Введение в физические свойства твёрдых тел Лекция 1. План занятий. Организационные вопросы. Предмет изучения. Способы классификации. Основные понятия. Тензорное описание физических величин

2 Знакомство Просанов Игорь Юрьевич Доктор физ.-мат. наук, специализация: физика конденсированного состояния Место работы: Институт химии твёрдого тела и механохимии (ИХТТМ), лаборатория ИК и КР спектроскопии, т

3 План учебной дисциплины Введение. Предмет изучения. Постановка задачи. Основные понятия Тензорное описание физических величин Механические свойства твёрдых тел Тепловые свойства твёрдых тел. Колебания кристаллической решётки. Фононы. Теория теплоёмкости твёрдых тел Энергия кристаллической решётки

4 План учебной дисциплины Электрические и магнитные свойства твёрдых тел Адиабатическое приближение Энергетические уровни и плотность состояний электронов Статистика Ферми Энергетические зоны Электропроводность и электронная теплопроводность Термоэлектрический эффект Электронная теория дисперсии Диа-, пара- и ферромагнетизм

5 План учебной дисциплины Оптические свойства твёрдых тел Поглощение и рассеяние света в твёрдом теле Распространение света в кристаллах. Оптическая анизотропия кристаллов Фотопроводимость и фотоЭДС Люминесценция Нелинейные оптические эффекты

6 Формы контроля Письменные опросы минут на каждом занятии Итоговый экзамен

7 Литература Дж. Най. Физические свойства кристаллов. М.: «Мир», Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. Основы кристаллофизики. М.: «Наука», У. Вустер. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М.: «Мир», Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. М.: «Наука», 1978.

8 Литература Физические величины. Справочник. Гл.2. Симметрийное и тензорное описание физических свойств кристаллов. М.: «Энергоатомиздат», А.Келли, Г.Гровс Кристаллография и дефекты в кристаллах. М.: «Мир», Современная кристаллография т.4 Физические свойства кристаллов. Под ред. Б.К.Вайнштейна, М.: «Наука», 1981.

9 Введение Основные понятия Физические свойства Твёрдое тело Физическое свойство – это соотношение между определёнными измеримыми физическими величинами, характеризующими объект Физическая величина – это свойство (характеристика) физического объекта или процесса, которое можно измерить

10 Предмет изучения и постановка задачи Между некоторыми свойствами и структурой вещества можно установить теоретические и экспериментальные зависимости Задача ХТТ - направленный синтез материалов с необходимыми свойствами на основе знаний взаимосвязи структура – свойства Предмет изучения в данном курсе –физические свойства, способы их описания и взаимосвязь со структурой т.т.

11 Введение Далее мы будем рассматривать физические свойства вещества. В противоположность им можно указать свойства пространства, в которое это вещество помещено Соответственно, различают тензоры «материальные» - описывающие свойства кристалла и «полевые» - описывающие воздействие на кристалл

12 Введение Твёрдое тело (?) сохраняет свою форму если на него не действуют силы Более определённым является понятие конденсированного состояния Важный класс твёрдых тел составляют кристаллические вещества

13 Введение Физика конденсированного состояния Физика твёрдого тела Физика полупроводников Физика металлов Физика диэлектриков Кристаллофизика Физика неупорядоченных систем

14 Введение Существуют различные способы классификации твёрдых тел Кристаллические и неупорядоченные системы Металлы, полупроводники и диэлектрики Металлы, ионные и валентные кристаллы, полупроводники и молекулярные кристаллы Свойства твёрдых тел в значительной мере определяются их структурой, т.е. порядком расположения атомов и молекул в пространстве.

