Описанная сфера. Определение Вписанная в сферу пирамида Вписанная в сферу усеченная пирамида Вписанная в сферу призма © 2011 Nikolas science. - презентация

1 Описанная сфера. Определение Вписанная в сферу пирамида Вписанная в сферу усеченная пирамида Вписанная в сферу призма © 2011 Nikolas science

2 Сечение шара плоскостью Всякое сечение шара плоскостью – круг.

3 Описанная сфера. Определение. Сфера называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере. Все вершины вписанного в сферу многогранника равноудалены от центра описанной сферы. Каждая грань вписанного в сферу многогранника вписана в окружность, которая получается в сечении сферы плоскостью грани.

4 Условия существования Около многогранника можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполняется любое условие : существует единственная точка, равноудаленная от всех вершин многогранника. около всякой грани многогранника можно описать окружность, и оси окружностей, описанных около граней многогранника, пересекаются в одной точке ; плоскости, перпендикулярные к ребрам многогранника и проходящие через их середины, пересекаются в одной точке ;

5 Вписанная в сферу пирамида Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

6 Доказательство Если вокруг основания описана окружность, то существует прямая, каждая точки которой равноудалена от вершин основания. => Есть точка равноудаленная и от вершин основания и от вершины пирамиды. Если вокруг основания нельзя описать окружность, то такую пирамиду нельзя вписать в сферу, так как это противоречит условию существования описанной сферы. O

7 Следствия Около любой пирамиды, в основании которой лежит вписанный многоугольник, можно описать сферу : Около любого тетраэдра можно описать сферу. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Около любого конуса можно описать сферу. Если боковые ребра равнонаклонены, то вокруг такой пирамиды можно описать сферу.

8 Радиус описанной вокруг правильной пирамиды сферы. Построим FN – серединный перпендикуляр SA на SH; F N Тогда треугольники SAH и SNF подобны по трем углам; K=2 =>SN/SA=SF/SH; SN=SF*SA/SH; SN=SA 2 /2SH; SN – радиус описанной сферы. R=b 2 /2H Задача Где b- боковое ребро ; H -высота пирамиды.

9 Задача Найдите минимальный радиус сферы, из которой можно вырезать пирамиду, в основание которой лежит квадрат со стороной 4, а боковое ребро – 3. Правильный ответ: «два корня из двух» Вывод: описанная сфера не всегда минимальная сфера, в которую можно «упаковать» пирамиду.

10 Вписанная в сферу усеченная пирамида Около усеченной пирамиды можно описать сферу, если и только если выполняется любое из условий : около оснований пирамиды можно описать окружности, линия центров которых перпендикулярна их плоскостям ; все боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости одного из оснований ; все боковые ребра пирамиды равны между собой ; все боковые грани пирамиды равнобочные трапеции.

11 Вписанная в сферу призма Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма прямая и около ее оснований можно описать окружности.

12 Доказательство Если призма вписана в сферу, то каждая ее грань вписана в окружность сечение сферы плоскостью грани. Значит, около основания призмы можно описать окружность, и все боковые грани призмы как параллелограммы, вписанные в окружности, прямоугольники и поэтому призма прямая. Если призма прямая и около ее оснований описываются окружности, плоскости которых перпендикулярны линии их центров, то существует единственная сфера, которая и будет описанной около призмы.

13 Следствия Около любого круглого цилиндра можно описать сферу. Около любой правильной призмы можно описать сферу. Около любого прямоугольного параллелепипеда ( в том числе куба ) можно описать сферу.

14 Задача В шар вписан круглый цилиндр. Во сколько раз объём шара больше объёма цилиндра, если известно, что отношение радиуса шара к радиусу основания цилиндра вдвое меньше, чем отношение поверхности шара к боковой поверхности цилиндра ?

15 Решение Дано: ;

16 Благодарим за просмотр! Автор презентации: Фалалеев Н. Ученик 11 класса «А» ГОУ СОШ 224 NikolasEnt.narod.ru