Шары и многогранники презентация к лекции В.П. Чуваков

Взаимное расположение шара и плоскости Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса, то шар и плоскость не имеют общих точек. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу, то шар и плоскость имеют единственную общую точку и плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, то пересечение шара и плоскости есть круг радиуса

Описанные сферы Определение: Сфера описана около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере Свойство: центр сферы равноудален от всех вершин многогранника

Описанные сферы Определение: Плоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку называется серединной перпендикулярной плоскостью. Свойство: Каждая точка серединной перпендикулярной плоскости равноудалена от концов отрезка.

Описанные сферы Определение Сфера описана около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере Свойство: центр сферы равноудален от всех вершин многогранника Свойство: Центр описанной сферы – точка пересечения серединных перпендикулярных плоскостей всех ребер многогранника.

Теорема 1. Около произвольной треугольной пирамиды можно описать сферу В произвольной треугольной пирамиде серединные перпендикулярные плоскости всех ребер имеют единственную общую точку, равноудаленную от всех вершин пирамиды. Общая точка является центром сферы, описанной около треугольной пирамиды

Описанные сферы Утверждение 2. Пусть – произвольная пирамида с основанием Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда вокруг основания можно описать окружность. Свойство: Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре, проведенном через центр окружности, описанной около основания

Описанные сферы

Центр сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, лежит на высоте пирамиды

Центр сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, лежит на высоте пирамиды

Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма прямая и около основания можно описать окружность Свойство: Центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры описанных около основания окружностей

Вписанные сферы Определение: Сфера вписана в многогранник, если она касается всех граней многогранника Определение: Биссекторной плоскостью двугранного угла называется плоскость, проходящая через ребро двугранного угла и биссектрису линейного угла. Свойство: Биссекторная плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от граней двугранного угла

Вписанные сферы Если сфера касается граней двугранного угла, то ее центр лежит на биссекторной плоскости

Вписанные шары Свойство: Если сфера вписана в многогранник, то ее центр лежит на пересечении всех биссекторных плоскостей многогранника В произвольную треугольную пирамиду можно вписать сферу

Вписанные сферы Центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду лежит на высоте.

Вписанные сферы Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, лежит на высоте

Вписанные шары Если сфера радиуса R касается граней трехгранного угла А куба, то центр сферы лежит на диагонали куба и является вершиной куба с ребром R.

Касание лучей угла Если сфера касается двух лучей угла, то центр сферы лежит на плоскости, проходящей через биссектрису угла, перпендикулярно плоскости этого угла. OE= OF= R

Приложение Центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию, проведенном через центр описанной около основания окружности.

Приложение Так как все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом, то основание высоты попадает в точку пересечения диагоналей прямоугольника, и любая точка высоты равноудалена от вершин основания. Центр шара лежит на высоте.

Приложение

Высота пирамиды является пересечением биссекторных плоскостей, центр шара лежит на высоте, а его радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник

Приложение

Перевернем куб на другую грань.

Приложение

Центр шара лежит в биссекторной плоскости

Приложение

Запишем уравнение сферы, проходящей через заданные точки.

Приложение

Спасибо!