15 Введение Физические свойства могут быть представлены различными математическими объектами: скалярами, векторами, тензорами и др. Скалярная величина представляется числом. Например, температура, плотность. Векторы бывают аксиальные и полярные, коллинеарные, компланарные, свободные, скользящие и связанные

16 Тензорное описание физических величин Для рассмотрения более сложных физических величин вводят понятие тензора Тензор (второго ранга) является математическим оператором, задающим некоторое правило преобразования векторов. При действии тензора на вектор получается другой вектор a i =T ik b k ;

17 Тензорное описание физических величин В векторном анализе тензором второго ранга называют функцию точки, которая заданному в этой точке вектору ставит в соответствие другой вектор, причём соответствие между векторами является линейным Тензор высшего ранга ставит каждому вектору в соответствие тензор на единицу меньшего ранга

18 Тензорное описание физических величин Тензоры второго ранга можно представить в виде матриц размерности 3 3 Нельзя отождествлять тензоры и матрицы Тензор описывает свойства вещества и его конкретный вид зависит от выбора системы координат Подобно вектору, тензору второго ранга можно сопоставить геометрический образ. Он называется характеристической поверхностью

19 Тензорное описание физических величин

20 Обозначение тензоров В виде оператора В виде матрицы Символ с индексами: T ik. Первый индекс нумерует строки, а второй столбцы. Каждый индекс принимает значения от 1 до 3

21 Действия с тензорами Преобразование векторов с помощью тензора записываются в виде:

22 Действия с тензорами Используется сокращённая форма записи действий с тензорами: a i =T ik b k. Здесь подразумевается суммирование по паре соседних повторяющихся индексов, т.е. по k: a 1 =T 11 b 1 +T 12 b 2 +T 13 b 3 a 2 =T 21 b 1 +T 22 b 2 +T 23 b 3 a 3 =T 31 b 1 +T 32 b 2 +T 33 b 3

23 Свойства тензоров При повороте системы координат вид матрицы, представляющей тензор, изменяется Преобразование координат при повороте можно описать с помощью направляющих косинусов x =xcosα xx +ycosα yx +zcosα zx аналогично для y и z, где α xx – угол между старой осью х и новой x и т.д.

24 Свойства тензоров Из направляющих косинусов можно составить матрицу преобразования

25 Свойства тензоров Преобразование вектора при повороте осей координат можно записать как p ik =a ik p k или:

26 Свойства тензоров Можно показать, что при повороте осей координат тензор преобразуется следующим образом: T=ATA*, где А* - транспонированная матрица преобразования Другой способ записи: T ij =a ik T kl a* lj Тензор второго ранга можно определить как матрицу 3х3, преобразующуюся указанным образом при поворотах системы координат

27 Тензорное описание физических величин Тензор второго ранга не обязательно связывает два вектора. Он может связывать скаляр и тензор второго ранга Примеры: Тепловое расширение: ε ik =α ik ΔT Пьезокалорический эффект: ΔS=α ik σ ki Термическое напряжение, теплота деформации, деформация при гидростатическом сжатии

28 Тензорное описание физических величин Не все физические величины могут быть описаны с помощью тензоров Примеры не тензорных свойств: Диэлектрическая прочность Предел текучести и напряжение разрыва Показатель преломления Коэффициент экстинкции

29 Тензорное описание физических величин Виды тензоров Симметричные и антисимметричные Шаровые и девиаторы Проектирования на ось и на плоскость Тензор поворота

30 Тензорное описание физических величин Единичный тензор: I. Его вид не зависит от выбора системы координат Шаровый тензор λI преобразует векторы в коллинеарные им векторы большей в λ раз длины

31 Тензорное описание физических величин Из единичного вектора k=(k 1 k 2 k 3 ) можно построить тензор kk проекции на направление k

32 Тензорное описание физических величин Проектирование вектора на плоскость, перпендикулярную единичному вектору k, осуществляется тензором I-kk Поворот векторов вокруг оси k на угол φ осуществляется тензором R(k,φ)=Icosφ- Ixksinφ+kk(1-cosφ)

33 Тензорное описание физических величин Если определитель тензора Т не равен нулю, то можно построить обратный ему тензор Р (обозначается Р=Т -1 ), такой, что РТ=ТР=I У тензоров проектирования на ось и на плоскость обратных тензоров нет Тензор второго ранга можно транспонировать, т.е. поменять друг на друга значения его компонентов с переставленными местами индексами: Т* ik =T ki

34 Тензорное описание физических величин Тензор называется симметричным, если он не изменяется при транспонировании Тензор называется антисимметричным, если при транспонировании получается такой же тензор со знаком «-» Любой тензор можно разложить на симметричную S=1/2(T+T*) и антисимметричную A=1/2(T-T*) части. T=S+A

