Двоичная система счисления

Системы счисления Система счисления это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел. Позиционной система счисления называется потому, что одна и та же цифра получает различные количественные значения в зависимости от места, или позиции, которую она занимает в записи числа. Например, в записи числа 555 цифра 5, стоящая на первом месте справа, обозначает 5 единиц, на втором 5 десятков, на третьем 5 сотен.

Позиционные системы счисления Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Позиционные системы счисления Пример: Двоичная система счисления Разряды Число , 1 2 = =1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 Восьмеричная система счисления Разряды Число2 7 6, 5 2=2*8 2 +7*8 1 +6*8 0 +5* *8 -2

Позиционные системы счисления Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. В связи с этим разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2). –двоичная (используются цифры 0, 1); –восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7); –шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Запись чисел в системах счисления 10-я2-я8-я16-я10-я2-я8-я16-я A B C D E F

Как информация представляется в компьютере, или цифровые данные Для того чтобы понять, как самая разнообразная информация представлена в компьютере, «заглянем» внутрь машинной памяти. Ее удобно представить в виде листа в клетку. В каждой такой «клетке» хранится только одно из двух значений: нуль или единица. Две цифры удобны для электронного хранения данных, поскольку они требуют только двух состояний электронной схемы «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0). Каждая «клетка» памяти компьютера называется битом. Цифры 0 и 1, хранящиеся в «клетках» памяти компьютера, называют значениями битов.

Как информация представляется в компьютере, или цифровые данные

С помощью последовательности битов можно представить самую разную информацию. Такое представление информации называется двоичным или цифровым кодированием. Преимуществом цифровых данных является то, что их относительно просто копировать и изменять. Их можно хранить и передавать с использованием одних и тех же методов, независимо от типа данных. Способы цифрового кодирования текстов, звуков (голоса, музыка), изображений (фотографии, иллюстрации) и последовательностей изображений (кино и видео), а также трехмерных объектов были придуманы в 80-х годах прошлого века.

Двоичное кодирование числовой информации Известно множество способов записи чисел. Мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Десятичной она называется потому, что в этой системе счисления десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Двоичное кодирование числовой информации Рассмотрим два числовых ряда: 1, 10, 100, 1000, , , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, Оба этих ряда начинаются с единицы. Каждое следующее число первого ряда получается путем умножения предыдущего числа на 10. Каждое следующее число второго ряда получается путем умножения предыдущего числа на 2.

Двоичное кодирование числовой информации Любое целое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее, записанных в первом ряду. При этом каждый член этого ряда может либо не входить в сумму, либо вхо­ дить в нее от 1 до 9 раз. Пример: 1409 = Числа 1, 4, 0, 9, на которые умножаются члены первого ряда, составляют исходное число.

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код Попробуем представить число 1409 в виде суммы членов второго ряда. Этот способ получения двоичного кода десятичного числа основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0. Пример:

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую результат целочисленного деления предыдущего числа на 2. В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на 2. Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: =

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код Первые 20 членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011,

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную Пусть имеется число Его можно представить так: = = = = =61 10

Использование калькулятора 1. Запустите приложение Калькулятор и выполните команду Вид - Инженерный. Обратите внимание на группу переключателей, определяющих систему счисления: Десятичная система счисления Двоичная система счисления

Использование калькулятора 2. Убедитесь, что Калькулятор настроен на работу в десятичной системе счисления. С помощью клавиатуры или мыши введите в поле ввода произвольное двузначное число. Активизируйте переключатель Bin и проследите за изменениями в окне ввода. Вернитесь в десятичную систему счисления. Очистите поле ввода. 3. Повторите пункт 2 несколько раз для других десятичных чисел. 4. Настройте Калькулятор на работу в двоичной системе счисления. Обратите внимание на то, какие кнопки Калькулятора и цифровые клавиши клавиатуры вам доступны. Поочередно введите двоичные коды 5-го 10-го и 15-го членов натурального ряда и с помощь переключателя Dec переведите их в десятичную систему счисления.