ТЕМА 3. Моделирование сферы производства 3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат Основные виды производственных функций Моделирование производственной сферы: основные понятия Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат Основные виды производственных функций.

3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия

Основные обозначения X = (x i ) - вектор затрат ресурсов, i М, М = {1,..., m}; Y = (у j ) вектор объемов производства, j N, N = {1,..., n}. Все виды ресурсов можно разбить на два подмножества: X 1 = (x i1 ) воспроизводимые ресурсы (они же продукты), i 1 М 1, M 1 N; X 2 = (x i2 ) невоспроизводимые ресурсы, i 2 М 2. Объемы невоспроизводимых ресурсов в каждый данный момент ограничены: Х 2 R. X = (x i ) - вектор затрат ресурсов, i М, М = {1,..., m}; Y = (у j ) вектор объемов производства, j N, N = {1,..., n}. Все виды ресурсов можно разбить на два подмножества: X 1 = (x i1 ) воспроизводимые ресурсы (они же продукты), i 1 М 1, M 1 N; X 2 = (x i2 ) невоспроизводимые ресурсы, i 2 М 2. Объемы невоспроизводимых ресурсов в каждый данный момент ограничены: Х 2 R.

Общие свойства системы При моделировании сферы производства среди различных пар векторов (X, У) рассматриваются только технологически допустимые пары, которые называются технологиями. Технологическая допустимость означает возможность получить из затрачиваемых (используемых) ингредиентов вектора X вектор продукции Y. Совокупность всевозможных допустимых технологий (X, Y) образует технологическое множество национальной экономики Z. При моделировании сферы производства среди различных пар векторов (X, У) рассматриваются только технологически допустимые пары, которые называются технологиями. Технологическая допустимость означает возможность получить из затрачиваемых (используемых) ингредиентов вектора X вектор продукции Y. Совокупность всевозможных допустимых технологий (X, Y) образует технологическое множество национальной экономики Z. Технологическая допустимость

Технология (X 1, Y 1 ) называется более эффективной, чем (X 2, Y 2 ), если выполняется соотношение: X 1, Х 2, Y 1 Y 2, т.е. по первой технологии затраты не больше, а выпуски не меньше, причем хотя бы по одному ингредиенту затрат или выпуска имеет место строгое неравенство. Технология (X*, Y*) называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует другой допустимой технологии, более эффективной, чем (X*, Y*). Множество всех эффективных технологий - Z*. Технология (X 1, Y 1 ) называется более эффективной, чем (X 2, Y 2 ), если выполняется соотношение: X 1, Х 2, Y 1 Y 2, т.е. по первой технологии затраты не больше, а выпуски не меньше, причем хотя бы по одному ингредиенту затрат или выпуска имеет место строгое неравенство. Технология (X*, Y*) называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует другой допустимой технологии, более эффективной, чем (X*, Y*). Множество всех эффективных технологий - Z*. Общие свойства системы Эффективная технология

Производственные возможности Множество производственных возможностей национальной экономики может быть представлено в виде:

Производственная функция y j = f j (X j ), X j = (x 1j,..., x mj ) характеризует максимально возможный объем выпуска продукта j в зависимости от использования разнообразных ресурсов. Производственная функция y j = f j (X j ), X j = (x 1j,..., x mj ) характеризует максимально возможный объем выпуска продукта j в зависимости от использования разнообразных ресурсов.

Типы производственных функций 1.По количеству учитываемых факторов: -однофакторная ПФ: y = f (x); -многофакторная ПФ: y = f(x 1,…, x m ). 2. По характеру взаимосвязи факторов: - производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами; -производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами. 3.По способу отражения фактора времени: -статические; -- динамические. 1.По количеству учитываемых факторов: -однофакторная ПФ: y = f (x); -многофакторная ПФ: y = f(x 1,…, x m ). 2. По характеру взаимосвязи факторов: - производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами; -производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами. 3.По способу отражения фактора времени: -статические; -- динамические.

