История чисел. Системы счисления. Творческая работа Агуреевой Екатерины

Цель исследования: изучение чисел в разных культурах, ознакомление с системами счисления. Задачи исследования: изучить историю возникновения чисел и символику; актуализировать подходы к представлению числовой информации; систематизировать и расширить знания о числе; показать взаимосвязь истории математики, истории развития общества в рассмотрении понятии числа; исследовать осведомленность одноклассников о многообразии чисел.

План исследования. Наша работа состоит из нескольких этапов: подбор и изучение научной литературы для ознакомления с историей возникновения чисел; установление связи между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками; ознакомление с различными видами систем счисления; анкетирование учащихся.

Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет… Г.В.Лейбниц

Развитие представления о понятии "число". Пифагор говорил: «Все вещи можно представить в виде чисел». Аристотель называл число «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием». У китайцев нечетные числа – это Ян (небо благоприятность), четные числа – Инь (земля, изменчивость и неблагоприятность). Нечетность символизирует незавершенность, постоянное продолжение, то есть все то, что не имеет конца, относятся к области вечного. Числа – символ порядка. Реки, деревья и горы представляют собой материализованные числа.

Появление цифр. Системы счисления. Цифры – это знаки, с помощью которых записывают числа. Система счисления или нумерация – это способ записи чисел с помощью цифр. Системы счисления Унарные Непозиционные Позиционные

Унарные системы Число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. = Единичная система счисления тыс. лет до н. э.

Непозиционные системы счисления. Система счисления называется непозиционной, если в ней количественные значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа. В непозиционных системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение – add. Поэтому другое название этих систем - аддитивные. Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел; 2. невозможно представлять дробные и отрицательные числа; 3. сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Обозначение чисел и счет в Древнем Египте это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила; это изображение лотоса; "в больших числах будь внимателен!" – говорит поднятый вверх указательный палец; это головастик; человек с поднятыми вверх руками; египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая наименьшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел и в результате расчеты выглядели довольно громоздко. Например, для записи целого числа 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы:

Римская система счисления В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец)для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и ЕДИНИЦ Ы ДЕСЯТКИСОТНИТЫСЯЧИ 1I10X100C1000M 2II20XX200CC2000MM 3III30XXX300CCC3000MMM 4IV40XL400CD 5V50L500D 6VI60LX600DC 7VII70LXX700DCC 8VIII80LXXX800DCCC 9IX90XC900CM VII=5+1+1=7; IX=10-1=9

Алфавитные системы счисления. Древнегреческая нумерация. В Древней Греции числа 1,2,….9 обозначали первыми девятью буквами греческого алфавита: ά (Альфа) = 1, β (Бета) = 2, γ (Гамма) = 3 и т.д.. Для обозначения десятков применялись следующие девять букв, для сотен последние 9 букв. Для того чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку

Славянская кириллическая нумерация Знак, обозначающий цифру («титло»)

При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Остальные числа записывались буквами слева направо. Например, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение. Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но слева внизу у них ставился специальный знак

Десятки тысяч назывались «тьмами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками : ; ; Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из точек: ; Миллионы назывались «леордами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из лучей запятых: или Десятки миллионов назывались «воронами» их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков: Сотни миллионов назывались «колодами», буква заключалась в квадратные скобки: В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет».

Позиционные системы счисления. Система счисления называется позиционной, если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа. Например, число 3333 – три тысячи триста тридцать три. Первая тройка слева - это три тысячи, вторая - три сотни, третья - три десятка, четвертая – три единицы. Число 3333 можно представить в таком виде 3* * * Т.е. для представления этого числа используется умножение (по – английски multiplication),отсюда название этой системы мультипликативная. Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

Вавилонская система счисления. Простейшими цифрами в их системе служили два знака: вертикальный клин для обозначения 1 и горизонтальный клин для 10. Числа от 1 до 59 записывались с помощью этих двух знаков, как в обычной иероглифической системе. Например: число 23 изображали так:. Данная система называлась шестидесятеричной. Число 60 снова обозначалось знаком, например число 92 записывали так:. Промежуточные разряды обозначались специальным знаком, который выполнял роль нуля, но при этом отсутствие младших разрядов не обозначалось никак. Так, число могло обозначать и 3 и 180 = 3*60 и = 3*60*60. Различать такие числа можно было только по смыслу. Отголоски этой системы проявляются в обыкновении делить час на 60 мин, 1 мин на 60 секунд, полный угол на 360 градусов.

