Арифметические основы компьютера. Системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел Система счисления – - презентация

1 Арифметические основы компьютера

2 Системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами

3 Определения Знаки, используемые для записи чисел, называются цифрами Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

4 Определения СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ НепозиционныеПозиционные Величина, которую обозначает цифра в записи числа не зависит от ее позиции в числе Величина, которую обозначает цифра в записи числа зависит от ее позиции

5 Непозиционные системы счисления Римская система счисления Представлена латинскими буквами : I V X L C D M Правила образования остальных чисел Если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются Если цифра слева меньше цифры справа, то левая вычитается из правой CXLVI = ?

6 Позиционные системы счисления Знаки, используемые для записи чисел называются алфавитом системы Количество знаков, используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления

7 Позиционные системы счисления (основание Р) Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени Представление чисел: Х= a n a n-1 …a 1 a 0,a -1 a -2 …a -m основано на представлении этого числа в виде полинома : X=a n *P n +a n-1 *P n-1 +…+a 1 *P 1 +a 0 * P 0 +a -1 * P -1 +a -2 *P -2 +…+a -m * P -m …

8 Двоичная система счисления Алфавит: 0 1 Таблица сложения: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

9 Шестнадцатеричная система счисления Основание системы – 16 Алфавит системы ABCDEF Правила сложения: 9+1=A А+1=В …….. F+1=10

10 Соответствие чисел двоичной и шестнадцатеричной систем счисления A B C D E F15

11 Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод чисел (P_-> K): Пусть задано число в системе с основанием P: X=a n *P n +a n-1 *P n-1 +…+a 1 *P 1 +a 0 * P 0 +a -1 * P -1 +a -2 *P -2 +…+a -m * P -m … Правило: Для получения числа в системе с основанием K необходимо заменить все цифры и число Р их K-ичным изображением и выполнить арифметические операции в системе с основанием K Замечание: перевод осуществляется средствами К-ичной арифметики

12 Примеры: =3*8 2 +7*8+1= AF,4 16 =10* * *16 -1 = ,25=175,25 10

13 Перевод целых чисел Основание выразить в десятеричной системе Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы, пока не получим неполное частное, меньшее делителя Полученные остатки привести в соответствие с алфавитом новой системы Составить число в новой системе, записывая его, начиная с последнего

14 Перевод дробных чисел Основание выразить в десятеричной системе Последовательно выполнять умножение данного числа и получаемые дробные части произведений на основание новой системы, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность Полученные целые части произведений привести в соответствие с алфавитом новой системы Составить дробную часть числа в новой системе, записывая его, начиная с целой части первого произведения

15 Формы представления информации Вся информация в памяти ЭВМ представляется в форме цифрового двоичного кода Количество информации, которое помещается в один элемент памяти (0 или 1) называется битом 8 бит составляет 1 байт Последовательность бит, рассматриваемых аппаратной частью ЭВМ как единое целое называется машинным словом

16 Числовая система ЭВМ Будем рассматривать все понятия на примере 4- битовых машинных слов Введем операции: Увеличения (прибавления 1) =1101 Дополнения (Инвертирования) > 0011 Рассмотрим пример: =0000 (т.к. слово состоит только из 4-х символов) ВЫВОД – ЧСЭВМ – конечная и цикличная

17 Числовая система ЭВМ Будем считать, что число 1111 является кодом –1 Тогда = 1110 – соответствует – = 1101 – соответствует –3 и т.д – соответствует -8 Все числа, начинающиеся с 0 – это положительные числа Все числа, начинающиеся с 1 – это отрицательные числа Старший бит числа называется знаковым

18 Числовая система ЭВМ Инвертирование битов в слове называется дополнением до единицы Для определения отрицательного значения числа k необходимо к его дополнению до единицы прибавить 1: Пусть дано число k в системе со знаком, тогда -k=(-1-k)+1=(1111-k)+1

19 Числовая система ЭВМ Пример: Найти число, которое закодировано в слове 1011 Решение: Инвертируем число: 1011->0100 Прибавляем 1: =0101 Результат: 0101 = 5 10 Ответ: -5

20 Числовая система ЭВМ Пример: Найти двоичное представление числа –7 Решение: Получаем двоичное представление числа 7: 111 Вычитаем 1: =0110 Инвертируем число: 0110->1001 Ответ: 1001

21 Числовая система ЭВМ Для того, чтобы получить внутреннее представление целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове необходимо: Перевести число в двоичную систему счисления Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов Пусть задано число 1607 Его представление в 16-ти разрядной ячейке: = : –>

22 Числовая система ЭВМ Для того, чтобы получить внутреннее представление целого отрицательного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове необходимо: Получить внутреннее представление целого положительного числа Получить обратный код этого числа Прибавить 1 Пусть задано число –1607 Внутреннее представление положительного числа: Дополнительный код: = Результат:

23 Индикаторы переноса и переполнения Ошибки возникают в том случае, когда происходит перенос из знакового бита для числовой системы без знака =0000 (15+1=0) При переносе в знаковый бит для числовой системы со знаком =1000 (7+1=-8)

24 Индикаторы переноса и переполнения Индикатор переноса Индикатор переполнения Указывает на перенос из знакового бита Указывает на перенос в знаковый бит Каждый индикатор содержит 1 бит информации (равен 0 или 1)

25 Правильность операции сложения Если используется система без знака, то результат сложения двух слов будет арифметически верным, тогда и только тогда, когда не будет переноса из знакового бита

26 Правильность операции сложения Если используется система со знаком, то результат сложения двух положительных чисел будет арифметически верным, тогда и только тогда, когда не будет переноса в знаковый бит; двух отрицательных чисел будет арифметически верным, тогда и только тогда, когда будет происходить перенос в знаковый бит, причем перенос из знакового бита будет происходить всегда; Положительного и отрицательного чисел будет всегда арифметически верным, а перенос в знаковый бит будет происходить тогда и только тогда, когда будет также происходить перенос из знакового бита.

27 Правильность операции сложения Примеры: = = =0101