Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида: Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида: где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Это уравнение называют общим уравнением поверхности второго порядка S (обозначим это ур-е 1), а систему координат Oxyz называют общей системой координат. Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов. 1) эллипсоид, 2) мнимый эллипсоид, 3) однополостный гиперболоид, 4) двуполостный гиперболоид, 5) конус, 6) мнимый конус (точка), 7) эллиптический параболоид, 8) гиперболический параболоид,
9) эллиптический цилиндр, 10) мнимый эллиптический цилиндр, 11) две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z), 12) гиперболический цилиндр, 13) две пересекающиеся плоскости, 14) параболический цилиндр, 15) две параллельные плоскости, 16) две мнимые параллельные плоскости, 17) две совпадающие плоскости (плоскость XOZ). В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p положительные параметры. Систему координат называют канонической. В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p положительные параметры. Систему координат называют канонической.
Поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны. Классификация центральных поверхностей. Пусть S центральная поверхность Классификация центральных поверхностей. Пусть S центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид: a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 =0 (2) Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, вычисленное для уравнения (2), равно a11 а22 a33, то коэффициенты a11,а22, a33 удовлетворяют условию : Возможны следующие случаи : Возможны следующие случаи : 1. Коэффициенты a11,а22, a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом. Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме: 2. Если из четырех коэффициентов a11,а22, a33, а44 два одного знака, а два других противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом. 3. Если знак одного из первых трех коэффициентов a11, а22, a33, а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.
Эллипсоид Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: Свойства эллипсоида: Эллипсоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.
1. Однополостный гиперболоид. 1. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид: Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид: Свойства гиперболоида: Однополостный гиперболоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола. а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола. Гиперболоиды
2. Двуполостный гиперболоид. 2. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид: Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид: Свойства двуполостного гиперболоида: Двуполостный гиперболоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при |z| > c получается перпендикулярной оси координат Oz, при |z| > c получается эллипс, при |z| = c – точка, а в сечении плоскостями, эллипс, при |z| = c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола. перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола. Гиперболоиды
Параболоиды 1. Эллиптический параболоид. 1. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид: Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид: Свойства эллиптического параболоида: Эллиптический параболоид обладает 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz, В сечении эллиптического параболоида плоскостью, В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Параболоиды 2. Гиперболический параболоид. 2. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид: Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид: Свойства гиперболического параболоида: Гиперболический параболоид обладает 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz, В сечении гиперболического параболоида плоскостью, В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Конус и цилиндры второго порядка 1. Конус. 1. Конус. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: прямоугольной системе координат определяется уравнением:
Конус и цилиндры второго порядка 2. Эллиптический цилиндр. 2. Эллиптический цилиндр. Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид: Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид:
Конус и цилиндры второго порядка 3. Гиперболический цилиндр. 3. Гиперболический цилиндр. Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид: Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид:
Конус и цилиндры второго порядка 4. Параболический цилиндр. 4. Параболический цилиндр. Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид: Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид:
Задачи Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F: Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Следовательно, F – эллиптический цилиндр. Его направляющая y задается уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxz), а образующие параллельные координатному вектору. Поверхность F изображена на рисунке 1.
Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F: Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Следовательно, F – гиперболический цилиндр. Его направляющая y задается уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxy). y – гипербола с мнимой осью Ox. Поверхность F изображена на рисунке 2.
3. Найти точки пересечения поверхности и прямой: 3. Найти точки пересечения поверхности и прямой:и Решение:, Полученную систему подставим в исходное уравнение. или отсюда. или отсюда.