Функция x i = φ i (Y) называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов. В экономическом анализе чаще всего применяются функции затрат на производство одного продукта: x ij = φ ij (y j ) Функции производственных затрат могут быть представлены как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами. Функция x i = φ i (Y) называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов. В экономическом анализе чаще всего применяются функции затрат на производство одного продукта: x ij = φ ij (y j ) Функции производственных затрат могут быть представлены как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами. Основные характеристики системы: 2. Функция и цель. Функция производственных затрат

3.2. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами

Взаимозаменяемость ресурсов в производственной функции у j = f j (X j ) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях ресурсов. Основные свойства: а) если X = 0, то у = 0; б) если Х А Х B, то f(X A ) f(X B ), причем если Х А > Х B, то f(X A ) > f (Х B ); в) у > 0 при X > 0. Если у = 0 при положительных затратах некоторых ресурсов, но при x s = 0, то это означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства. Взаимозаменяемость ресурсов в производственной функции у j = f j (X j ) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях ресурсов. Основные свойства: а) если X = 0, то у = 0; б) если Х А Х B, то f(X A ) f(X B ), причем если Х А > Х B, то f(X A ) > f (Х B ); в) у > 0 при X > 0. Если у = 0 при положительных затратах некоторых ресурсов, но при x s = 0, то это означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: общие свойства

Изокванта - множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(X) = q. Свойства изоквант: они никогда не пересекаются друг с другом; большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат. Изокванта - множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(X) = q. Свойства изоквант: они никогда не пересекаются друг с другом; большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: общие свойства

1.Средняя эффективность использования ресурса i. 1.Средняя эффективность использования ресурса i. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

2. Предельная эффективность использования ресурса i. Величина ν i 0 показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат ресурса i на малую единицу. Если < 0, это означает, что предельная эффективность ресурса i падает. 2. Предельная эффективность использования ресурса i. Величина ν i 0 показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат ресурса i на малую единицу. Если < 0, это означает, что предельная эффективность ресурса i падает. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

3. Эквивалентная замена ресурсов. Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х° = (x 0 i ): Для двух ресурсов: 3. Эквивалентная замена ресурсов. Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х° = (x 0 i ): Для двух ресурсов: Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

3. Эквивалентная замена ресурсов. Предельная норма эквивалентной заменяемости ресурсов k и l: Изоклинали – кривые, отображающие комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы. 3. Эквивалентная замена ресурсов. Предельная норма эквивалентной заменяемости ресурсов k и l: Изоклинали – кривые, отображающие комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

Изокванты и изоклинали производственной функции Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

4. Эластичность выпуска. Коэффициент эластичности выпуска от затрат ресурса i показывает, на сколько процентов увеличится выпуск продукта при увеличении затрат i-того ресурса на 1% и при неизменных затратах других ресурсов: 4. Эластичность выпуска. Коэффициент эластичности выпуска от затрат ресурса i показывает, на сколько процентов увеличится выпуск продукта при увеличении затрат i-того ресурса на 1% и при неизменных затратах других ресурсов: Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

4. Эластичность выпуска. или для некоторых интервалов изменения компонент вектора X 0 : 4. Эластичность выпуска. или для некоторых интервалов изменения компонент вектора X 0 : Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

5. Эластичность взаимозамены ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозамены ресурсов показывает, на сколько изменится соотношение затрат ресурсов факторов производства при изменении предельной нормы их замещения на 1% при сохранении объема производства. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. 5. Эластичность взаимозамены ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозамены ресурсов показывает, на сколько изменится соотношение затрат ресурсов факторов производства при изменении предельной нормы их замещения на 1% при сохранении объема производства. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

Эластичность взаимозамены ресурсов Основные характеристики системы: 3. Структура. ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами: основные характеристики технологии

3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат.

Общий вид ПФ с взаимодополняемыми ресурсами где f s (x s ) - объем производства, который может быть получен при использовании s-ro ресурса в количестве x s при условии, что другие ресурсы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производства определяется «узким местом», т.е. количеством такого ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства.

Изокванты ПФ с взаимодополняемыми ресурсами

Функции производственных затрат x s =φ s (y), (s M) φ s (y) это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у. Основные характеристики: cредние затраты s-ro ресурса: q s = x s /y; предельные затраты s-ro ресурса: h s = dx s /dy; характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на малую единицу. Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ(y). x s =φ s (y), (s M) φ s (y) это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у. Основные характеристики: cредние затраты s-ro ресурса: q s = x s /y; предельные затраты s-ro ресурса: h s = dx s /dy; характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на малую единицу. Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ(y).