35 Тензорное описание физических величин Симметричный тензор можно представить как сумму шаровой части и остатка, называемого девиатором След шаровой части равен следу исходного тензора, а след девиатора равен нулю Тензоры второго ранга можно рассматривать как результат дифференцирования векторной функции по вектору или двукратного дифференцирования скалярной функции по вектору

36 Тензорное описание физических величин Симметричный тензор второго ранга имеет три вещественных собственных значения Это означает, что определённым выбором системы координат он может быть приведён к диагональному виду. Три его диагональных компоненты и будут являться собственными значениями, а новые координатные оси выбраны ортогональными друг другу и параллельными собственным векторам

37 Тензорное описание физических величин Иначе говорят, что тензор отнесён к своим главным осям, а его диагональные компоненты называются главными компонентами тензора

38 Тензорное описание физических величин Если воздействие на кристалл направлено параллельно главной оси, то вектор, описывающий отклик, направлен вдоль той же главной оси В случае электропроводности: j 1 =σ 1 E 1, j 2 =σ 2 E 2, j 3 =σ 3 E 3, где σ 1, σ 2 и σ 3 – главные компоненты тензора удельной электропроводности

39 Тензорное описание физических величин В общем случае, чтобы построить тензор некоторого физического свойства надо сделать следующее: 1. Выбрать ортогональную систему координат и сориентировать в ней кристалл определённым образом 2. Приложить единичное воздействие на кристалл вдоль оси Х 1 3. Измерить 3 числа: отклики на воздействие вдоль осей Х 1, Х 2 и Х 3. Эти числа будут соответственно компонентами тензора Т 11, Т 12 и Т Повторить п.2 и 3 для осей Х 2 и Х 3

40 Тензорное описание физических величин Ортогональная система координат, относительно которой ориентируются кристаллографические оси, называется кристаллофизической системой координат Она отличается от кристаллографической системы координат Существуют определённые правила выбора кристаллофизической системы координат Они допускают некоторые варианты.

41 Величина, характеризующая физическое свойство в данном направлении Часто основной интерес представляет величина физического свойства в направлении, в котором приложено воздействие Найдём аналитическое выражение для неё

42 Величина, характеризующая физическое свойство в данном направлении Если оси координат совпадают с главными осями, то вектор воздействия: q=q(cosα,cosβ,cosγ), а отклик: p=q(T xx cosα,T yy cosβ,T zz cosγ) Проекция p на q: p q =(pq)/q= q(T xx cos 2 α+T yy cos 2 β+T zz cos 2 γ) Величина свойства: T q =p q /q= T xx cos 2 α+T yy cos 2 β+T zz cos 2 γ X3X3 X1X1 q2q2 q1q1 q3q3 q X2X2

43 Величина, характеризующая физическое свойство в данном направлении Для случая произвольной ориентации кристалла можно получить: Т q =T 11 cos 2 α+T 22 cos 2 β+T 33 cos 2 γ+ 2T 12 cosαcosβ+2T 13 cosαcosγ+2T 23 cosβcosγ или в другой записи: Т q =T ik l i l k, где l i – направляющие косинусы углов между вектором q и осью X i

44 Тензорное описание физических величин Существует аналогия между свойствами симметричных тензоров второго порядка и поверхностями второго порядка, задаваемыми уравнением: S ik x i x k =1 На основе этой аналогии можно дать геометрическую интерпретацию симметричного тензора второго порядка

45 Тензорное описание физических величин Аналогия между тензором и поверхностью второго порядка заключается в том, что они одинаковым образом преобразуются при переходе к другой системе координат Подходящим выбором системы координат можно привести уравнение поверхности второго порядка к простому виду: S 1 x 1 2 +S 2 x 2 2 +S 3 x 3 2 =1(*)

46 Тензорное описание физических величин Если все коэффициенты в (*) положительны, то (*) задаёт поверхность в форме эллипсоида

47 Тензорное описание физических величин Если два коэффициента положительны, а один отрицателен, то поверхность (*) является однополостным гиперболоидом

