующие элементы матриц равны: a ij =b ij, i=1,m; j=1,n. Две матрицы A= (a ij ) и B=(b ij ) называются равными, если

13 Сумма матриц (1) Суммой матриц A=(a ij ) и B=(b ij ) одинакового размера m n называется матрица C=(c ij ) размера m n, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B

14 Сумма матриц (2) Пример. Суммой матриц A=(a ij ) и B=(b ij ) одинакового размера m n называется матрица C=(c ij ) размера m n, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B

15 Разность матриц Разностью матриц A=(a ij ) и B=(b ij ) одинакового размера m n называется матрица C=(c ij ) размера m n, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц A и B

16 Пример 3 (1) Пример. Найти разность матриц

17 Пример 3 (2) Пример. Найти разность матриц

18 Пример 3 (3) Пример. Найти разность матриц

19 Пример 3 (4) Пример. Найти разность матриц

20 Произведение матрицы на число Произведением матрицы A=(a ij ) на число называется матрица того же размера, элементы которой равны a ij.

21 Произведение матрицы на число. Пример Произведением матрицы A=(a ij ) на число называется матрица того же размера, элементы которой равны a ij.

22 Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число (1) Пусть A, B, C матрицы размера m n. 1. Коммутативность суммы матриц

23 Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число (2) 2. Ассоциативность суммы матриц

24 Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число (3) 3. Дистрибутивность

25 Умножение матриц (1) Произведением матрицы A=(a ij ) (размера m p) на матрицу B=(b ij ) (размера p n) называется матрица C=(c ij ) (размера m n), элементы которой вычисляются по формулам:

26 Умножение матриц (2) Умножение строки на столбец

27 Умножение матриц (3) Умножение строки на столбец Пример

28 Умножение матриц (4)

29 Пример 4 (1) Найти произведение матриц и

30 Пример 4 (2) Найти произведение матриц и

31 Пример 4 (3) Найти произведение матриц и

32 Пример 4 (4) Найти произведение матриц и

33 3. Обратная матрица

34 Обратная матрица (1) Пусть дана невырожденная (det A0) квадратная матрица порядка n Матрица А -1 называется обратной к матрице А, если выполняются равенства Е – единичная матрица.

35 Обратная матрица (2) Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу. A ij – алгебраическое дополнение элемента a ij, detA – определитель матрицы A.

36 Обратная матрица. Пример (1) Пример Найти обратную матрицу к матрице

37 Обратная матрица. Пример (2) Пример Найти обратную матрицу к матрице Решение

38 Обратная матрица. Пример (3) Пример Найти обратную матрицу к матрице Решение

39 Обратная матрица. Пример (4) Пример Найти обратную матрицу к матрице Решение

40 Обратная матрица. Пример (5) Пример Найти обратную матрицу к матрице Решение

41 Обратная матрица. Пример (6) Пример Найти обратную матрицу к матрице Решение

42 Обратная матрица. Пример (7) Пример Найти обратную матрицу к матрице Решение

43 Обратная матрица. Пример (8)

44 Обратная матрица. Пример (9)

45 Обратная матрица. Пример (10)

46 Обратная матрица. Пример (11) Аналогично Получаем

47 Окончание лекции