Общие свойства системы 1. Линейная однородная функция: x = ay; a > 0. Средние и предельные затраты функции постоянны и равны между собой: g = h = a. 2. Линейная неоднородная функция: x = ay +b, где а > 0 и b > 0. Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а. 1. Линейная однородная функция: x = ay; a > 0. Средние и предельные затраты функции постоянны и равны между собой: g = h = a. 2. Линейная неоднородная функция: x = ay +b, где а > 0 и b > 0. Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а. Типовые функции производственных затрат

Общие свойства системы Типовые функции производственных затрат

3. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних. Пример функции: х = ау а при 0 < а < Нелинейная функция падающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних. Пример: х = ау а при а> 1 3. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних. Пример функции: х = ау а при 0 < а < Нелинейная функция падающей эффективности затрат: Средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних. Пример: х = ау а при а> 1 Общие свойства системы Типовые функции производственных затрат

3. 4. Общие свойства системы Типовые функции производственных затрат

3.4. Основные виды производственных функций.

1) если X = 0, то у = 0. Т.е. при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции. 2) если Х А Х B, то f(X A ) f(X B ), причем если Х А > Х B, то f(X A ) > f (Х B ). 3) При X > 0,. 4) При X > 0, (закон падающей предельной производительности). 1) если X = 0, то у = 0. Т.е. при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции. 2) если Х А Х B, то f(X A ) f(X B ), причем если Х А > Х B, то f(X A ) > f (Х B ). 3) При X > 0,. 4) При X > 0, (закон падающей предельной производительности). Основные характеристики системы: 3. Структура. Свойства неоклассических ПФ

5) При X > 0,. 6) Для любого λ выполняется соотношение: В этом случае функция у = f(X) называется однородной n-й степени. Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λ n раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат. 5) При X > 0,. 6) Для любого λ выполняется соотношение: В этом случае функция у = f(X) называется однородной n-й степени. Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λ n раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат. Основные характеристики системы: 3. Структура. Свойства неоклассических ПФ

Общий вид: Пример: функция Кобба-Дугласа Общий вид: Пример: функция Кобба-Дугласа Основные характеристики системы: 3. Структура. Степенная производственная функция.

Свойства: предельная норма эквивалентной замены ресурсов: коэффициент эластичности выпуска по i -му ресурсу δ i = α i ; коэффициент эластичности замены ресурсов σ kl = 1. изоклиналь луч, исходящий из начала координат. Свойства: предельная норма эквивалентной замены ресурсов: коэффициент эластичности выпуска по i -му ресурсу δ i = α i ; коэффициент эластичности замены ресурсов σ kl = 1. изоклиналь луч, исходящий из начала координат. Основные характеристики системы: 3. Структура. Степенная производственная функция.

Общий вид: Пример: функция Солоу Общий вид: Пример: функция Солоу Основные характеристики системы: 3. Структура. Функция с постоянной эластичностью замены ресурсов

В функции CES все эластичности замены ресурсов σ kl равны между собой: σ kl = σ, при этом. При σ = 1 (ρ 0) функция CES преобразуется в степенную производственную функцию. В функции CES все эластичности замены ресурсов σ kl равны между собой: σ kl = σ, при этом. При σ = 1 (ρ 0) функция CES преобразуется в степенную производственную функцию. Основные характеристики системы: 3. Структура. Функция с постоянной эластичностью замены ресурсов

Производственная функция Леонтьева относится к классу функций с взаимодополняемыми ресурсами и имеет вид: Y = min{aK, bL}. Изокванты ПФ Леонтьева имеют вид прямых углов с вершинами, имеющими координаты L = C/b, K = C/a. Производственная функция Леонтьева относится к классу функций с взаимодополняемыми ресурсами и имеет вид: Y = min{aK, bL}. Изокванты ПФ Леонтьева имеют вид прямых углов с вершинами, имеющими координаты L = C/b, K = C/a. Основные характеристики системы: 3. Структура. Функция Леонтьева