48 Тензорное описание физических величин Если один коэффициент положителен, а два отрицательны, то поверхность (*) является двуполостным гиперболоидом

49 Тензорное описание физических величин Если все три коэффициента отрицательны, то поверхность является мнимым эллипсоидом Симметрия характеристической поверхности совпадает с симметрией физического свойства, описываемого соответствующим тензором

50 Тензорное описание физических величин Большинство физических свойств кристаллов, представляющих интерес и описываемых тензорами второго порядка соответствуют именно симметричным тензорам Примером несимметричного тензора может служить термоэлектрический тензор

51 Тензорное описание физических величин Симметричность тензора устанавливается на основе термодинамических соотношений У симметричного тензора, отнесённого к произвольным осям число независимых компонент равно шести Если тензор приведён к главным осям, то число независимых компонент – три, но ещё три числа нужны для определения направления главных осей Таким образом число «степеней свободы» тензора второго порядка - шесть

52 Геометрические свойства характеристической поверхности Величина физического свойства определённым образом связана с геометрией характеристической поверхности Главные компоненты T xx, T yy и T zz тензора выражаются через длины a, b и c полуосей х. поверхности

53 Геометрические свойства характеристической поверхности Пусть х. поверхность – эллипсоид и r – радиус- вектор от её центра до некоторой точки на поверхности. Тогда значение физического свойства в направлении r: T r =1/r 2

54 Геометрические свойства характеристической поверхности Если тензор действует на вектор q параллельный r, то результирующий вектор p=Tq перпендикулярен характеристической поверхности в соответствующей точке p

55 Геометрические свойства характеристической поверхности Если х. поверхность является гиперболоидом или мнимым эллипсоидом, то не для всех направлений можно выполнить указанные построения Тогда надо рассмотреть поверхность: Т 11 x 1 2 +Т 22 x 2 2 +Т 33 x 3 2 =-1 для которой радиус- векторы становятся определёнными, T r =-1/r 2 и это значит, что векторы р откладываются в обратную сторону (внутрь гиперболоида или эллипсоида)

56 Указательная поверхность Другой способ представления симметричного тензора второго ранга – использование указательной поверхности Она образована концами всех радиусов векторов, равных по величине значению физического свойства в соответствующем направлении r(n)=n S n=S ij n i n j Для отрицательного свойства поверхность меняет цвет

57 Указательная поверхность а) S 3 >S 2 >S 1 >0 б) S 1 >S 2 >0>S 3 в) S 3 >S 2 =S 3 >0 г) S 3 >0>S 2 =S 3 д) S 3 =S 2 =S 1 >0

58 Влияние симметрии кристаллов на их свойства Принцип Неймана: Элементы симметрии физического свойства должны включать в себя элементы симметрии точечной группы кристалла. Симметрия физического свойства может быть выше точечной симметрии кристалла, но не может быть ниже.

59 Влияние симметрии кристаллов на их свойства 1. Для кристаллов высшей симметрии (кубических) характерно наличие четырёх осей третьего порядка Согласно принципу Неймана эти же оси должны быть и у соответствующей характеристической поверхности Это возможно только в том случае, когда характеристическая поверхность - сфера

60 Влияние симметрии кристаллов на их свойства В случае сферической характеристической поверхности тензор имеет вид диагональной матрицы с одинаковыми значениями диагональных элементов. Его вид не зависит от поворота системы координат Следовательно, симметричный тензор второго ранга, характеризующий некоторое физическое свойство кубического кристалла, имеет один параметр Т.о. кубические структуры можно назвать изотропными в отношении свойств, описываемых симметричными тензорами второго ранга

61 Влияние симметрии кристаллов на их свойства 2.У кристаллов средних сингоний или, по оптической терминологии, одноосных систем (тетрагональной, гексагональной и тригональной) поверхность второго порядка должна иметь поворотную ось четвёртого, шестого или третьего порядка, если она является поверхностью вращения вокруг этой оси Такая поверхность будет иметь все остальные элементы симметрии одноосных систем

62 Влияние симметрии кристаллов на их свойства Параметрами характеристической поверхности будут длины её большой и малой полуосей, т.е. два независимых элемента При этом одну из осей координат надо ориентировать вдоль главной оси. Положение остальных двух осей несущественно Матрица, представляющая тензор при этом будет иметь диагональный вид с двумя одинаковыми диагональными элементами