Древнекитайская десятеричная система счисления. Возникла эта система около тысяч лет тому назад в Китае. Она является одной из старейших и самых прогрессивных, так как в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы пользуемся. Числа записывались слева направо, от больших к меньшим. Для обозначения пустого разряда использовался специальный знак – аналог нашего нуля. Интересен тот факт, что первыми изобрели нуль во всех его смыслах индийские математики в VII века н.э., до этого он выполнял роль пробела. Пример мультипликативной (используется умножение), десятичной, позиционной записи. 5 * * = 548

История «арабских» чисел. История привычных «арабских» чисел запутана и возникла благодаря древним астрономам, их точным расчетам. Примерно во II веке до н.э. греческие астрономы познакомились с наблюдениями вавилонян, переняли их позиционную систему счисления. Целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Для обозначения нуля использовали первую букву греческого слова Ouden - ничто. Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией, переняв шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль, соединили греческую нумерацию с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Арабы, в свою очередь первыми оценили, усвоили и и перенесли ее в Европу, упростили знаки, и они приобрели вид, получив название арабской. В XII веке нашей эры она распространилась по всей Европе, так как была удобнее и проще. Слово «цифра» тоже перешло к нам от арабов по наследству нуль или «пусто», называли «сифра». Сейчас цифрами называются все десять знаков для записи чисел.

Позиционных систем счисления достаточно много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, десятичная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная и т.д. и каждая из них имеет свою историю. Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет. Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна 10, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на обоих руках 10 пальцев. Если добавить пальцы и на ногах, то двадцатеричная система. Происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев. Если двенадцать умножить на пять получим шестидесятеричную систему.

Двоичная система счисления. Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную: Каждая предыдущая цифра в 2 раза больше последующей: и т.д. Пусть имеется число , его можно представить так: = 1*1 + 0*2 + 1*4 + 1*8 + 1*16 + 1*32 = или каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, возвести в степень соответствующую положению символа в записи числа и все произведения сложить. Перевод целых десятичных чисел в двоичный код: Данный способ основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным =

Двоичная система счисления. Применяется в технических устройствах. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры 1 и 0, так как они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» и «выключено» Каждый символ представляется цепочкой из 8 нулей и единиц (всего существует 256 цепочек). Такое представление называется двоичным или цифровым кодированием. Соответствие символов и кодов задается с помощью специальных кодовых таблиц.

СимволДесятичный кодДвоичный кодСимволДесятичный кодДвоичный код Пробел ! * +, -. / = ? АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПАБВГДЕЖЗИЙКЛМНОП РСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ Т

Двоичное кодирование графической информации Черно-белое изображение: – белая клетка 1 – черная клетка

Цветное изображение Каждый пиксель имеет цвет. Все цвета можно пронумеровать, а каждый номер перевести в двоичный код. ПиксельПиксель

Пятеричная система счисления. В качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов. Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами одной руки. Рассмотрим пятеричную систему счисления: Переведем число 34 из пятеричной систему счисления в десятичную: 34 5 = 3* *5 0 = 15+4=19 10 и наоборот из десятичной в пятеричную: = 34 5

Десятичная система счисления. Система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни. В ней используется десять различных знаков (цифры 0,1,2,3….9 ). Из двух написанных рядом одинаковых цифр предыдуща цифра в 10 раз больше последующей. В десятичном числе 255 = 2*100+5*10+5*1 цифры « 5 », находящаяся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 5 десятков и 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию, ее «вес» изменится в 10 раз. Перевод чисел из одной системы в другую осуществляется по аналогии с предыдущими системами. Позиционный принцип и цифровое обозначение могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, кроме единицы.

Восьмеричная система счисления. Используются цифры от 0 до Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекся этой системой и собирался ввести ее как общегосударственную

Двенадцатеричная система счисления. Число 12 (дюжина)была широко распространена и в Европе, и в России, но постепенно уступила свое место десятке. Для счета использовались только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг. Дюжина прочно вошла в нашу жизнь: В сутках две дюжины часов Час делится на пять дюжин минут Столовые сервизы на 6 или 12 персон Набор карандашей или фломастеров: 6, 12 или 24

Изучая исторические процессы развития общества мы выяснили, что понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Нами была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью их выражения знаками. Мы узнали о существовании различных теорий о происхождении чисел и пришли к выводу, что самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. В процессе исследования и с целью выявления осведомленности одноклассников о многообразии чисел нами было проведено анкетирование.

Вопросы анкеты : Вопросы анкеты : 1) Что такое число? 2) Что такое цифры? 3) Что обозначало слово «цифра»? 4) Откуда оно пришло к нам? Изменилось ли его значение со временем? Почему нами используется десятичная система счисления? Результаты были следующие: 80 % - учащихся знают, что такое число; 100 % - что такое цифра; 40% - учащихся знают, что означало слово «цифра» и имеют представление об истории происхождения. 70 % - почему нами используется десятичная система счисления.

Список литературы: Александров Э., Левшин В. «В лабиринте чисел».- М., 1997 Босова Л.Л. Информатика: учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, – 208 с.: ил. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г. Перельман Я.И. Занимательная математика: Е.: Издательство «Тезис», 1994 г. Рыбников К.А. История математики. М.: Наука, 1994 г. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990 г.