Сартаков Алексей Класс 9А Школа МОУ СОШ 68 Учитель информатики Гунер Людмила Николаевна Предмет геометрия Тема урока-презентации Решение олимпиадной задачи

Условие олимпиадной задачи по геометрии Дан треугольник ABC. Проведен отрезок BD. (D лежит на прямой AC). Где должна располагаться т.D, чтобы сумма радиусов окружностей, описанных около ABD и CBD была наименьшей. Примечание. Разбор решения предложенной задачи служит целям подготовки к олимпиаде по геометрии

Решение задачи Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два случая: 1) Точка D располагается на пересечении высоты треугольника ABC и прямой AC 2) Точка D не принадлежит высоте треугольника ABC 3) Сопоставление двух случаев

Случай первый (чертеж) Далее Назад

К чертежу 1) BD – высота ABC. Центры описанных окружностей около ABD и CBD (M и N) лежат на срединном перпендикуляре к BD. BH=HD; BDMHописанных окружностей ABD и CBD прямоугольные, значит центр описанной окружности лежит на их гипотенузах. BDMH и ADMH => MHAD; MHAD и BH=HD => NC=NB и AM=MB по теореме Фалесатеореме Фалеса Далее

2) MHAD => BAC =BMN и BCA=BNM как соответственные углы между при параллельных углах и секущей => ABC подобен MDN по первому признаку подобия треугольников соответственные углы между при параллельных углах и секущей признаку подобия треугольников AB=2AM=>AM:AB=CN:CB=AC:MN=1:2 3) M и N лежат на срединных перпендикулярах к AD и CD => AM=MD и CN=ND по теореме о срединных перпендикулярах => AM=MD=MB CN=ND=NBтеореме о срединных перпендикулярах а)MD=MB б)ND=NB в)MN- общая => MNB=MND по третьему признаку равенства треугольниковпризнаку равенства треугольников 4) Из 2 и 3 следует, что AB+BC=2(MD+ND) К чертежуНазадСледующий случай

Случай второй (чертеж) Далее Назад

К чертежуДалее Докажем, что ABC подобен MDN: 1) а) ABD – вписанный в окр.(M;R=MD) и опирается на дугу AH 1 D. AMD – центральный, равный дуге AH 1 D. Отсюда AMD = 2ABD. AMD и DNC – равнобедренные по теореме о срединных перпендикулярах => AMH 1 = DMH 1 и DNH 2 = CNH 2. Отсюда DMH1 = ABD.вписанный в окр.(M;R=MD) и опирается на дугу AH 1 Dтеореме о срединных перпендикулярах б) DBC – вписанный в окр.(N;R=ND) и опирается на дугу DH 2 C. AMD – центральный, равный дуге DH 2 C. Отсюда DNC = 2DBC. Из а) и б) следует, что DNH 2 = CNH 2. Отсюда DNH 1 = DBC.вписанный в окр.(N;R=ND) и опирается на дугу DH 2 C в) ABC=ABD+ CBD; MDN=MDP + NDP;

К чертежуНазад DMH 1 = PDM и DNH 2 =NDP как накрестлежащие углы при параллельных прямых и секущей. накрестлежащие углы при параллельных прямых и секущей. г) DMH 1 = ABD и DNH 1 = DBC.Из в) и г) следует, что ABC =MDN 2) а) BAC – вписанный в окр.(M;R=MD) и опирается на дугу CB. DMB – центральный, равный дуге BC. Отсюда DMB = 2BAC.вписанный в окр.(M;R=MD) и опирается на дугу CB б) а)DO=OB; б) MOD=MOB; в) MO – общая => DMO= BMO => DMO= BMO в) Из а) и б) следует, что BAC = DMN Из 1) и 2) следует, что ABC подобен MDN. AB:MD = BC:ND = AC:MN = k; Далее

К чертежуНазад Теперь докажем, что k AB

Сопоставление двух случаев В первом случае мы получили, что сумма радиусов окружностей треугольников ABD и CBD равны половине суммы сторон AB и BC AB+BC=2(MD+ND) Во втором же случае мы получили, что сумма радиусов окружностей треугольников ABD и CBD больше половины суммы сторон AB и BC AB+BC

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается Следствие: Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны Следствие: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой

Теорема о срединных перпендикулярах Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка

Теорема о накрестлежащих углах при параллельных прямых и секущей Накрестлежащие углы при параллельных прямых и секущей равны

Теорема о соответственных углах при параллельных прямых и секущей Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны

Описанная окружность Около всякого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Признаки подобия треугольников Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Признаки равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то такие треугольники равны. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и углы, между этими сторонами равны, то такие треугольники равны. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.

Источники информации Л.С.Атанасян и др. Геометрия 7-9 класс для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, Примечание. Предложенное решение является авторским. Автор: Сартаков Алексей 9А класс МОУ СОШ 68