Матрицы и операции над ними.. Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. - презентация

1 Матрицы и операции над ними.

2 Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

3 ,где a ij - элемент матрицы i- номер строки: i=1,2,…,m j- номер столбца: j=1,2,…,n

4 Если у матрицы m строк и n столбцов, то она имеет размерность m × n (прямоугольная матрица) A m × n или Если m=n, то матрица называется квадратной. Число строк или стобцов квадратной матрицы называется её порядком.

5 Квадратная матрица n-го порядка: главная диагональ побочная диагональ

6 Если у квадратной матрицы отличны от нуля только элементы, лежащие на главной диагонали, то такие матрицы называются диагональными.

7 Матрица, у которой все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали – нули, называется треугольной.

8 Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

9 Дана прямоугольная матрица m × n. Если m=1, то получаем матрицу-строку: Если n=1, то получаем матрицу-столбец:

10 Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и соответствующие элементы равны. Т.е, пусть A=(a ij ) и B=(b ij ):

11 Линейные операции над матрицами. Суммой матриц A=(a ij ) и B=(b ij ) называется матрица C=(c ij ) (А+В=С), элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: c ij =a ij +b ij, причем

12 Найти А + В и А - В:

13 Свойства сложения матриц: 1)А+В=В+А закон коммутативности 2) (А+В)+С=А+(В+С) закон ассоциативности 3), что А+0=0+А=А 4) А В: А+В=В+А=0, т.е. В=-А (матрица, противоположная матрице А).

14 Произведением матрицы A=(a ij ) на число к R, называется матрица кА, каждый элемент которой равен кa ij: кА=(ка ij )

15 Свойства умножения матрицы на число: 1)(а+b)А=аА+bА закон дистрибутивности относительно сложения чисел 2)a(А+В)=aА+aB закон дистрибутивности относительно сложения матриц 3)(ab)A=a(bA) 4)1 · A=A А

16 Произведением матриц A m×n =(a ij ) и B n×p =(b jk ) называется матрица C m×p =(c ik )=A·B, элементы которой гдеi=1,2,…,m k=1,2,…,p

17 Найти А · В и B · A:

18

19

20

21

22 умножение матриц имеет смысл только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. в результате умножения получается матрица с количеством строк первой и количеством столбцов второй.

23 Свойства умножения матриц: 1)АВ ВА 2)А(ВС)=(АВ)Сзакон ассоциативности 3)(А+В)С=АС+ВСзакон дистрибутивности 4)Если АВ, то а(АВ)=(аА)В=А(аВ), а R 5) Произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.

24 Если АВ=ВА, то матрица А и В называются перестановочными или коммутирующими.

25 Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали 1, то матрица называется единичной. Свойство:ЕА=АЕ=А

26 Если в матрице переставить строки местами со столбцами, то получим матрицу, которая называется транспонированной:

27 Матрица называется симметричной, если симметричная

28 Свойства транспонированной матрицы:

29 Даны матрицы А и В: Вычислить:

30 Каков порядок матриц А и В? Вычислить АВ.

31