63 Влияние симметрии кристаллов на их свойства 3.Низшие системы (орторомбическая, моноклинная, триклинная) В орторомбической системе имеются три взаимно перпендикулярные оси второго порядка Чтобы элементы симметрии х. поверхности совпали с элементами симметрии кристаллической структуры, необходимо сориентировать оси х. поверхности и структуры

64 Влияние симметрии кристаллов на их свойства Все остальные элементы симметрии структур тетрагональной системы у х. поверхности имеются автоматически Соответствующая матрица имеет диагональный вид с тремя разными значениями диагональных элементов

65 Влияние симметрии кристаллов на их свойства В случае моноклинной системы единственная ось симметрии кристалла второго порядка выбирается вдоль одной из осей х. поверхности Чтобы определить значения полуосей х. поверхности, необходимо задать три числа. Четвёртое число характеризует поворот х. поверхности вокруг выбранной оси

66 Влияние симметрии кристаллов на их свойства У матрицы, представляющей тензор, на главной диагонали будут стоять три разных числа Ещё одно число надо поместить в такую позицию (и симметричную ей), чтобы вид матрицы не изменялся при повороте вокруг фиксированной оси Если это ось z, то это будет элемент Т 11 (и Т 21. Если фиксирована ось У, то Т 13 (и Т 31 )

67 Влияние симметрии кристаллов на их свойства Для триклинной системы число независимых параметров характеристической поверхности так же как и число независимых элементов матрицы тензора физического свойства равно шести Эти числа определяют значения длин полуосей х. поверхности и её ориентацию относительно кристаллической решётки

68

69 Влияние симметрии кристаллов на их свойства Принцип Кюри – ещё один постулат, позволяющий определить симметрию физического свойства Кристалл при внешнем воздействии изменяет свою точечную симметрию, но сохраняет элементы симметрии, общие с симметрией воздействия

70 Заключение Многие, но не все, физические свойства вещества могут быть представлены такими математическими объектами как скаляр, вектор и симметричный тензор второго порядка Векторы и тензоры второго порядка можно представлять матрицами или геометрическими образами (направленным отрезком и характеристической поверхностью второго порядка соответственно)

71 Заключение Симметрия кристалла накладывает условия на симметрию его физических свойств Кристаллы высшей симметрии изотропны в отношении физических свойств, описываемых симметричными тензорами второго ранга

72 Контрольные вопросы Что такое физическое свойство? Что такое физическая величина? Что называется твёрдым телом? Привести классификацию твёрдых тел Что называется тензором? Какие есть виды тензоров? Привести примеры тензорных свойств Как определяются компоненты тензора?

73 Контрольные вопросы Каким свойством обладает тензор? Чем он отличается от матрицы? Для чего используют тензоры? Привести примеры не тензорных свойств. Почему их нельзя описать тензорами? Что такое собственное значение и собственный вектор? Сколько независимых компонент содержит тензор второго ранга?

74 Контрольные вопросы Как определить направление вектора отклика, связанного с вектором воздействия тензорной величиной? Что такое главные оси? Что такое характеристическая поверхность? Какими могут быть характеристические поверхности второго порядка?

75 Контрольные вопросы Какова связь между тензором второго ранга и характеристической поверхностью? Как выражается величина физического свойства в направлении воздействия через компоненты тензора этого свойства? Как связаны компоненты тензора с параметрами характеристической поверхности?

76 Контрольные вопросы В чём особенность физических свойств, описываемых характеристической поверхностью в форме гиперболоида или мнимого эллипсоида? В чём заключается принцип Неймана? Какие следствия имеет принцип Неймана применительно к физическим свойствам кубических кристаллов, описывающихся тензорами второго ранга?

77 Контрольные вопросы Какие следствия имеет принцип Неймана применительно к физическим свойствам кристаллов средних сингоний? Какие следствия имеет принцип Неймана применительно к физическим свойствам кристаллов орторомбической системы? Какие следствия имеет принцип Неймана применительно к физическим свойствам кристаллов моноклинной системы?

78